初中数学北师大版八年级下册第一章第一节第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·盐池期末）如图，已知∠1=∠2，若用“SAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）
A．AD ＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝OB
2．（2021八上·高邑期中）已知如图，要测量水池的宽 ，可过点A作直线 ，再由点C观测，在 延长线上找一点 ，使 ，这时只要测量出 的长，就知道 的长，那么判定 的理由是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·瑞安月考）如图，在△ABC和△BAD中，已知∠CAB=∠DBA，添加下列条件，还不一定能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．∠C=∠D B．AC=BD C．BC=AD D．AM=BM
4．（2021八上·博兴期中）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝44°，则∠AED的大小为（ ）
A．70° B．68° C．64° D．62°
5．（2021八上·无棣期中）等腰三角形的底角等于50°，则该等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
6．（2021八上·凤山期中）等腰三角形的两边长分别是 和 ，则它的周长是（ ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
7．（2021八上·长春期末）若中刚好有 ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且 称作“可爱角”．现有 一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或或
8．（2021八上·滨江期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE.若BD＝8，CD＝5，则△DCG的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021八上·荷塘期末）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是
10．（2021八上·赵县月考）如图所示，有一块三角形的镜子，小明不小心弄破裂成1、2两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上 块，其理由是 ．
11．（2021九上·温州月考）如图，AB∥CD，点E在线段AC上，AB=AE.若∠ACD=38°，则∠1的度数为 .
12．（2021·苏州模拟）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成.两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E在槽中滑动，若∠BDE＝84°.则∠CDE是 °.
13．（2021八上·恩平期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝DC，若BC＝6，AD＝7，则图中阴影部分图形的面积为 ．
14．（2021八上·瓯海月考）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD⊥AC，则BD＝ .
15．（2021八上·长春月考）如图，△PBC的面积为5cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，则△ABC的面积为 cm2．
16．（2021八上·南通月考）如图， 中， ， ， ，点M从A点出发沿 路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿 路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作 于E， 于F.设运动时间为t秒，要使以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 .
三、解答题
17．（2021八上·江汉期中）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，求证：CD＝BE.
18．（2021八上·冠县期中）已知：如图，在 中， ，D是BC的中点， ， ，E，F是垂足， 吗？请说明理由．
19．（2020八上·河南期中）如图，在 中， .分别延长 至点 使 ，连接 求 的度数.
20．（2020八上·上海期中）如图，在△ABC中，AD BC，垂足是D，∠B=2∠C．求证：AB+BD= DC．
四、综合题
21．（2021·黄冈模拟）已知：如图，已知 ， ， 和 相交于点 ，点 是 的中点，连接 .
（1）求证： ；
（2）求 的度数.
22．（2021九上·临海期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，且点D在边BC上.
（1）若∠DAC=50°，则∠ABE= 度；
（2）求证：BE⊥BC：
（3）若点D是BC的中点，AC=2，求BE的值.
23．（2021八上·吉林期末）如图，在中，，为边的中线，是边上一点（点不与点、重合），过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：AD//FG；
（2）求证：；
（3）若，且，直接写出的长．
24．（2021八上·海曙期末）如图所示， 中， ， 于点 ， ， ．
（1）求 ， 的长．
（2）若点 是射线 上的一个动点，作 于点 ，连结 ．
①当点 在线段 上时，若 是以 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 的长．
②设 交直线 于点 ，连结 ， ，若 ，则 的长为多少？（直接写出结果）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：已知∠1=∠2，AB=BA，根据SAS判定定理可知需添加BD＝AC.
故答案为：B.
【分析】由已知条件可知：∠1=∠2，AB=BA，然后找出∠1、∠2的另一组邻边，令其相等即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AC⊥AB，
∴∠CAB=∠CAB’=90°，
在△CAB和△CAB’中，
∴△ACB≌△ACB’，
∴AB=AB’(全等三角形的对应边相等).
故答案为：A.
【分析】根据题意可得∠CAB=∠CAB’=90°，，再结合公共边AC，利用“ASA”即可证明△ACB≌△ACB’，再利用全等的性质可得答案。
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD，故A不符合题意；
B、在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD，故B不符合题意；
C、由∠CAB=∠DBA，AB=BA，BC=AD，不能判断△ABC≌△BAD，故C符合题意；
D、∵AM=BM，
∴∠CBA=∠DAB，
∴在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定定理：SAS，AAS，ASA，逐项进行判断，即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解： ，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质解决问题即可。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 等腰三角形的底角等于50°，
∴ 等腰三角形的顶角度数=180°-50°×2=80°.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，再根据三角形内角和定理即可得出顶角的度数.
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰长是 时，则三边分别为：
而 不合题意舍去；
当等腰三角形的腰长是 时，则三边分别为：
而 符合题意，
所以等腰三角形的周长为： cm，
故答案为：B.
【分析】由题意可知等腰三角形的三边分别3，3，7或3，7，7，再根据三角形三边关系定理和三角形的周长等于三角形三边之和可求解.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可知：设这个等腰三角形为△ABC，且，
情况一：当∠B是底角时，则另一底角为∠A，且∠A=∠B=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，
∴5∠C=180°，∴∠C=36°，∠A=∠B=72°，
此时可爱角为∠A=72°，
情况二：当∠C是底角，则另一底角为∠A，且∠B=2∠A=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，
∴4∠C=180°，即∠C=45°，
此时可爱角为∠A=45°，
故答案为：C．
【分析】当∠B是底角时，则另一底角为∠A，且∠A=∠B=2∠C，当∠C是底角，则另一底角为∠A，且∠B=2∠A=2∠C，分两种情况讨论即可。
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接DE，
∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，
∴AE＝ED＝BE，
∵CD＝AE.
∴ED＝CD，
∵DG⊥CE于点G，
∴EG＝GC，
∵CD＝5，
∴DE＝5，
∴AB＝10，
∴AD＝6，
过E作EF⊥BC于F，
∵△ABC的面积＝ ，
∴△BEC的面积＝ ，
∵△BED的面积＝ ，
∴△EDC的面积＝ ﹣12＝ ，
∴△DGC的面积＝ .
故答案为：D.
【分析】连接DE，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE＝ED＝BE，结合CD=AE可得ED＝CD，由等腰三角形的性质可得EG＝GC，由BD、CD的值可得DE、AB、AD，过E作EF⊥BC于F，由三角形的面积公式可得△ABC、△BED的面积，进而求出△BEC、△EDC、△DGC的面积.
9．【答案】50°
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠α=50°，
故答案为：50°.
【分析】根据全等三角形对应角相等即可求解.
10．【答案】第1；利用SAS得出全等三角形，即可配成与原来同样大小的一块
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】为了方便起见，需带上第1块，
其理由是：利用SAS得出全等三角形，即可配成与原来同样大小的一块．
故答案为第1，利用SAS得出全等三角形，即可配成与原来同样大小的一块．
【分析】根据SAS可得三角形全等，据此即得结论.
11．【答案】109°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴∠A=∠ACD=38°，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB= =71°，
∴∠1=180°-∠AEB=180°-71°=109°；
故答案为：109°.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠ACD=38°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B=∠AEB=71°，接下来根据邻补角的性质进行求解.
12．【答案】68
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝84°，
∴∠ODC＝28°，
∵∠CDE＋∠ODC＝180° ∠BDE＝96°，
∴∠CDE＝96° ∠ODC＝68°.
故答案为：68.
【分析】由等腰三角形的性质和外角性质可得∠BDE=∠O＋∠OED=∠ODC+2∠ODC，即可得∠ODC，由领补角可得结果.
13．【答案】10.5
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，阴影部分的面积为三角形面积的一半，
∵ ，
∴阴影部分面积=
故答案为： ．
【分析】根据题意，阴影部分的面积为三角形面积的一半，利用三角形的面积公式求出三角形的面积即可。
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】如图，过点A作交于点E，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
故答案为：.
【分析】过点A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，根据勾股定理求得AE，再利用等面积法列出BC·AE=AC·BD，代入数值即可求出BD.
15．【答案】10
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∴S△ABC=2S阴影=10（cm2），
故答案为：10．
【分析】延长AP交BC于E，证明△ABP≌△EBP（ASA），可得AP=PE，利用等底同高可得S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，继而得出S△ABC=2S阴影，即可求解.
16．【答案】 或7或8
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，
此时有AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15.
当MC＝NC即8 2t＝15 3t时全等，
解得t＝7，不合题意舍去；
②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，
若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t 8＝15 3t，
解得t＝ ；
当5≤t＜ 时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，
当MC＝NC即2t 8＝3t 15时全等，
解得t＝7；
④当 ≤t＜ 时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，
当MC＝NC即2t 8＝8，
解得t＝8；
综上所述：当t等于 或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等.
故答案为： 或7或8.
【分析】根据M、N所在的位置分类讨论，即①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，③当5≤t＜ 时，点M在BC上，点N在AC上，④当 ≤t＜ 时，点N停在点A处，点M在BC上，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用含t的代数式表示，然后然后根据对应边相等列出方程分别求解，即可得出结果.
17．【答案】证明：在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴CD=BE.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】图形中隐含公共角∠A=∠A，利用SAS证明△ABE≌△ACD，利用全等三角形的性质可证得结论.
18．【答案】解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵D是BC的中点，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据D是BC的中点，得出 ，证出 ≌ ，得出 ，在推出 ，即可得出结论。
19．【答案】解：∵△ABC满足∠A=86°，∠B=42°，
∴∠ACB=180°-86°-42°=52°，
∴∠DCE=52°，
∵CD=CE，
∴∠E=（180°-52°）÷2=64°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】在△ABC中，用三角形内角和定理求得∠ACB的度数，由对顶角相等可得∠DCE的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理可求解.
20．【答案】证明：在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AB=AE，
∴∠AEB=∠B，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=2∠C，
∴∠EAC=∠AEB-∠C=2∠C-∠C=∠C，
∴AE=CE，
∴CE=AE=AB，
∴DC=DE+CE=AB+BD，
∴AB+BD=DC．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质进行作答即可。
21．【答案】（1）证明：在 和 中，
，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）直接根据全等三角形的判定定理SSS进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACB=∠DBC，推出OB=OC，结合等腰三角形的性质可得EO⊥BC，据此解答.
22．【答案】（1）65
（2）证明：∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠DAC=∠EAB，∠AEB=∠ABE，∠DAC+∠ADC+∠ACD=180°，∠AEB+∠ABE+∠EAB=180°，
∴∠EBA=∠ACD，
∵∠ACD+∠ABC=90°，
∴∠EBA+∠ABC=90°，
∴∠EBC=90°，
∴EB⊥BC；
（3）解：∵D是BC的中点，∠BAC=90°，
∴AD=AC=DC=BD=2，
∴BC=4，
由旋转的性质可得BC=ED，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）由旋转的性质可得：AE=AB，∠DAE=∠CAB=90°，AD=AC，
∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD，∠ABE=∠AEB，
∴∠EAB=∠CAD=50°，
∴ ，
故答案为：65；
【分析】（1）利用旋转的性质可证得AE=AB，∠DAE=∠CAB=90°，AD=AC，可推出∠ABE=∠AEB，即可求出∠EAB的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠ABE的度数.
（2）利用等边对等角可证得∠ADC=∠ACD，再证明∠EBA=∠ACD，利用∠ACD+∠ABC=90°，可证得∠EBC=90°，利用垂直的定义，可证得结论.
（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半控制求出AD=AC=DC=BD=2， 同时可求出BC的长；利用旋转的性质可证得BC=DE，然后利用勾股定理求出BE的长.
23．【答案】（1）解：，为的中点，
，
，
；
（2）解：，为的中点，
，
，
，，
，
；
（3）解： ，，AB=AE+BE，
，，
由（2）可知，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，由EF⊥BC可得AD∥FG；
（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠BAD=∠CAD，利用平行线的性质可得，，从而得出，由等角对等边即得结论；
（3）先求出AE =3，BE =1， 由（2）可知=3，利用CG=AG+AC即可求解.
24．【答案】（1）解：∵ ， ，∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
由勾股定理得： ，
（2）解：①分两种情况：
ⅰ)如图1所示，
当 时，过 作 于 ，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ)当 时，如图2所示，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
② 的长为 或 ．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（2）②分两种情况：
ⅰ）当 在线段 上时，如图3所示，
过 作 于 ，∵ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ）当 在线段 的延长线上时，如图4所示，过 作 于 ，
同理得 ，∵ ，∴ ，
同理得： ，∴ ，
中， ，
综上， 的长为 或 ．故直接写出答案为： 或 ．
【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠AOC=∠BOC=90°，利用勾股定理求出CO，AC的长.
（2）①分情况讨论：当AO=OE=4时，过点O作ON⊥AC于点N，利用等腰三角形的性质可证得AN=EN；再证明ON∥DE，可推出AO=OD=4；当AO=AE=4时，利用AAS证明△CAO≌△DAE，利用全等三角形的性质可求出AD的长，然后根据OD=AD-OD，可求出OD的长；②分情况讨论：当点D在线段OB上时，如图3，过点B作BG⊥EF于点G，利用两三角形的面积之比，可得到BF与CF的比值，由此可求出BF与CB的比值，即可求出BF的长；再证明BG∥AC，可推出∠GBF=∠ACB，利用平行线的性质可证得∠A=∠DBG，利用等腰三角形的性质可推出∠DBF=∠GBF，∠BDG=∠BFG，同时可求出BD，OD的长，利用勾股定理求出CD的长；当点D在线段OB的延长线上时，过点B作BG⊥DE于点G，同理可求出BF的长，利用勾股定理求出CD的长；综上所述可得到CD的长.
1 / 1初中数学北师大版八年级下册第一章第一节第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·盐池期末）如图，已知∠1=∠2，若用“SAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）
A．AD ＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝OB
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：已知∠1=∠2，AB=BA，根据SAS判定定理可知需添加BD＝AC.
故答案为：B.
【分析】由已知条件可知：∠1=∠2，AB=BA，然后找出∠1、∠2的另一组邻边，令其相等即可.
2．（2021八上·高邑期中）已知如图，要测量水池的宽 ，可过点A作直线 ，再由点C观测，在 延长线上找一点 ，使 ，这时只要测量出 的长，就知道 的长，那么判定 的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AC⊥AB，
∴∠CAB=∠CAB’=90°，
在△CAB和△CAB’中，
∴△ACB≌△ACB’，
∴AB=AB’(全等三角形的对应边相等).
故答案为：A.
【分析】根据题意可得∠CAB=∠CAB’=90°，，再结合公共边AC，利用“ASA”即可证明△ACB≌△ACB’，再利用全等的性质可得答案。
3．（2021八上·瑞安月考）如图，在△ABC和△BAD中，已知∠CAB=∠DBA，添加下列条件，还不一定能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．∠C=∠D B．AC=BD C．BC=AD D．AM=BM
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD，故A不符合题意；
B、在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD，故B不符合题意；
C、由∠CAB=∠DBA，AB=BA，BC=AD，不能判断△ABC≌△BAD，故C符合题意；
D、∵AM=BM，
∴∠CBA=∠DAB，
∴在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定定理：SAS，AAS，ASA，逐项进行判断，即可得出答案.
4．（2021八上·博兴期中）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝44°，则∠AED的大小为（ ）
A．70° B．68° C．64° D．62°
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解： ，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质解决问题即可。
5．（2021八上·无棣期中）等腰三角形的底角等于50°，则该等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 等腰三角形的底角等于50°，
∴ 等腰三角形的顶角度数=180°-50°×2=80°.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，再根据三角形内角和定理即可得出顶角的度数.
6．（2021八上·凤山期中）等腰三角形的两边长分别是 和 ，则它的周长是（ ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰长是 时，则三边分别为：
而 不合题意舍去；
当等腰三角形的腰长是 时，则三边分别为：
而 符合题意，
所以等腰三角形的周长为： cm，
故答案为：B.
【分析】由题意可知等腰三角形的三边分别3，3，7或3，7，7，再根据三角形三边关系定理和三角形的周长等于三角形三边之和可求解.
7．（2021八上·长春期末）若中刚好有 ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且 称作“可爱角”．现有 一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或或
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可知：设这个等腰三角形为△ABC，且，
情况一：当∠B是底角时，则另一底角为∠A，且∠A=∠B=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，
∴5∠C=180°，∴∠C=36°，∠A=∠B=72°，
此时可爱角为∠A=72°，
情况二：当∠C是底角，则另一底角为∠A，且∠B=2∠A=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，
∴4∠C=180°，即∠C=45°，
此时可爱角为∠A=45°，
故答案为：C．
【分析】当∠B是底角时，则另一底角为∠A，且∠A=∠B=2∠C，当∠C是底角，则另一底角为∠A，且∠B=2∠A=2∠C，分两种情况讨论即可。
8．（2021八上·滨江期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE.若BD＝8，CD＝5，则△DCG的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接DE，
∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，
∴AE＝ED＝BE，
∵CD＝AE.
∴ED＝CD，
∵DG⊥CE于点G，
∴EG＝GC，
∵CD＝5，
∴DE＝5，
∴AB＝10，
∴AD＝6，
过E作EF⊥BC于F，
∵△ABC的面积＝ ，
∴△BEC的面积＝ ，
∵△BED的面积＝ ，
∴△EDC的面积＝ ﹣12＝ ，
∴△DGC的面积＝ .
故答案为：D.
【分析】连接DE，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE＝ED＝BE，结合CD=AE可得ED＝CD，由等腰三角形的性质可得EG＝GC，由BD、CD的值可得DE、AB、AD，过E作EF⊥BC于F，由三角形的面积公式可得△ABC、△BED的面积，进而求出△BEC、△EDC、△DGC的面积.
二、填空题
9．（2021八上·荷塘期末）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是
【答案】50°
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠α=50°，
故答案为：50°.
【分析】根据全等三角形对应角相等即可求解.
10．（2021八上·赵县月考）如图所示，有一块三角形的镜子，小明不小心弄破裂成1、2两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上 块，其理由是 ．
【答案】第1；利用SAS得出全等三角形，即可配成与原来同样大小的一块
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】为了方便起见，需带上第1块，
其理由是：利用SAS得出全等三角形，即可配成与原来同样大小的一块．
故答案为第1，利用SAS得出全等三角形，即可配成与原来同样大小的一块．
【分析】根据SAS可得三角形全等，据此即得结论.
11．（2021九上·温州月考）如图，AB∥CD，点E在线段AC上，AB=AE.若∠ACD=38°，则∠1的度数为 .
【答案】109°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴∠A=∠ACD=38°，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB= =71°，
∴∠1=180°-∠AEB=180°-71°=109°；
故答案为：109°.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠ACD=38°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B=∠AEB=71°，接下来根据邻补角的性质进行求解.
12．（2021·苏州模拟）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成.两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E在槽中滑动，若∠BDE＝84°.则∠CDE是 °.
【答案】68
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝84°，
∴∠ODC＝28°，
∵∠CDE＋∠ODC＝180° ∠BDE＝96°，
∴∠CDE＝96° ∠ODC＝68°.
故答案为：68.
【分析】由等腰三角形的性质和外角性质可得∠BDE=∠O＋∠OED=∠ODC+2∠ODC，即可得∠ODC，由领补角可得结果.
13．（2021八上·恩平期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝DC，若BC＝6，AD＝7，则图中阴影部分图形的面积为 ．
【答案】10.5
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，阴影部分的面积为三角形面积的一半，
∵ ，
∴阴影部分面积=
故答案为： ．
【分析】根据题意，阴影部分的面积为三角形面积的一半，利用三角形的面积公式求出三角形的面积即可。
14．（2021八上·瓯海月考）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD⊥AC，则BD＝ .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】如图，过点A作交于点E，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
故答案为：.
【分析】过点A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，根据勾股定理求得AE，再利用等面积法列出BC·AE=AC·BD，代入数值即可求出BD.
15．（2021八上·长春月考）如图，△PBC的面积为5cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，则△ABC的面积为 cm2．
【答案】10
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∴S△ABC=2S阴影=10（cm2），
故答案为：10．
【分析】延长AP交BC于E，证明△ABP≌△EBP（ASA），可得AP=PE，利用等底同高可得S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，继而得出S△ABC=2S阴影，即可求解.
16．（2021八上·南通月考）如图， 中， ， ， ，点M从A点出发沿 路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿 路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作 于E， 于F.设运动时间为t秒，要使以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 .
【答案】 或7或8
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，
此时有AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15.
当MC＝NC即8 2t＝15 3t时全等，
解得t＝7，不合题意舍去；
②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，
若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t 8＝15 3t，
解得t＝ ；
当5≤t＜ 时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，
当MC＝NC即2t 8＝3t 15时全等，
解得t＝7；
④当 ≤t＜ 时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，
当MC＝NC即2t 8＝8，
解得t＝8；
综上所述：当t等于 或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等.
故答案为： 或7或8.
【分析】根据M、N所在的位置分类讨论，即①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，③当5≤t＜ 时，点M在BC上，点N在AC上，④当 ≤t＜ 时，点N停在点A处，点M在BC上，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用含t的代数式表示，然后然后根据对应边相等列出方程分别求解，即可得出结果.
三、解答题
17．（2021八上·江汉期中）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，求证：CD＝BE.
【答案】证明：在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴CD=BE.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】图形中隐含公共角∠A=∠A，利用SAS证明△ABE≌△ACD，利用全等三角形的性质可证得结论.
18．（2021八上·冠县期中）已知：如图，在 中， ，D是BC的中点， ， ，E，F是垂足， 吗？请说明理由．
【答案】解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵D是BC的中点，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据D是BC的中点，得出 ，证出 ≌ ，得出 ，在推出 ，即可得出结论。
19．（2020八上·河南期中）如图，在 中， .分别延长 至点 使 ，连接 求 的度数.
【答案】解：∵△ABC满足∠A=86°，∠B=42°，
∴∠ACB=180°-86°-42°=52°，
∴∠DCE=52°，
∵CD=CE，
∴∠E=（180°-52°）÷2=64°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】在△ABC中，用三角形内角和定理求得∠ACB的度数，由对顶角相等可得∠DCE的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理可求解.
20．（2020八上·上海期中）如图，在△ABC中，AD BC，垂足是D，∠B=2∠C．求证：AB+BD= DC．
【答案】证明：在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AB=AE，
∴∠AEB=∠B，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=2∠C，
∴∠EAC=∠AEB-∠C=2∠C-∠C=∠C，
∴AE=CE，
∴CE=AE=AB，
∴DC=DE+CE=AB+BD，
∴AB+BD=DC．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质进行作答即可。
四、综合题
21．（2021·黄冈模拟）已知：如图，已知 ， ， 和 相交于点 ，点 是 的中点，连接 .
（1）求证： ；
（2）求 的度数.
【答案】（1）证明：在 和 中，
，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）直接根据全等三角形的判定定理SSS进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACB=∠DBC，推出OB=OC，结合等腰三角形的性质可得EO⊥BC，据此解答.
22．（2021九上·临海期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，且点D在边BC上.
（1）若∠DAC=50°，则∠ABE= 度；
（2）求证：BE⊥BC：
（3）若点D是BC的中点，AC=2，求BE的值.
【答案】（1）65
（2）证明：∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠DAC=∠EAB，∠AEB=∠ABE，∠DAC+∠ADC+∠ACD=180°，∠AEB+∠ABE+∠EAB=180°，
∴∠EBA=∠ACD，
∵∠ACD+∠ABC=90°，
∴∠EBA+∠ABC=90°，
∴∠EBC=90°，
∴EB⊥BC；
（3）解：∵D是BC的中点，∠BAC=90°，
∴AD=AC=DC=BD=2，
∴BC=4，
由旋转的性质可得BC=ED，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）由旋转的性质可得：AE=AB，∠DAE=∠CAB=90°，AD=AC，
∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD，∠ABE=∠AEB，
∴∠EAB=∠CAD=50°，
∴ ，
故答案为：65；
【分析】（1）利用旋转的性质可证得AE=AB，∠DAE=∠CAB=90°，AD=AC，可推出∠ABE=∠AEB，即可求出∠EAB的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠ABE的度数.
（2）利用等边对等角可证得∠ADC=∠ACD，再证明∠EBA=∠ACD，利用∠ACD+∠ABC=90°，可证得∠EBC=90°，利用垂直的定义，可证得结论.
（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半控制求出AD=AC=DC=BD=2， 同时可求出BC的长；利用旋转的性质可证得BC=DE，然后利用勾股定理求出BE的长.
23．（2021八上·吉林期末）如图，在中，，为边的中线，是边上一点（点不与点、重合），过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：AD//FG；
（2）求证：；
（3）若，且，直接写出的长．
【答案】（1）解：，为的中点，
，
，
；
（2）解：，为的中点，
，
，
，，
，
；
（3）解： ，，AB=AE+BE，
，，
由（2）可知，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，由EF⊥BC可得AD∥FG；
（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠BAD=∠CAD，利用平行线的性质可得，，从而得出，由等角对等边即得结论；
（3）先求出AE =3，BE =1， 由（2）可知=3，利用CG=AG+AC即可求解.
24．（2021八上·海曙期末）如图所示， 中， ， 于点 ， ， ．
（1）求 ， 的长．
（2）若点 是射线 上的一个动点，作 于点 ，连结 ．
①当点 在线段 上时，若 是以 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 的长．
②设 交直线 于点 ，连结 ， ，若 ，则 的长为多少？（直接写出结果）．
【答案】（1）解：∵ ， ，∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
由勾股定理得： ，
（2）解：①分两种情况：
ⅰ)如图1所示，
当 时，过 作 于 ，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ)当 时，如图2所示，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
② 的长为 或 ．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（2）②分两种情况：
ⅰ）当 在线段 上时，如图3所示，
过 作 于 ，∵ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ）当 在线段 的延长线上时，如图4所示，过 作 于 ，
同理得 ，∵ ，∴ ，
同理得： ，∴ ，
中， ，
综上， 的长为 或 ．故直接写出答案为： 或 ．
【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠AOC=∠BOC=90°，利用勾股定理求出CO，AC的长.
（2）①分情况讨论：当AO=OE=4时，过点O作ON⊥AC于点N，利用等腰三角形的性质可证得AN=EN；再证明ON∥DE，可推出AO=OD=4；当AO=AE=4时，利用AAS证明△CAO≌△DAE，利用全等三角形的性质可求出AD的长，然后根据OD=AD-OD，可求出OD的长；②分情况讨论：当点D在线段OB上时，如图3，过点B作BG⊥EF于点G，利用两三角形的面积之比，可得到BF与CF的比值，由此可求出BF与CB的比值，即可求出BF的长；再证明BG∥AC，可推出∠GBF=∠ACB，利用平行线的性质可证得∠A=∠DBG，利用等腰三角形的性质可推出∠DBF=∠GBF，∠BDG=∠BFG，同时可求出BD，OD的长，利用勾股定理求出CD的长；当点D在线段OB的延长线上时，过点B作BG⊥DE于点G，同理可求出BF的长，利用勾股定理求出CD的长；综上所述可得到CD的长.
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