7.4.1 二项分布
学习目标
1.理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念,掌握随机变量服从二项分布的有关计算;
2.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差;
重点难点
重点： n重伯努利实验，二项分布及其数字特征；
难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.
知识梳理
1.伯努利试验
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.
例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
(1）同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同）
(2) 各次试验的结果相互独立.
2.二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0
用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为
,n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作X~B(n,p).
X 0 1 … k … n
p … …
3.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).
学习过程
问题探究
做一做:问题1.下面3个随机试验是否为n重伯努利试验
如果是,那么其中的伯努利试验是什么 对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大 重复试验的次数是多少？
1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
探究1 ：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同
问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
探究2：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.
思考1：二项分布与两点分布有何关系
思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？
二、典例解析
例1 ：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.
例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。
二项分布中需要注意的问题和关注点
(1）当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p）中的试验次数n与成功概率p.
(2）解决二项分布问题的两个关注点
①对于公式P(X＝k）＝Cpk(1－p）n－k(k＝0，1，2，…，n），必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式．
②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
探究3：假设随机变量X服从二项分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？
例4. 一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差．
达标检测
1.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为( ）
A．C×0.88×0.22 B．0.88×0.22 C．C×0.28×0.82 D．0.28×0.82
2.已知X是一个随机变量，若X～B，则P(X＝2）等于( ）
A． B． C． D．
3.已知X～B(n，p），E(X）＝8，D(X）＝1.6，则n＝________，p＝________．
4.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中每人答对的概率分别为，，，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1）求随机变量ξ的分布列．
(2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB）.
5.一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
(1）求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差．
(2）若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．
课堂小结
1.二项分布的定义：
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0,n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），
记作X~B(n,p).
2.确定一个二项分布模型的步骤:
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p）.
3.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).
参考答案
知识梳理
学习过程
问题探究
问题1：
随机试验 是否为n重伯努利试验 伯努利试验 P(A) 重复试验的次数
1 是 抛掷一枚质地均匀的硬币 0.5 10
2 是 某飞碟运动员进行射击 0.8 3
3 是 从一批产品中随机抽取一件 0.95 20
探究1 ：伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生；n重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所以关注点是这n次重复试验中“发生”的次数X.进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.
问题2：用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果：
问题由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得
P(X=3)=P()=
为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为0.82×0.2，并且与哪两次中靶无关.
因此,3次射击恰好2次中靶的概率为.同理可求中靶0次,1次,3次的概率.
探究2：(1)表示中靶次数X等于2的结果有： , ,, ,
, ,共6个。
(2)中靶次数X的分布列为：
思考1：两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.
思考2： 如果把p看成b，1-p看成a，则就是二项式的展开式的通项，由此才称为二项分布。
即=1
二、典例解析
例1 ：分析:抛掷一枚质地均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等,这是一个10重伯努利试验,因此,正面朝上的次数服从二项分布。
解：设A=“正面朝上”，则P(A）=0.5.用X表示事件A发生的次数，X~B(10,0.5).
(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是
;
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是
例2：分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果,设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果,且概率都是0.5.在下落的过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一个10重伯努利试验,小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因此X服从二项分布。
解：设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且P(A)=P()=0.5.因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10，0.5）.于是，X的分布列为,10.
X的概率分布图如下图所示：
例3：分析:判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有n局,把n局比赛看成n重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率。
解法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为 .
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0，3：1或3：2因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为.
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X～B(3，0.6).甲最终获胜的概率为=P(X=2)+P(X=3)= =0.648.
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，
则X～B(5，0.6).
甲最终获胜的概率为
+ =0.68256
因为，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
探究3：
证明：∵P(X=k)= Cnkpkqn-k
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
∴kP(X=k)= kCnkpkqn-k= npCn-1k-1pk-1qn-k
∴E (X) =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0
=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)
=np(p+q)n-1=np
例4. 解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ，所得的分数为η，
由题意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，
则E(ξ)＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6.
故E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96.
所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是
60和96.
达标检测
1.解析：设X为击中目标的次数，则X～B(10，0.8)，
∴这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为P(X＝8)＝C×0.88×(1－0.8)2＝C×0.88×0.22.故选A.
答案：A
2.解析：由题意知n＝6，p＝，
故P(X＝2)＝C××＝C××＝.故选D.
答案：D
3. 解析：因为随机变量X～B(n，p)，所以E(X)＝np＝8，D(X)＝np(1－p)＝1.6，解得p＝0.8，n＝10.
4.解析：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，
所以ξ～B.
P(ξ＝0)＝C×＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C×＝，
P(ξ＝3)＝C×＝，
所以ξ的分布列为
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB＝C∪D，C，D互斥．
P(C)＝C×××＝.
P(D)＝××＝.
所以P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
5.解析：(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，
且ξ～B，所以E(ξ)＝6×＝2，
D(ξ)＝6××＝.
(2)由已知η＝30ξ，所以E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.
17.4.2 超几何分布
学习目标
1.理解超几何分布,能够判定随机变量是否服从超几何分布;
2.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题,会求服从超几何分布的随机变量的均值.
重点难点
重点：超几何分布的概念及应用
难点：超几何分布与二项分布的区别与联系
知识梳理
1.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，则称随机变量X服从超几何分布．
1.公式 中个字母的含义
N—总体中的个体总数；M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)
n—样本容量；k—样本中的特殊个体数(如次品数)
2.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率分布列.
3. “任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用组合数列式.
4.各对应的概率和必须为1.
2.超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则E(X）＝__ np_．
1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( ）
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数X
C．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
学习过程
问题探究
问题1：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
（1）：采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？
（2）：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？
二、典例解析
例1：从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.
例2. 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.
（1）当研究的事物涉及二维离散型随机变量(如：次品、两类颜色等问题）时的概率分布可视为一个超几何分布；
（2）在超几何分布中，只要知道参数N，M，n就可以根据公式求出X取不同值时的概率．
跟踪训练1.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
探究1：服从超几何分布的随机变量的均值是什么
例6.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.
(1).分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列;
(2).分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，
求误差不超过0.1的概率.
二项分布与超几何分布区别和联系
1.区别：一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样.
2.联系：当次品的数量充分大,且抽取的数量较小时,即便是不放回抽样,也可视其为二项分布.
达标检测
1.一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( ）
2.已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为________．
3. 在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率．
4.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1）不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值；
(2）放回抽样时，抽取次品数η的均值．
课堂小结
1.超几何分布
2.超几何分布的均值
参考答案
知识梳理
1.解析：由超几何分布的定义可知B正确．
答案：B
学习过程
问题探究
问题1： （1）采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08).
（2）： 不服从，根据古典概型求X的分布列.
解：从100件产品中任取4件有 种不同的取法，从100件产品中任取4件，次品数X可能取0,1,2,3,4.恰有k件次品的取法有种.
由古典概型的知识，得随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
二、典例解析
例1：解: 设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1),则X服从超几何分布,且N=50，M=1,n=5.因此，甲被选中的概率为
例2.解:设抽取的10个零件中不合格品数为 ,则 服从超几何分布,且 =30, =3, =10,
的分布列为,
至少有1件不合格的概率为 ( ≥1)= ( =1)+ ( =2)+ ( =3)
另解:( ≥1)=1 ( =0)
跟踪训练1. 解析：(1)记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1，
但不包含B1”的事件为M，则P(M)＝＝.
(2)由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
探究1：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=，则p是N件产品的次品率，而 是抽取的n件产品的次品率，
E()=p，即E(X)=np.
例6.解:(1)对于有放回摸球,由题意知 ~ (20,0.4), 的分布列为
对于不放回摸球,由题意知 服从超几何分布， 的分布列为
（2）
样本中黄球的比例 是一个随机变量
有放回摸球：P(||≤0.1)=P（6≤X≤10）≈0.7469；
不放回摸球：P(||≤0.1)=P（6≤X≤10）≈0.7988.
因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些。
两种摸球方式下,随机变量X服从二项分布和超几何分布.这两种分布的均值相等都等于8.
但从两种分布的概率分布图看,超几何分布更集中在均值附近.
当n远远小于N时，每次抽取一次,对N的影响很小.此时，超几何分布可以用二项分布近似.
达标检测
1.解析：随机变量ξ的可能值为1，2，3，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.故选C.
答案：C
2. 解析：次品数服从超几何分布，则E(X)＝3×＝0.3.
答案：0.3
3. 解析：由题意知，摸到红球个数X为离散型随机变量，X服从超几何分布，则至少摸到2个红球的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
故中奖的概率为.
4. 解析：(1)方法一 P(ξ＝0)＝＝；
P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝，
∴随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二 由题意知P(ξ＝k)＝(k＝0，1，2)，
∴随机变量ξ服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
∴E(ξ)＝＝＝.
(2)由题意，知每次取到次品的概率为＝，
∴η～B，
∴E(η)＝3×＝.
1