6.3.1 二项式定理
教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主本节课主要学习二项式定理
二项式定理的形成过程是组合知识的应用，同时也为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。本课数学内容的本质：多项式乘法的深化与再认识。
教学目标与核心素养
课程目标 学科素养
A. 利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明； B.会应用二项式定理求解二项展开式； C.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力. 1.数学抽象：二项式定理 2.逻辑推理：运用组合推导二项式定理 3.数学运算：运用二项式定理解决问题 4.数学建模： 在具体情境中运用二项式定理
重点难点
重点： 应用二项式定理求解二项展开式
难点：利用计数原理分析二项式的展开式
课前准备
多媒体
教学过程
教学过程 教学设计意图 核心素养目标
问题探究 上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开式的问题。 问题1：我们知道 =a2+2ab+b2, （1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ （2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？ （3）进一步地，你能写出的展开式吗？ 我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则， 可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项（选或），再从另一个中选一项（选或），就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有=项，而且每一项都是（ =0,1,2）的形式. 我们来分析一下形如的同类项的个数. 当=0时，=，这是由2个中都不选得到的，因此，出现的次数相 当于从2个中取0个（即都取）的组合数，即只有1个； 当=1时，= ，这是由1个中选，另一个选得到的，由于选定后，的选法也随之确定，因此， 出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即只有2个； 当=2时，= ，这是由2个中选得到的，因此，出现的次数相当于从2个中取2个的组合数，即只有1个； 由上述 问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？ 类似 1．二项式定理 (a＋b)n＝_________________________ (n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项． (3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn n＋1 ；C 2．二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______. k＋1 ；Can－kbk 二项式定理形式上的特点 (1)二项展开式有n+1项,而不是n项. (2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等. (3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即+…+=2n. (4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． ( ) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． ( ) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． ( ) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． ( ) [解析] (1)× 因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项． (2)× 因为二项式的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的 第k＋1项Cbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的． (3)× 因为Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项． (4)√ 因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、典例解析 例1.求的展开式. 解：根据二项式定理 + 1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n. 2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢. 跟踪训练1 (1)求34的展开式; (2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 解:(1)方法一 34=(3)4+(3)3·(3)2·2 +·33+·4=81x2+108x+54+. 方法二 34= =(81x4+108x3+54x2+12x+1) =81x2+108x+54+. (2)原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)+(x-1)0-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1. 例2.（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数. 解：的展开式的第4项是 因此,展开式第4项的系数是280. （2） 的展开式的通项是 根据题意，得， 因此， 二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念. (2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=17-3(2x)3,其二项式系数是=35,而第4项的系数是23=280. 跟踪训练2. (1)求二项式26的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; (2)求x-9的展开式中x3的系数. 解:(1)由已知得二项展开式的通项为 Tk+1=(2)6-k·-k=26-k·(-1)k·, ∴T6=-12. ∴第6项的二项式系数为=6, 第6项的系数为·(-1)5·2=-12. (2)设展开式中的第k+1项为含x3的项,则 Tk+1=x9-k-k=(-1)kx9-2k, 令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x3,其系数为(-1)3·=-84. 学生带着问题去观察展开式，引发思考积极参与互动，说出自己见解。发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。 这个过程让学生亲身经历了从“繁杂计算之苦”到领悟“分步乘法原理与组合数的简洁美”，这也是一个内化的过程，巩固已有思想方法，建立猜想二项式定理的认知基础。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 通过典例解析，让学生体会利用二项式定理模型进行计算，感受数学模型在数学应用中的价值。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
三、达标检测 1.(a+b)2n的展开式的项数是( ) A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1) 解析:易知二项式(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1. 答案:B 2.(2a+b)5的展开式的第3项是( ) A.23 B.23a3b2 C.23 D.23a2b3 解析:T2+1=(2a)3b2=23a3b2. 答案:B 3.二项式的展开式中有理项共有 项. 解析:根据二项式定理的通项 Tk+1=. 当取有理项时,为整数, 此时k=0,2,4,6.故共有4项. 答案:4 4.如果()n的展开式中,含x2的项为第三项,则自然数n= . 解析:Tk+1=)n-k()k=,由题意知当k=2时,=2,解得n=8. 答案:8 5.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数. 解:由题设知m+n=19,又m,n∈N*,∴1≤m≤18. x2的系数为(m2-m)+(n2-n)=m2-19m+171. ∴当m=9或10时,x2的系数的最小值为81, 此时x7的系数为=156. 6.已知在的展开式中,第6项为常数项. (1)求n; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 分析:先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问. 解:(1)由通项知,展开式中第k+1项为 Tk+1=·()n-k··()n-k·. ∵第6项为常数项,∴k=5,且n-5×2=0,∴n=10. (2)由(1)知Tk+1=.令=2,则k=2. ∴x2的系数为×45=. (3)当Tk+1项为有理项时,为整数,0≤k≤10,且k∈N. 令=z,则k=5-z, ∴z为偶数,从而求得当z=2,0,-2时,相应地k=2,5,8符合条件. ∴有理项为T3=x2=x2, T6==-,T9=x-2=x-2. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结 五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
教学反思
这一节课面对的是高二年级的学生，这一学段的学生已经初步具备了多项式运算、计数原理、组合等相关知识储备，能够在教师的引导下理解并掌握本节课的内容，但在动手操作和合作学习等方面，有待进一步加强。
本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标，这样，课上的探究过程就不会卡顿了。
16.3.2 二项式系数的性质
教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主本节课主要学习二项式系数的性质
本节是在学习了二项式定理的基础上，探究二项式系数的性质。由于二项式系数组成的数列就是一个离散型函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识前后联系，使学生运用利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想进行思考。
研究二项式系数这组特定的性质，对巩固二项式定理，建立知识间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要作用，对后续学习微分方程也具有重要地位。
教学目标与核心素养
课程目标 学科素养
A.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题. B.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数. 1.数学抽象：二项式系数的性质 2.逻辑推理：运用函数的观点讨论二项式系数的单调性 3.数学运算：运用二项式性质解决问题 4.几何直观：运用函数图像讨论二项式系数的性质
重点难点
重点： 二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；
难点：理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；
利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.
课前准备
多媒体
教学过程
教学过程 教学设计意图 核心素养目标
温故知新 1．二项式定理 (a＋b)n＝_________________________ (n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项． (3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn n＋1 ；C 2．二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______. k＋1 ；Can－kbk 新知探究 探究1：计算展开式的二项式系数并填入下表 二项式系数: 通过计算、填表、你发现了什么规律？ n的展开式的二项式系数 111 2121 31331 414641 515101051 61615201561
将上表写成如下形式： 思考：通过上表和上图，能发现什么规律？ 展开式的二项式系数 我们还可以从函数的角度分析它们。可看成是以为自变量的函数，其定义域是 我们还可以画出它的图像。 例如，当时， 函数()的图像是7个离散的点，如图所示。 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 . 2.增减性与最大值 当k<时,随k的增加而增大;由对称性可知,当k>时,随k的增加而减小.当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值. 探究2.已知 = 3.各二项式系数的和 +…+=2n. 令x=1 得= 所以，的展开式的各二项式系数之和为 1. 在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为 ,在(a+b)9的展开式中,二项式系数最大的项为 . 解析:因为(a+b)8的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大,该项为a4b4=70a4b4. 因为(a+b)9的展开式中有10项,所以中间两项的二项式系数最大,这两项分别为a5b4=126a5b4,a4b5=126a4b5. 答案:1.70a4b4 126a5b4与126a4b5 2. A=+…与B=+…的大小关系是( ) A.A>B B.A=B C.A三、达标检测 1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为( ) A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项. 答案:C 2.已知+2+22+…+2n=729,则的值等于( ) A.64 B.32 C.63 D.31 解析:由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6. 则=32. 答案:B 3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) A.212 B.211 C.210 D.29 解析:因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等, 所以,解得n=10, 所以二项式(1+x)10中奇数项的二项式系数和为×210=29. 答案:D 4.已知+2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,则展开式中二项式系数最大的项的系数为 . 解析:由=37,得1+n+n(n-1)=37, 解得n=8(负值舍去), 则第5项的二项式系数最大, T5=×(2x)4=x4,该项的系数为. 答案: 5.已知+2xn,若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数. 解:∵=2, ∴n=7或n=14, 当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5, T4的系数为×4×23=,T5的系数为×3×24=70; 当n=14时,展开式中二项式系数最大项是T8,T8的系数为 ×7×27=3 432. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结 五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
教学反思
本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标。
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