7.2 离散型随机变量及其分布列 (1)
学习目标
1.理解随机变量的意义,了解随机变量与函数的区别;
2.掌握离散型随机变量的概念,能够写出随机变量的取值以及随机试验的结果.
重点难点
重点：离散型随机变量的概念
难点：写出随机变量的取值以及随机试验的结果
知识梳理
1. 随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验
会出现哪一个结果; 这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验.
2.函数：一般地,设A,B是非空的数集,如果使对于集合 A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数 y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:
3.随机变量的定义
4.离散型随机变量的定义：
5.随机变量与函数的关系:
(1)相同点：
(2)不相同点：
6.连续性随机变量:连续型随机变量是指可以取某一区间的一切值的随机变量,又称作连续型随机变量.如：
学习过程
问题探究
求随机事件的概率时,我们往往需要为随机试验建立样本空间,并会涉及样本点和随机事件的表示问题,类似函数在数集与数集之间建立对应关系,如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便,而且能更好地利用数学工具研究随机试验.问题1.随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢？
探究1.有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系.
（1）掷一枚骰子用实数 ( =1,2,3,4,5,6)表示“掷出的点数为 ”，又如,
掷两枚骰子样本空间为Ω={ ( , ) | , =1,2, 6},
用 + 表示“两枚骰子的点数之和”样本点( , )就与实数 + 对应.
（2）.某射击运动员在射击训练中，其中某次射击可能出现命中的环数情况有哪些？
实数 ( =0,1,2,3,4,5,6,···,10)表示“击中环数 ”
（1）随机抽取一件产品,有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即：
，这个试验的样本点与实数就建立了对应关系
探究2.有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系,可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值.
类似地,（2）.掷一枚硬币,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示
（3）.随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5.4.3.2.1;等等,对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应。
即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量X的取值也具有随机性。
探究3.考察下列随机试验及其引入的变量：
试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，变量X 表示三个元件中次品数;
试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y 表示需要的抛掷次数.
这两个随机试验的样本空间各是什么
各个样本点与变量的值是如何对应的 变量X,Y 有哪些共同的特征
问题探究
问题2：变量X,Y 有哪些共同的特征
随机变量的特点
（1）可以用数字表示
（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值
（3）在试验之前不可能确定取何值
随机变量将随机事件的结果数量化．
所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果,不一定是实数
1.下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．
(1)上海国际机场候机室中2020年10月1日的旅客数量；
(2)2021年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；
(3)2021年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(4)体积为1000 cm3的球的半径长．
随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．
问题3：你能总结随机变量X的特点吗？
2.下列变量中是离散型随机变量的是？
(1)下期《诗词大会》节目中过关的人数；
(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；
(3)在郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位．
变式探究： 将本例的(4)改为：监测站所测水位X是否超过警戒水位(警戒水位是29 m)，X是离散型随机变量吗
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法
（1）明确随机试验的所有可能结果；
（2）将随机试验的试验结果数量化；
（3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
二、典例解析
例1.写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果：
（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数X 。
（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数X．
（3）抛掷两个骰子，所得点数之和X．
（4）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数X ．
（5）某一自动装置无故障运转的时间X．
（6）某林场树木最高达30米，此林场树木的高度X ．
例2.从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
变式探究：本题中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量X，请问X有哪些取值？其中X＝4表示什么含义？
跟踪训练：⑴掷两枚均匀硬币一次，则正面个数与反面个数之差的可能的值有 ．
⑵袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为X，则X所有可能值的个数是 个；
“X＝4”表示 ．
解决此类问题的关键是理解清楚随机变量所有可能的取值及其取每一个值时对应的意义，不要漏掉或多取值，同时要找好对应关系．
例3.某人去商场为所在公司买玻璃水杯若干只，公司要求至少要买50只，但不得超过80只．商场有优惠规定：一次购买这种玻璃水杯小于或等于50只不优惠，大于50只的，超出部分按原价的7折优惠，已知原来的水杯价格是每只6元．这个人一次购买水杯的只数X是一个随机变量，那么他所付的款额Y是否也是一个随机变量呢？这两个随机变量有什么关系？
若X是随机变量,则Y=aX+b(其中a、b是常数)也是随机变量.
达标检测
1．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到1个红球
D．至少取到1个红球的概率
2．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是( )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
3．在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是________．
4.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.
(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.
(3). 在本例(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？
课堂小结
1．随机变量是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．
2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：
(1)可用数来表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取值．
参考答案
知识梳理
学习过程
问题探究
问题1.随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢？
探究1.（1）掷两枚骰子样本空间为Ω={ ( , ) | , =1,2, 6},
用 + 表示“两枚骰子的点数之和”样本点( , )就与实数 + 对应.
（2） （0环、1环、2环、···、10环）共11种结果
探究2.（1）如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即：
，这个试验的样本点与实数就建立了对应关系
（2）.掷一枚硬币,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示
（3）.随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5.4.3.2.1;等等,对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应。
探究3.试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，变量X 表示三个元件中次品数;用0表示“元件为合格品”,1表示“元件为次品”,
用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点,则
样本空Ω1={000,001,010,100,011,101,110,111},
试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y 表示需要的抛掷次数.
问题2：(1).取值依赖于样本点;(2).所有可能取值是明确的.
1. 【解】 (1)候机室中的旅客数量可能是：0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，
因此是随机变量．
(2)D36次济南至北京的列车，到达终点的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．
(3)在2019年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数是随机变化的，也可能多，也可能少，因此是随机变量．
(4)体积为1000 cm3的球的半径长为定值，故不是随机变量．
问题3： (1)可以用数量来表示;(2)试验前可以判断其可能出现的所有值;
(3)在试验前不能确定取何值.
2. 答案：(1)(3)
【解析】 (1)是离散型随机变量．因为过关人数可以一一列出．
(2)不是离散型随机变量．因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出．
(3)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出．
(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．
变式探究： 解：设X＝，是离散型随机变量．
二、典例解析
例1. 解析：（1）X ＝1、2、3、···、10； （2）X＝0、1、2、3；
（3）X＝2、3、4、···、12； （4） X＝1、2、3、···、n、···；
（5） X取内的一切值； （6）X取内的一切值.
例2. 解析：设所取卡片上的数字之和为X，则X＝3,4,5，…，11.
X＝3，表示取出标有1,2的两张卡片；
X＝4，表示取出标有1,3的两张卡片；
X＝5，表示取出标有2,3或1,4的两张卡片；
X＝6，表示取出标有2,4或1,5的两张卡片；
X＝7，表示取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片；
X＝8，表示取出标有2,6或3,5的两张卡片；
X＝9，表示取出标有3,6或4,5的两张卡片；
X＝10，表示取出标有4,6的两张卡片；
X＝11，表示取出标有5,6的两张卡片．
变式探究：解析：X的所有可能取值有：1,2,3,4,5共5个．
“X＝4”表示取到卡片1和卡片5或卡片2和卡片6两种结果．
跟踪训练1. 解析：（1）－2、0、2；（2）9；“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号．
例3. 解析：公司至少要买50只，则
Y=50×6+(X 50)×6×0.7=300+4.2 210=4.2 +90.
若X是随机变量,则Y=aX+b(其中a、b是常数)也是随机变量.
达标检测
1． B [A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求．]
2． D [ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．]
3． 0,1,2,3 [可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．]
4. [解] (1)X可取0,1,2,3.X＝0表示取5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
(2)X可取3,4,5.X＝3表示取出的球编号为1,2,3；
X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4.
X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.
(3) ξ＝10表示取5个球全是红球；
ξ＝7表示取1个白球，4个红球；
ξ＝4表示取2个白球，3个红球；
ξ＝1表示取3个白球，2个红球．
17.2 离散型随机变量及其分布列 (2)
学习目标
1．理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示．
2．掌握离散型随机变量的分布列的性质．
3．会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)．
重点难点
重点：离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及性质
难点：求某些简单的离散型随机变量的分布列
知识梳理
1.离散型随机变量的定义：
2、随机变量的分类
①离散型随机变量:X的取值可一、一列出；
②连续型随机变量:X可以取某个区间内的一切值
3、古典概型:
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等。
4．离散型随机变量的分布列
一般地，当离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn时，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi, i∈{1,2，…，n}，为X的概率分布列．
离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列．
5.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
注意：①.列出随机变量的所有可能取值；
②.求出随机变量的每一个值发生的概率.
6.两点分布列
对于只有两个可能结果的随机试验,用 表示“成功”,
表示“失败”,定义
如果,则，那么的分布列如下表所示
X 0 1
P 1－P P
我们称服从两点分布或0-1分布
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数． ( )
(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． ( )
(3)随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的． ( )
2．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是( )
3.分布列是两点分布吗？
学习过程
问题探究
探究1.抛掷一枚骰子,所得的点数X有哪些值？取每个值的概率是多少？
探究2.分布列的表示：函数可以用解析式、表格、图象表示。离散型随机变量的分布列也可以用解析式、表格、图象表示。
解析式法：P（X=xi）=pi,i=1,2,3…,n
表格法：
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
二、典例解析
例1. 一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,
定义X
跟踪训练1.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述一次试验的成功次数,则P(X=0)等于( )
A.0 B. C. D.
例2.某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对应的分数和人数如下表所示.
从这200名学生中任意选取1人,求所选同学分数 的分布列以及 ( ≥4).
等级 不及格 及格 中等 良好 优秀
分数 1 2 3 4 5
人数 20 50 60 40 30
例3. 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台 ,B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要清楚ξ取每一个值对应的随机事件,进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率.
(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时,要充分利用分布列的性质,这样不但可以减少运算量,还可以验证分布列是否正确.
跟踪训练2. 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以ξ表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量ξ的分布列.
达标检测
1．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为( )
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A.－0.2 B．0.2 C．0.1 D．－0.1
2．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于( )
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
3．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的分布列为
X 0 1
P a b
则a＝________，b＝________.
4．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝________，P(6<ξ≤14)＝________.
5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．
课堂小结
参考答案
知识梳理
1． [答案] (1)× (2)√ (3)√
2．D [本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2，…，n，P(ξi)＝1.A中ξ的取值出现了重复性；B中P(ξ＝0)＝－＜0；C中P(ξi)＝＋＋＝＞1.]
3.解析： 不是．因为X的取值不是0和1
学习过程
问题探究
探究1. 因为X取值范围是
而且
因此X分布列如下表所示
X 1 2 3 4 5 6
该表不仅列出了随机变量X的所有取值而且列出了X的每一个取值的概率．
二、典例解析
例1. 解：根据
X 0 1
P 0.95 0.05
跟踪训练1.解析:设P(X=1)=p,则P(X=0)=1-p.依题意知,p=2(1-p),解得p=.,故P(X=0)=1-p=.答案:B
例2.解：由题意知， 是一个离散型随机变量，其可能取值为1,2,3,4,5,且{ =1}=“不及格”,
{ =2}=“及格”,
根据古典概型的知识，
可得 的分布列
X 1 2 3 4 5
例3. 解：设挑选的2台电脑中 品牌的台数为 ,则 的可能取值为0,1,2.根据古典概型的知识，
可得 的分布列,
X 0 1 2
跟踪训练2. 解:随机变量ξ的可能取值为3,4,5.
当ξ=3时,即取出的三只球中最大号码为3,则其他两只球的编号只能是1,2,故有P(ξ=3)=;当ξ=4时,即取出的三只球中最大号码为4,则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只,故有P(ξ=4)=;
当ξ=5时,即取出的三只球中最大号码为5,则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只,故有P(ξ=5)=.
因此ξ的分布列为
ξ 3 4 5
P
达标检测
1．B [由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2.]
2．A [由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.]
3．; [X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝；X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝.]
4．; [P(ξ>8)＝×8＝，P(6<ξ≤14)＝×8＝.]
5． [解] 由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，
则P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝＝；
P(ξ＝3)＝＝；P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝＝；P(ξ＝6)＝＝.
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为
ξ 1 2 3 4 5 6
P
1
