6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)
教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主要学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理。
两个计数原理，其核心是准确理解两个原理，弄清它们的区别。理解它关键就是要根据实例概括两个计数原理。学生对计数问题已经有一些经验和技巧，本节课的内容分类计数原理和分步计数原理就是在此基础上的发展。由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础,所以在本学科计数问题中有重要的地位，是本学科的核心内容。教学的重点是两个原理的理解与应用，解决重点的关键是从单一到综合，恰当安排实例。
教学目标与核心素养
课程目标 学科素养
A.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理; B.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”. C.能利用两个原理解决一些简单的实际问题. 1.数学抽象：两个计数原理 2.逻辑推理：准确运用两个计数原理解决问题 3.数学运算：运用计数原理解决计数问题 4.数学建模：将计数问题转化为分类和分步计数问题
重点难点
重点： 分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用
难点： 准确应用两个计数原理解决问题
课前准备
多媒体
教学过程
教学过程 教学设计意图 核心素养目标
问题导学 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法. 问题1. 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码. 问题2.你能说说这个问题的特征吗？ 上述计数过程的基本环节是： （1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； （2）分别计算各类号码的个数； （3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数. 你能举出一些生活中类似的例子吗？ 一般地，有如下分类加法计数原理： 完成一件事，有两类办法. 在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类方法中有n种不同的方法，则完成这件事共有:N= m+n种不同的方法. 二、典例解析 例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表， A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ 分析:要完成的事情是“选一个专业” .因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件. 解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择 方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数N=5+4=9. 利用分类加法计数原理解题的一般思路 (1)分类:将完成这件事的办法分成若干类; (2)计数:求出每一类中的方法数; (3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果. 问题3. 如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第三类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应该如何计数呢？ 分类加法计数原理：完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 跟踪训练1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是( ) A．18 B．36 C．72 D．48 解析：方法一 按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个). 方法二 按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个). 方法三 考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．所有的两位数共有90个，其中，个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有90－18＝72(个).在这72个两位数中，每一个个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数都有一个十位数字(a)小于个位数字(b)的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是72÷2＝36.故选B. 答案：B 问题4. 用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1， A1，…A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来 方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与6个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码. 问题5.你能说说这个问题的特征吗？ 上述计数过程的基本环节是： （1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步； （2）分别计算各步号码的个数； （3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数. 你能举出一些生活中类似的例子吗？ 例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参 加比赛，共有多少种不同的选法？ 分析:选出一组参赛代表，可分两步：第一步, 选男生；第二步,选女生. 解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择； 第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择； 根据分步计数原理，共有 30×24=720种不同方法. 问题6. 如果完成一件事有三个步骤, 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法 N＝m1×m2×m3 如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数如何计算？ 分步乘法计数原理一般结论： N＝m1×m2×…×mn 例3.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法 (2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法 (3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法 解：（1）根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9； （2）根据分步乘法计数原理可得：N＝4 ×3×2＝24； （3）需先分类再分步. 第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法； 第二类：从一、三层各取一本,有4×2=8种方法； 第三类：从二、三层各取一本,有3×2=6种方法； 根据两个基本原理，不同的取法总数是 N=4×3+4×2+3×2=26 答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法. 应用分步乘法计数原理解题的一般思路 跟踪训练2. 有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，且每人至多参加一项； (3)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法． 根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为36＝729. (2)每项限报一人，且每人至多参加一项， 因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法． 根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为6×5×4＝120. (3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为63＝216. 通过导语，帮助学生回顾计数问题，引出学习课题。 通过具体问题，已发学生思考，通过分析、比较、归纳、形成对计数原理的认识。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。 在典例分析和练习中让学生熟悉两个计数原理的基本步骤，并能区分它们的联系和区别，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
三、达标检测 1.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有( ) A．20种 B．15种 C．10种 D．4种 解析：若4本中有3本语文参考书和1本数学参考书，则有4种方法，若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法，若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠送方法共有4＋4＋6＋1＝15(种).故选B. 答案：B 2.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是( ) A．56 B．65 C．30 D．11 解析：(1)第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．故选A. 3. 4张卡片的正、反面分别标有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,可组成 个不同的三位数. 解析:分三个步骤: 第一步:百位可放8-1=7个数; 第二步:十位可放6个数; 第三步:个位可放4个数. 根据分步乘法计数原理,可以组成N=7×6×4=168个不同的三位数. 答案:168 4.如图所示的电路图,从A到B共有 条不同的线路可通电. 解析:先分三类.第一类,经过支路①有3种方法;第二类,经过支路②有1种方法;第三类,经过支路③有2×2=4种方法,所以总的线路条数N=3+1+4=8. 答案:8 5.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C1,求其中经过3条棱的路线共有多少条 解:从总体上看有三类方法,分别经过AB,AD,AA1.从局部上看每一类又需分两步完成.故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条. 6.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法 解:由题意知,有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语. 方法一:分两类. 第一类:从只会英语的6人中选1人有6种选法,从会日语的3人中选1人有3种选法.此时共有6×3=18(种)选法. 第二类:从“全能”的人中选1人有1种选法,从只会日语的2人中选1人有2种选法,此时有1×2=2(种)选法.所以由分类加法计数原理知,共有18+2=20(种)选法. 方法二:设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选和不入选两类情形,入选后又分两种情况:(1)教英语;(2)教日语. 第一类:甲入选. (1)甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×2=2(种)选法; (2)甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×6=6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2+6=8(种). 第二类:甲不入选. 可分两步:第一步,从只会英语的6人中选1人有6种选法;第二步,从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理,有6×2=12(种)不同的选法.综上,共有8+12=20(种)不同的选法. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结 两个原理的联系与区别 1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法. 2.区别 分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复
五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
教学反思
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是综合应用两个计数原理，产生这一问题的原因是不能根据问题的特征选择对应的原理。要解决这一问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出两个计数原理，然后从单一到综合的方式，安排例题，其中关键是从单一到综合，引导学生体会两个计数原理的基本思想。
16.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2)
教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主要学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理。
两个计数原理，其核心是准确理解两个原理，弄清它们的区别。理解它关键就是要根据实例概括两个计数原理。学生对计数问题已经有一些经验和技巧，本节课的内容分类计数原理和分步计数原理就是在此基础上的发展。由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础,所以在本学科计数问题中有重要的地位，是本学科的核心内容。教学的重点是两个原理的理解与应用，解决重点的关键是从单一到综合，恰当安排实例。
教学目标与核心素养
课程目标 学科素养
A. 进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理； B．能应用两个计数原理解决实际问题. 1.数学抽象：两个计数原理 2.逻辑推理：运用分类思想解决复杂问题 3.数学运算：运用计数原理解决计数问题 4.数学建模：将计数问题转化为分类和分步计数问题
重点难点
重点： 分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用
难点： 准确应用两个计数原理解决问题
课前准备
多媒体
教学过程
教学过程 教学设计意图 核心素养目标
温故知新 两个原理的联系与区别 1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法. 2.区别 分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复
二、典例解析 例4. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置， 问共有多少种不同的挂法？ 分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成. 解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上， 可以分两个步骤完成: 第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法， 第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法， 根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是 N=3×2=6. 例5．给程序模块命名，需要用个字符，其中首字符要求用字母或，后两个要求用数字.问最多可以给多少个程序命名？ 分析：要完成一件事是“给一个程序模块命名” ，可以分三个步骤完成：第1步，首选字符，第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符，还有首字符又可以分为两类。 解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为，后两个字符从中选，因为数字可以重复， 所以不同选法的种数都为9. 由分步乘法计数原理，不同名称的个数是， 即最多可以给1053个程序命名. 例6. 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问： （1）一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 分析： （1）要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字” .由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都是0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理来求解；（2）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可. 解：（1）一个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示 2×2×2×2×2×2×2×2==256个不同的字符； （2）由（1）知，用一个字节能表示256个字符， ∵256<6763，一个字节不够；根据分步乘法计数原理， 2个字节可以表示256×256=65536个不同的字符， ∵65536>6763，所以每个汉字至少要用2个字节表示. 例7.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行调试，程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多字模块组成，如图，这是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？ 另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？ 分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束.而第1步可有子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可以由子模块4、子模块5中任何一个来完成，因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个技术原理. 解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2,、子模块3中的子路径条数共为18+45+28=91； 子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81. 又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为91×81=7371. 在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块，这样，它可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常，总共需要的测试次数为 18+45+18+38+43=172. 再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为3×2=6.
如果每个子模块都正常功能，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作，正常这样测试整个模块的次数就变为172+6=178，显然178与7371的差距是非常大的. 1.使用两个原理的原则 使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决,用分类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理. 2.应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算.
例8.通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示发牌机关代号，第二部分有阿拉伯数字和英文字母组成的序号如图， 其中，序号的编码规则为：
（1）由10个阿拉伯数字和除 O,I之外的24个英文字母组成;
（2）最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？ 典例解析 分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数，按程序编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类；没有字母，有1个字母，有2个字母，以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号，分为五个子类，将有2个字母的序号，分为十个子类. 解：有号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数，根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母. （1）当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法，根据分布乘法计数原理，这类号牌张数为10×10×10×10×10=100000. （2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.
当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选一个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为：24×10×10×10×10=240000.
同样，其余四个子类号牌也各有240000张。 根据分类加法计数原理，这类号牌张数，共为 240000+240000+240000+240000+240000=1200000. （3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1~2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位，第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×24×10×10×10=576000
同样其余九个子类号牌也各有576000张
于是这类号牌张数一共为576000×10=5760000 综合（1）（2）（3）根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为 10000十1200000+5760000=7060000. 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象的数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法. (2)当涉及对象的数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法.去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 归纳总结 跟踪训练. 7名学生中有3名学生会下象棋但不会下围棋,有2名学生会下围棋但不会下象棋,另2名学生既会下象棋又会下围棋.现从中选出会下象棋和会下围棋的学生各1人参加比赛,共有多少种不同的选法 跟踪训练 解:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理得N1=3×2=6(种). 第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理得N2=3×2=6(种). 第3类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理得N3=2×2=4(种). 第4类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,另一名参加围棋比赛,有N4=2种. 综上,由分类加法计数原理可知,不同选法共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18(种). 通过引导学生回顾计数原理，进一步比较分析加深对两个计数原理得理解。 通过具体问题，分析、比较、归纳、加深对两个计数原理的认识。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。 在典例分析和练习中让学生熟悉两个计数原理的基本步骤，并能区分它们的联系和区别，进而灵活运用两个计数原理。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
三、达标检测 1.现有4件不同款式的上衣和7条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为( ) A.11 B.28 C.16 384 D.2 401 解析:要完成配套,分两步:第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同的选法;第2步,选长裤,从7条长裤中任选一条,有7种不同的选法.故共有4×7=28(种)不同的配法. 答案:B 2.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶数的不同取法的种数为( ) A.30 B.20 C.10 D.6 解析:从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两个不同的数字相加,和为偶数可分为两类,①取出的两数都是偶数,共有3种取法;②取出的两数都是奇数,共有3种取法.故由分类加法计数原理得,共有N=3+3=6(种)取法. 答案:D 3.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马和猴,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有( ) A.50种 B.60种 C.80种 D.90种 解析:根据题意,按甲的选择不同分成2种情况讨论: 若甲选择牛,此时乙的选择有2种,丙的选择有10种,此时有2×10=20(种)不同的选法. 若甲选择马或猴,此时甲的选择有2种,乙的选择有3种,丙的选择有10种, 此时有2×3×10=60(种)不同的选法. 一共有20+60=80(种)不同的选法.故选C. 答案:C 4.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两个端点异色,若只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法共有( ) A.48种 B.72种 C.96种 D.108种 解析:设四棱锥为P-ABCD. 当A,C颜色相同时,先染P有4种方法,再染A,C有3种方法,然后染B有2种方法,最后染D也有2种方法.根据分步乘法计数原理知,共有4×3×2×2=48(种)方法;当A,C颜色不相同时,先染P有4种方法,再染A有3种方法,然后染C有2种方法,最后染B,D都有1种方法.根据分步乘法计数原理知,共有4×3×2×1×1=24(种)方法.综上,共有48+24=72(种)方法.故选B. 答案:B 5.某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人,有多少种不同的选法 解:由题意可知,在艺术小组9人中,有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人记为甲),只会钢琴的有6人,只会小号的有2人.把从中选出会钢琴与会小号各1人的方法分为两类.第1类,甲入选,另1人只需从其他8人中任选1人,故这类选法共8种;第2类,甲不入选,则会钢琴的只能从6个只会钢琴的人中选出,有6种不同的选法,会小号的也只能从只会小号的2人中选出,有2种不同的选法,所以这类选法共有6×2=12(种).因此共有8+12=20(种)不同的选法. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结 五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
教学反思
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是综合应用两个计数原理，产生这一问题的原因是不能根据问题的特征选择对应的原理。要解决这一问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出两个计数原理，然后从单一到综合的方式，安排例题，其中关键是从单一到综合，引导学生体会两个计数原理的基本思想。
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