2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册4.2专题讲座：两角和差在解三角形中的应用课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
4.2 专题讲座：两角和差公式在解三角形中的应用
北师大（2019）必修2
基础知识梳理与理解
学以致用
题型分类　深度剖析
内容索引
基础知识梳理与理解
名称 公式 简记 使用条件
两角和 的余弦 公式 cos(α+β)=①_ Cα+β α,β∈R

两角差 的余弦 公式 cos(α-β)=②_ Ca-β α,β∈R
两角和 的正弦 公式 sin(α+β)=③_ Sa+β α,β∈R
两角差 的正弦 公式 sin(α-β)=④_ Sa-β
两角和 的正切 公式 tan(α+β)=⑤_ Tα+β ⑥
_
两角差 的正切 公式 tan(α-β)=⑦_ Ta-β ⑧_
知识点
1.两角和与差的三角函数公式
重
知识点
2.两角和与差的正切公式的变形
(1) tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtan β);

(2)tanα-tanβ =tan(α-β)(1+tanαtan β).

α
知识点
3.三角函数的叠加
asinα+bcosα=⑨__ sin(α+φ)，其中
sinφ=⑩ _，cosφ=11__(a，b不同时为0).
重
知识点
4.积化和差与和差化积公式
(1)积化和差公式
知识点
4.积化和差与和差化积公式
(2)和差化积公式




①cosacosβ-sin asinβ②cosαcosβ+sin asinβ
③sinacosβ+cos asinβ④sinacosβ-cos asinβ

,β,
答案t
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
5.正弦定理、余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝ ＝ ＝2R a2＝ ；
b2＝ ；
c2＝_______________
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
知识点
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝ ，c＝ ； (2)sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ； (3)a∶b∶c＝ ； (4)asin B＝bsin A， bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝ ；
cos B＝ ；
cos C＝____________
2Rsin B
2Rsin C
sin A∶sin B∶sin C
6.三角形常用面积公式
(1)S＝ a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝ absin C＝ ＝ ；
(3)S＝ r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).
acsin B
bcsin A
1.三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
知识拓展
2.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
3.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
题型分类　深度剖析
第1　两角和差公式在解三角形中应用
第2　防错强化
两角和差公式在解三角形中应用
从②2bsinA=atan B,③(a-c) sin A+csin(A+B)=bsinB.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_.
(1)求角B；
(2)若a+c=4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.
典例
解(1)选①，由正弦定理得
因sinA≠0, 即
答
选②，由2bsinA=atanB，得
由正弦定理得
因sinA≠0,sinB=0，所以
答
选③，sin(A+B)=sin(π-C)=sinC，
由已知结合正弦定理可得

答
即3ac=16-b ， 解得b≥2，当且仅当a=c=2时取等号，
周长的最小值为6，
此时△ABC的面积
方法总结
(1)由于三角形内角和为180°，因此解决三角形中的有关角时，要创设件，使之能运用两角和差公式；
(2)常用恒等式如下：

两角和差公式在解三角形中应用
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°

(1)若 求△ABC的面积；

(2)若 求C.
典例
分析
(1)已知角B和b，结合a，c的关系，由余弦定理建立关于c的方程，求解得出a，提示c，利用面积公式，即可得出结论；
(2)将A=30°-C代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角C的三角函数值，结合C的范围，即可求解.
答
解(1)由余弦定理可得
△ABC的面积
(2);A+C=30°,.. sin
:0°两角和差公式在解三角形中应用
已知m=(cosA，sinA)，n=(cos B，-sin B)，若 且A，B，C为△ABC的三个内角，则C为()

典例
由题,在ABC中，m=(cos A，sin A)，
即cosAcos B-sin AsinB
所以
答
两角和差公式在解三角形中应用
在△ABC中，若 B)=7, 则△ABC的面积为＿.
典例
由B)=7得tanC=-7,sin C=-7cosC

则sinB=sin(A+C)=

由正弦定理得 得

得A △ABC的面积 4B·sinA
答
两角和差公式在解三角形中应用
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_.
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为10，D为AC的中点，求BD的最小值.
典例
方案1
解：选条件①. 可得
由正弦定理得 sin C.
B=π-(A+C),s in B=sin(A+C), sin Acos C+cos
故sin 4sinC,又sinA=0，the cosC，即
方案2
选条件②.

由正弦定理及同角三角函数

系式，得

;A+B+C=π, (B+C)=

又sinA≠0，
方案3
在△ABC中，由正弦定理得bsinC=csinB.

又

. sin

即


(2)由题意知 得ab=40.
由余弦定理得
当且仅当 且ab=40，即 时取等号，..BD的最小值为
防错强化
忽视三角形中角的限制条件致误
已知在△ABC中， 求cos C.
解 且 若 又 则 与A+B+C=π矛盾，
.。cosC=cos =-cos(A+B) =-cos Acos B+t
方法总结
若不注意三角形的内角和为π，即不认真讨论角的范围，就会多出一个解，本题也可以利用sinA学以致用
1.在中,内角所对的边分别是,已知,.
1.求;
2.若三角形的面积为,求角.
解析：1.由题意知, ,则,即有,
所以,由正弦定理, ,则;
2.因为三角形的面积为,、,
所以,则,①
由余弦定理得, ,②
由①②得, ,则,,
又,则即,解得
2.已知A、B、C为三角形ABC的三内角，其对应边分别为a、b、c、若有2acosC=2b+c成立.(1)求A的大小；
(2)若a=2，b+c=4，求三角形ABC的面积.
答案1)2acosC=2b+c.由正弦定理可知2sinAcosC=2sinB+sinC.①三角形中有：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，②

联立①②可化简得2cosAsinC+sinC=0.

在三角形中sinC-0.得 ，

(2)由余弦定理 得 即12=16-2bc+bc，解得bc=4

则