6.2.1- 6.2.2 排列与排列数
教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主本节课主要学习排列与排列数。
排列与组合是在学习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。教学的重点是排列的理解，利用计数原理推导排列数公式，难点是运用排列解决实际问题。
教学目标与核心素养
课程目标 学科素养
A. 理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列. B.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算. C.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题. 1.数学抽象：排列的概念 2.逻辑推理：排列数的性质 3.数学运算：运用排列数解决计数问题 4.数学建模：将计数问题转化为排列问题
重点难点
重点：理解排列的定义及排列数的计算
难点：运用排列解决计算问题
课前准备
多媒体
教学过程
教学过程 教学设计意图 核心素养目标
温故知新 两个原理的联系与区别 1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法. 2.区别 分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复
问题1. 从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动. 分析：要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名参加上午的活动，另1名参加下午的活动”，可以分两个步骤： 第1步，确定上午的同学，从3人中任选1人，有3种选法； 第2步，确定下午的同学，只能从剩下的2人中去选，有2种选法. 根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为3×2=6. 问题如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，则问题可叙述为：从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 问题2. 从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？ 分析：从4个数中每次取出三个按“百位、十位、个位” 的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数，可以分三个步骤解决： 第1步，确定百位上的数字，从1、2、3、4这4个数中任取一个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，只能从余下的3个数字中取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，只能从余下的2个数字中取，有2种方法；根据分步乘法计数原理，从1、2、3、4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按百位、十位、个位的顺序排成一列，不同的排列方法为4×3×2=24 因而共可得到24个不同的三位数，如图所示 同样，问题2可以归结为： 从4个不同的元素中任意取出3个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 不同的排列方法为4×3×2=24 上述问题1,2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？ 一、排列的相关概念 1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. 名师点析理解排列应注意的问题 (1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”. (2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序. 1.下列问题中: ①10本不同的书分给10名同学,每人一本; ②10位同学互通一次电话; ③10位同学互通一封信; ④10个没有任何三点共线的点构成的线段. 属于排列的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:由排列的定义可知①③是排列,②④不是排列. 答案:B 二、典例解析 例1. 某省中学足球队赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？ 分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列. 解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为 6×5=30. 例2. （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列. 解： （1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为 5×4×3=60. （2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法； 最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法. 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为 5×5×5=125. 二、排列数与排列数公式 1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做 从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示. 2.排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=,这里m,n∈N*,并且m≤n. 3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1.也就是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成=n!.另外,我们规定,0!=1. 问题3. 你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗 它们有什么区别 “排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数. 例3. 计算：（1） 解：根据排列 （1） （2） （3） （4） 由例3可以 即 例4.用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素。一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。 解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第1步，确定百位上的数字可以从1~9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数中取2个, 有种取法； 如图 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 9×9×8648. 解法2：如图，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数中取出2个放在百位和十位，有种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法.根据分类加法计数原理,所求三位数的个数为=9×8×7+9×8+9×8=648. 解法3：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数， 即所求三位数的个数为10×9×89×8648. 1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法. 2.元素分析法最基本,位置分析法对重要元素区别对待,间接法对对立面比较容易求解的题目特别实用. 跟踪训练 有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程,从中选4门安排在上午的4节课中,其中化学不排在第四节,共有多少种不同的安排方法 解:(方法一 分类法)分两类: 第1类,化学被选上,有种不同的安排方法; 第2类,化学不被选上,有种不同的安排方法. 故共有=300(种)不同的安排方法. (方法二 分步法)第1步,第四节有种排法;第2步,其余三节有种排法,故共有=300(种)不同的安排方法. (方法三 间接法)从6门课程中选4门安排在上午,有种排法,而化学排第四节,有种排法,故共有=300(种)不同的安排方法. 通过引导学生回顾计数原理，进一步比较分析加深对两个计数原理得理解。 通过具体问题，分析、比较、归纳出对排列的概念。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。 在典例分析和练习中让学生熟悉排列和排列数的概念，进而灵活运用排列数解决问题。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
三、达标检测 1.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为( ) A.5 B.10 C.20 D.60 解析:此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共有 =20(种)不同的送书方法. 答案:C 2.设m∈N*,且m<15,则=( ) A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m) B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m) C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) 解析: 是指从20-m开始依次连续的6个数相乘,即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m). 答案:C 3.某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,不同的演出顺序共有( ) A.24种 B.144种 C.48种 D.96种 解析:第1步,先安排甲有种不同的演出顺序;第2步,安排乙和丙有种不同的演出顺序;第3步,安排剩余的三个演员有种不同的演出顺序.根据分步计数原理,共有=96(种)不同的演出顺序.故选D. 答案:D 4.有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地里,有 种不同的种法. 解析:将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题,所以不同的种法共有 =8×7×6×5=1 680(种). 答案:1 680 5.用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数. (1)这些四位数中偶数有多少个 能被5整除的有多少个 (2)这些四位数中大于6 500的有多少个 解:(1)偶数的个位数只能是2、4、6,有种排法,其他位上有种排法,由分步乘法计数原理,知共有四位偶数=360(个);能被5整除的数个位必须是5,故有=120(个). (2)最高位上是7时大于6 500,有种,最高位上是6时,百位上只能是7或5,故有2×种.由分类加法计数原理知,这些四位数中大于6 500的共有+2×=160(个). 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结 五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
教学反思
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是综合应用两个计数原理，产生这一问题的原因是不能根据问题的特征选择对应的原理。要解决这一问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出两个计数原理，然后从单一到综合的方式，安排例题，其中关键是从单一到综合，引导学生体会两个计数原理的基本思想。
16.2.3- 6.2.4 组合与组合数
教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主本节课主要学习组合与组合数.
排列与组合是在学习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。教学的重点是组合的理解，利用计数原理及排列数公式推导组合数公式，注意区分排列与组合的区别，难点是运用组合解决实际问题。
教学目标与核心素养
课程目标 学科素养
A. 理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别. B.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中. C.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力. 1.数学抽象：组合的概念 2.逻辑推理：组合数公式的推导 3.数学运算：组合数的计算及性质 4.数学建模：运用组合解决计数问题
重点难点
重点：组合、组合数的概念并运用排列组合公式解决问题
难点：组合与排列之间的联系与区别
课前准备
多媒体
教学过程
教学过程 教学设计意图 核心素养目标
问题探究 问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？ 分析：在6.2.1 节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况： 甲乙、甲丙、乙丙. 从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？ 一、组合的相关概念 1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的. 名师点析排列与组合的区别与联系 (1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素. (2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关. 1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？ （1）与顺序无关，是组合问题； （2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。 例5.平面内有A，B，C，D共4个点.
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；
（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题. 解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为=4×3=12.
这12条有向线段分别为 , , , , , , （2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数， 共有如下6条：
AB,AC,AD,BC,BD,CD. 问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同” 为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？ 进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？ 二、组合数与组合数公式 1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数, 用符号 表示. 例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为， 从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为. 思路：从4个不同元素中取出3个元素的组合数，设这4个元素为a,b,c,d，那么从中取出3个元素的排列数 =24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组如图，一共有4组，因此组合数 =4. 问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？ 也可以这样理解，求“从4个元素中取出3个元素的排列数” 第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法；
第2步，将取出的3个元素做全排列，共有种不同的取法.
于是，根据分布乘法计数原理有
= 即 ==4. 同样的从个不同对象中取出个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从个不同对象中取出 个，有种选法； 第二步将选出的个对象做全排列，有种排法. 由分步乘法计数原理有 ，所以 上述公式称为组合数公式. 2.组合数公式:,这里n,m∈N*,并且m≤n. 另外,我们规定=1. 二、典例解析 例6.计算： （1）；（3） 解:根据组合数公式，可得 120; (3) (4) 观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？ 1.公式(m,n∈N*,且m≤n),一般用于求值计算. 2.公式(m,n∈N*,且m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择. 3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质,能起到简化运算的作用,需熟练掌握. 跟踪训练1. (1)计算:①3-2;②. (2)求证:+2. 分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明. (1)解:①3-2=3×-2×+1=149. ②+200=5 150. (2)证明左边= =·[(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)] =(n+2)(n+1) = ==右边. 例7. 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 分析:（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数； （2）分两步，第一步从2件次品中抽出1件次品，第二步从98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得； （3）可从反面考虑，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法数后，由第（1）题的结论减去这个结果即可得． 解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，∴共有(种)； （2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种， 从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种， 因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有(种). （3）抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数， 也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数， 即(种). 组合问题的基本解法 (1)判断是否为组合问题; (2)是否分类或分步; (3)根据组合的相关知识进行求解. 跟踪训练2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法 (1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加; (5)甲、乙、丙三人至少1人参加. 分析:本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程. 解:(1)=792(种)不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有=36(种)不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有=126(种)不同的选法. (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙 中选1人,有=3(种)选法,再从另外的9人中选4人有种选法.共有=378(种)不同的选法. (5)(方法一 直接法)可分为三类: 第1类,甲、乙、丙中有1人参加,有种选法; 第2类,甲、乙、丙中有2人参加,有种选法; 第3类,甲、乙、丙3人均参加,有种选法. 所以,共有=666(种)不同的选法. (方法二 间接法)12人中任意选5人共有种,甲、乙、丙三人不能参加的有种, 所以,共有=666(种)不同的选法. 变式： 若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法 解:(方法一 直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类: 第1类,甲、乙、丙都不参加,有种选法; 第2类,甲、乙、丙中有1人参加,有种选法; 第3类,甲、乙、丙中有2人参加,有种选法. 共有=756(种)不同的选法. (方法二 间接法)12人中任意选5人共有种,甲、乙、丙三人全参加的有种选法,所以共有=756(种)不同的选法. 通过具体问题，分析、比较、归纳出组合的概念。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。 在典例分析和练习中让学生熟悉组合和组合数的概念，进而灵活运用排列数解决问题。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
三、达标检测 1.从10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属于组合的有2个. 答案:B 2.若=3,则n的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:因为=3,所以n(n-1)=,解得n=6.故选C. 答案:C 3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A的子集中含有4个元素的子集共有 个. 解析:满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个数为=5. 答案:5 4.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形 解:(方法一)我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准: 第1类,共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有=48(个)不同的三角形; 第2类,共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有=112(个)不同的三角形; 第3类,共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有=56(个)不同的三角形. 由分类加法计数原理,不同的三角形共有 48+112+56=216(个). (方法二 间接法)=220-4=216(个). 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结 五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
教学反思
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是学生对组合概念的理解，并能区分出组合与排列。要解决这一问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出组合的定义，然后借助计数原理好排列数，推导出组合数公式，其中关键是在具体情境中运用组合解决计数问题。
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