苏科版初中数学七年级下册 7.1 探索直线平行的条件（基础版）
一、单选题
1．（2021七下·江北期末）如图， ，要使 // ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021七下·潼南期末）如图，下列条件中能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021七下·大冶期末）如图，点E在 的延长线上，下列条件不能判断 的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021七下·鄂州期末）如图，下面推理过程正确的是（ ）
A．因为 ，所以
B．因为 ，所以
C．因为 ，所以
D．因为 ，所以
5．（2021七下·北海期末）如图，下面条件能判断 的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021七下·合山月考）如图，BD平分∠ABC，若∠1=∠2，则（ ）
A．AB∥CD B．AD∥BC C．AD=BC D．AB=CD
7．（2021七下·姑苏期中）如图，下列条件不能判断 的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021七下·莲湖期末）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝45°，要使木条a与b平行，木条a按箭头方向旋转的度数至少是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．40°
9．（2021七下·北仑期中）如图所示，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠BAD+∠ABC=180°
C．∠3=∠4 D．∠ABD=∠BDC
10．（2021七下·丹东期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）
①∠C+∠ABC＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠2；④∠C＝∠5；⑤∠4＝∠3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2021七下·莲湖期末）设a，b，c为平面内三条不同的直线，若a⊥c，b⊥c，则a与b的位置关系是 .
12．（2020七下·黄陵期末）如图，将两个含30°角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边AB∥CD，依据是 .
13．如图一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°，这时说管道AB∥CD，是根据
14．（2021七下·吉林月考）如图，要使BE∥DF，需补充一个条件，你认为这个条件应该是 （填一个条件即可）。
15．（2021七上·杜尔伯特期末）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定ADBC的条件 ．
16．如图所示，已知∠C=120°，若增加一个条件，使得AB∥CD，那么增加的条件是
17．（2020七下·延庆期末）把两块形状、大小相同的三角板按照如图所示摆放，那么ED∥BC的依据是 ．
18．（2020七下·乌海月考）如图，现给出下列条件：①∠1＝∠B，②∠2＝∠5，③∠3＝∠4，④∠BCD+∠D＝180°，⑤∠B+∠BCD＝180°，其中能够得到AB∥CD的条件有 ．（填序号）
三、解答题
19．（2021七下·涵江期末）如图，已知∠ABC=∠BCD，∠ABC+∠CDG=180°，求证：BC∥GD.
20．（2021七下·会昌期末）如图，已知∠1＝∠2，∠BAD＝∠BCD，写出图中的平行线，并说明理由．
21．如图所示，已知∠1是它的补角的3倍，∠2等于它的余角，那么AB//CD吗？为什么？
22．如图所示，已知∠COF+∠C=180°，∠C=∠B，说明AB∥EF的理由．
23．（2020七下·中山月考）如图，已知AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，求证：DF∥AE．
24．（2020七下·徐州期中）如图，已知AD∥BC，AE是∠BAD的角平分线，CD与AE相交于F，∠AFD=∠2.求证：AB∥CD.
25．（2021七下·蒙阴期末）如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，问AD与BE平行吗？说说你的理由．
26．（2021七下·会昌期中）如图所示，已知 ， 和 互余， 于点 ．试说明： ．
27．（2020七下·迪庆期末）如图所示，已知， ， ．
（1）求证：
；
（2）已知 ，求 的度数．
28．（2021七下·娄星期末）（问题情境）：如图 // ， ， ，求 的度数.
小明的思路是：过 作 // ，通过平行线性质来求 .
（1）按小明的思路，求 的度数；
（2）（问题迁移）：如图2，AB//CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题应用）：在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】当 ，
则 ，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠2与∠3是邻补角，
∴不能判断 ，故A选项不符合题意；
若 ，则 ，故B选项不符合题意；
∵∠2与∠4是对顶角，故不能判断 ，故C选项不符合题意；
若 ，则 ，故D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的几个判定定理分别判断即可解答.
3．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、当∠5=∠B时，AB∥CD，不合题意；
B、当∠1=∠2时，AB∥CD，不合题意；
C、当∠B+∠BCD=180°时，AB∥CD，不合题意；
D、当∠3=∠4时，AD∥CB，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定“①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行”并结合图形可判断求解.
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、因为∠B+∠BCD=180°，所以AB∥CD，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、因为∠1=∠2，所以AD∥BC，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、因为∠BAD+∠B=180°，所以AD∥BC，原说法正确，故此选项符合题意；
D、因为∠1=∠2，所以AD∥BC，原说法错误，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定“①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行”并结合图形可判断求解.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当∠1=∠2时，EF//AC；
当∠4=∠C时，EF//AC；
当∠1=∠4时，DE//BC；
当∠3+∠C=180°时，EF∥AC.
故答案为：C.
【分析】利用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合图形，对各选项逐一判断，可得到使DE∥BC的选项.
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴AD//BC。
故答案为：B.
【分析】 先根据角平分线的定义得出∠1=∠3，再结合已知条件得到∠2=∠3，最后由平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得出答案。
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、∠4=∠ 5，故l∥m（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
B、∠1+∠ 5=180°，∠1=∠ 6，则∠6+∠ 5=180°，故l∥m（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意；
C、∠2=∠ 3，故l∥m（同位角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
D、∠1=∠ 2，无法证明l∥m，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定方法逐一判断即可.
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵∠AOC＝∠2＝45°时，OA//b，即a//b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣45°＝40°.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，得出∠AOC＝∠2＝45°，即可得出木条a旋转的度数.
9．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】ABC、 ∠1=∠2 ，或 ∠3=∠4 ，或∠BAD+∠ABC=180° ，都是证明了 AD∥BC，错误；
D、∠ABD=∠BDC（内错角相等，两直线平行），∴AB∥CD ，正确；
故答案为：D.
【分析】在利用同位角相等（或内错角相等，或同旁内角互补）判断两条直线平行时，要认真区分是“哪两条直线被另一条直线所截”，从而形成的同位角（或内错角，或同旁内角）.
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠C+∠ABC＝180°，∴AB//CD；②∵∠2＝∠3，∴BC=CD；③∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；④∵∠C＝∠5，∴AB//CD；⑤∵∠4＝∠3，∴AB∥CD；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定逐一分析即可.
11．【答案】a//b
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵a⊥c，b⊥c
∴a//b
故答案为：a//b.
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出答案.
12．【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠1＝∠2＝30°，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：内错角相等，两直线平行.
【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线.
13．【答案】同旁内角互补，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABC=120°，∠BCD=60°，
∴∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
【分析】由已知∠ABC=120°，∠BCD=60°，即∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°，可得关于AB∥CD的判定条件：同旁内角互补，两直线平行．
14．【答案】∠D=∠COE
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠D=∠COE，
∴ BE∥DF.
【分析】根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案.
15．【答案】∠EAD=∠B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵AD和BC被BE所截，
∴当∠EAD=∠B时，AD∥BC．
故答案为：∠EAD=∠B．
【分析】根据同位角相等（或内错角相等、同旁内角互补）两直线平行，进行添加即可.
16．【答案】∠AEC=120°(答案不唯一)
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠C=120°，
若∠AEC=120°
∴∠C=∠AEC，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：∠AEC=120°(答案不唯一).
【分析】利用内错角相等，两直线平行，可以添加 ∠AEC=120°；利用同旁内角互补，两直线平行，可添加∠BEC=60°.
17．【答案】内错角相等，两条直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：∠DEF=∠ACB，
则ED∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【分析】直接利用平行线的判定定理得出答案．
18．【答案】①②⑤
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①若∠1＝∠B，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD；
②若∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD；
③若∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，但不能得出AB∥CD；
④若∠BCD+∠D＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC，但不能得出AB∥CD；
⑤若∠B+∠BCD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AB∥CD；
综上，能够得到AB∥CD的条件有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【分析】利用平行线的判定逐项判定即可。
19．【答案】证明：∵ （已知），
∴ （等量代换），
∴BC∥GD（同旁内角互补，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】利用已知条件可证得∠BCD+∠CDG=180°，再利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论.
20．【答案】解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
∵∠BAD=∠BCD，∠1=∠2，
∴∠DAC=∠BCA，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据内错角相等，两直线平行，得出AB∥CD，因为∠BAD=∠BCD，∠1=∠2，得出∠DAC=∠BCA，即可得出AD∥BC。
21．【答案】解：AB∥CD．理由如下：
∵∠1=3(180°-∠1)，∴∠1= 135°．
∵∠2=90°-∠2．∴∠2=45°，
∴∠1+∠2=135°+45°= 180°，
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【分析】∠1是它的补角的3倍，可求出∠1的度数；再利用余角的定义可求出∠2的度数；由此可推出∠1+∠2=180°，利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论.
22．【答案】解：∵∠COF+∠C= 180°，
∠COF=∠BOE，∠C=∠B．
∴∠BOE+∠B= 180°，
∴AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【分析】利用对顶角相等∠COF=∠BOE及∠C=∠B，可得到∠BOE+∠B= 180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论.
23．【答案】证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴∠CDA＝∠DAB＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠CDA－∠2＝∠DAB－∠1，
即：∠FDA＝∠DAE，
∴ DF∥AE
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】由已知条件，可知∠CDA＝∠DAB＝90°，加之∠1＝∠2，等量减等量，得到∠FDA＝∠DAE，内错角相等即可判定．
24．【答案】解：∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠AFD=∠2，
∴∠1=∠AFD，
∴AB∥CD.
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】首先利用角平分线性质得出∠1=∠2，再结合题意得出∠1=∠AFD，最后通过内错角相等，两直线平行进一步证明即可.
25．【答案】解：AD∥BE，
理由是：∵AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠3=∠E+∠CAF，∠4=∠ACD+∠CAF，∠3=∠4，
∴∠1=∠E=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠E，
∴AD∥BE．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠1=∠ACD，根据三角形外角性质得出∠3=∠E+∠CAF，∠4=∠ACD+∠CAF，求出∠2=∠E，根据平行线的判定得出即可。
26．【答案】证明：∵BE⊥FD，
∴∠EGD=90°，
∴∠1+∠D=90°，
又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，
∴∠1=∠2，
又已知∠C=∠1，
∴∠C=∠2，
∴AB∥CD．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】先求出 ∠EGD=90°， 再求出 ∠1=∠2， 最后证明求解即可。
27．【答案】（1）证明：∵∠A=∠F，
∴AC//DE，
∴∠D=∠ABD，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠ABD，
∴BD//CE；
（2）解: ∵BD//CE，DF//BC，
∴∠ABD =∠C，∠DEC+∠C=180°，
∵∠ABD ：∠DEC=2:3，
∴设∠ABD=2x，∠DEC=3x，
则2x+3x=180°，
∴x=36°，
∴∠DEC =3x=108°．
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】 （1）由AC//DE可得∠D=∠ABD，根据等量代换得到∠C=∠ABD，从而可证BD//CE；
（2）设∠ABD=2x，∠DEC=3x，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可。
28．【答案】（1）解：过P点作PE//AB，因为AB//CD，所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ；
（2）解：过P点作PE//AB，
因为AB//CD，
所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以∠APE=∠PAB= ，
又因为PE//CD，
所以 ，
所以∠APC=∠APE+∠CPE=α＋β；
（3）解：当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PAB= ，
∴ β-α；
当P点在射线DM上运动时，设AP与CD交于点F，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PCD＝β，
∴ α-β，
当P点在线段OB上运动时， β-α.
当P点在射线DM上运动时， α-β.
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）过P点作PE//AB，则PE//CD，由平行线的性质可得∠BAP+∠APE=180°，∠EPC+∠PCD=180°，结合已知条件可得∠APE、∠EPC的度数，最后根据角的和差关系进行求解；
（2）过P点作PE//AB，由平行线的性质可得∠APE=∠PAB=α ，∠CPE=∠PCD=β，最后根据角的和差关系进行求解；
（3）当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，由平行线的性质可得∠BNP=∠PCD=β，由三角形外角的性质可得∠BNP=∠PAB+∠APC=β可推出∠APC=β-α，同理可求出当P点在射线DM上运动时∠APC与α、β的关系.
1 / 1苏科版初中数学七年级下册 7.1 探索直线平行的条件（基础版）
一、单选题
1．（2021七下·江北期末）如图， ，要使 // ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】当 ，
则 ，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，即可得出答案.
2．（2021七下·潼南期末）如图，下列条件中能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠2与∠3是邻补角，
∴不能判断 ，故A选项不符合题意；
若 ，则 ，故B选项不符合题意；
∵∠2与∠4是对顶角，故不能判断 ，故C选项不符合题意；
若 ，则 ，故D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的几个判定定理分别判断即可解答.
3．（2021七下·大冶期末）如图，点E在 的延长线上，下列条件不能判断 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、当∠5=∠B时，AB∥CD，不合题意；
B、当∠1=∠2时，AB∥CD，不合题意；
C、当∠B+∠BCD=180°时，AB∥CD，不合题意；
D、当∠3=∠4时，AD∥CB，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定“①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行”并结合图形可判断求解.
4．（2021七下·鄂州期末）如图，下面推理过程正确的是（ ）
A．因为 ，所以
B．因为 ，所以
C．因为 ，所以
D．因为 ，所以
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、因为∠B+∠BCD=180°，所以AB∥CD，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、因为∠1=∠2，所以AD∥BC，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、因为∠BAD+∠B=180°，所以AD∥BC，原说法正确，故此选项符合题意；
D、因为∠1=∠2，所以AD∥BC，原说法错误，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定“①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行”并结合图形可判断求解.
5．（2021七下·北海期末）如图，下面条件能判断 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当∠1=∠2时，EF//AC；
当∠4=∠C时，EF//AC；
当∠1=∠4时，DE//BC；
当∠3+∠C=180°时，EF∥AC.
故答案为：C.
【分析】利用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合图形，对各选项逐一判断，可得到使DE∥BC的选项.
6．（2021七下·合山月考）如图，BD平分∠ABC，若∠1=∠2，则（ ）
A．AB∥CD B．AD∥BC C．AD=BC D．AB=CD
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴AD//BC。
故答案为：B.
【分析】 先根据角平分线的定义得出∠1=∠3，再结合已知条件得到∠2=∠3，最后由平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得出答案。
7．（2021七下·姑苏期中）如图，下列条件不能判断 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、∠4=∠ 5，故l∥m（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
B、∠1+∠ 5=180°，∠1=∠ 6，则∠6+∠ 5=180°，故l∥m（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意；
C、∠2=∠ 3，故l∥m（同位角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
D、∠1=∠ 2，无法证明l∥m，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定方法逐一判断即可.
8．（2021七下·莲湖期末）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝45°，要使木条a与b平行，木条a按箭头方向旋转的度数至少是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．40°
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵∠AOC＝∠2＝45°时，OA//b，即a//b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣45°＝40°.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，得出∠AOC＝∠2＝45°，即可得出木条a旋转的度数.
9．（2021七下·北仑期中）如图所示，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠BAD+∠ABC=180°
C．∠3=∠4 D．∠ABD=∠BDC
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】ABC、 ∠1=∠2 ，或 ∠3=∠4 ，或∠BAD+∠ABC=180° ，都是证明了 AD∥BC，错误；
D、∠ABD=∠BDC（内错角相等，两直线平行），∴AB∥CD ，正确；
故答案为：D.
【分析】在利用同位角相等（或内错角相等，或同旁内角互补）判断两条直线平行时，要认真区分是“哪两条直线被另一条直线所截”，从而形成的同位角（或内错角，或同旁内角）.
10．（2021七下·丹东期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）
①∠C+∠ABC＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠2；④∠C＝∠5；⑤∠4＝∠3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠C+∠ABC＝180°，∴AB//CD；②∵∠2＝∠3，∴BC=CD；③∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；④∵∠C＝∠5，∴AB//CD；⑤∵∠4＝∠3，∴AB∥CD；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定逐一分析即可.
二、填空题
11．（2021七下·莲湖期末）设a，b，c为平面内三条不同的直线，若a⊥c，b⊥c，则a与b的位置关系是 .
【答案】a//b
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵a⊥c，b⊥c
∴a//b
故答案为：a//b.
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出答案.
12．（2020七下·黄陵期末）如图，将两个含30°角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边AB∥CD，依据是 .
【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠1＝∠2＝30°，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：内错角相等，两直线平行.
【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线.
13．如图一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°，这时说管道AB∥CD，是根据
【答案】同旁内角互补，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABC=120°，∠BCD=60°，
∴∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
【分析】由已知∠ABC=120°，∠BCD=60°，即∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°，可得关于AB∥CD的判定条件：同旁内角互补，两直线平行．
14．（2021七下·吉林月考）如图，要使BE∥DF，需补充一个条件，你认为这个条件应该是 （填一个条件即可）。
【答案】∠D=∠COE
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠D=∠COE，
∴ BE∥DF.
【分析】根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案.
15．（2021七上·杜尔伯特期末）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定ADBC的条件 ．
【答案】∠EAD=∠B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵AD和BC被BE所截，
∴当∠EAD=∠B时，AD∥BC．
故答案为：∠EAD=∠B．
【分析】根据同位角相等（或内错角相等、同旁内角互补）两直线平行，进行添加即可.
16．如图所示，已知∠C=120°，若增加一个条件，使得AB∥CD，那么增加的条件是
【答案】∠AEC=120°(答案不唯一)
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠C=120°，
若∠AEC=120°
∴∠C=∠AEC，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：∠AEC=120°(答案不唯一).
【分析】利用内错角相等，两直线平行，可以添加 ∠AEC=120°；利用同旁内角互补，两直线平行，可添加∠BEC=60°.
17．（2020七下·延庆期末）把两块形状、大小相同的三角板按照如图所示摆放，那么ED∥BC的依据是 ．
【答案】内错角相等，两条直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：∠DEF=∠ACB，
则ED∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【分析】直接利用平行线的判定定理得出答案．
18．（2020七下·乌海月考）如图，现给出下列条件：①∠1＝∠B，②∠2＝∠5，③∠3＝∠4，④∠BCD+∠D＝180°，⑤∠B+∠BCD＝180°，其中能够得到AB∥CD的条件有 ．（填序号）
【答案】①②⑤
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①若∠1＝∠B，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD；
②若∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD；
③若∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，但不能得出AB∥CD；
④若∠BCD+∠D＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC，但不能得出AB∥CD；
⑤若∠B+∠BCD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AB∥CD；
综上，能够得到AB∥CD的条件有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【分析】利用平行线的判定逐项判定即可。
三、解答题
19．（2021七下·涵江期末）如图，已知∠ABC=∠BCD，∠ABC+∠CDG=180°，求证：BC∥GD.
【答案】证明：∵ （已知），
∴ （等量代换），
∴BC∥GD（同旁内角互补，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】利用已知条件可证得∠BCD+∠CDG=180°，再利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论.
20．（2021七下·会昌期末）如图，已知∠1＝∠2，∠BAD＝∠BCD，写出图中的平行线，并说明理由．
【答案】解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
∵∠BAD=∠BCD，∠1=∠2，
∴∠DAC=∠BCA，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据内错角相等，两直线平行，得出AB∥CD，因为∠BAD=∠BCD，∠1=∠2，得出∠DAC=∠BCA，即可得出AD∥BC。
21．如图所示，已知∠1是它的补角的3倍，∠2等于它的余角，那么AB//CD吗？为什么？
【答案】解：AB∥CD．理由如下：
∵∠1=3(180°-∠1)，∴∠1= 135°．
∵∠2=90°-∠2．∴∠2=45°，
∴∠1+∠2=135°+45°= 180°，
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【分析】∠1是它的补角的3倍，可求出∠1的度数；再利用余角的定义可求出∠2的度数；由此可推出∠1+∠2=180°，利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论.
22．如图所示，已知∠COF+∠C=180°，∠C=∠B，说明AB∥EF的理由．
【答案】解：∵∠COF+∠C= 180°，
∠COF=∠BOE，∠C=∠B．
∴∠BOE+∠B= 180°，
∴AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【分析】利用对顶角相等∠COF=∠BOE及∠C=∠B，可得到∠BOE+∠B= 180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论.
23．（2020七下·中山月考）如图，已知AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，求证：DF∥AE．
【答案】证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴∠CDA＝∠DAB＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠CDA－∠2＝∠DAB－∠1，
即：∠FDA＝∠DAE，
∴ DF∥AE
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】由已知条件，可知∠CDA＝∠DAB＝90°，加之∠1＝∠2，等量减等量，得到∠FDA＝∠DAE，内错角相等即可判定．
24．（2020七下·徐州期中）如图，已知AD∥BC，AE是∠BAD的角平分线，CD与AE相交于F，∠AFD=∠2.求证：AB∥CD.
【答案】解：∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠AFD=∠2，
∴∠1=∠AFD，
∴AB∥CD.
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】首先利用角平分线性质得出∠1=∠2，再结合题意得出∠1=∠AFD，最后通过内错角相等，两直线平行进一步证明即可.
25．（2021七下·蒙阴期末）如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，问AD与BE平行吗？说说你的理由．
【答案】解：AD∥BE，
理由是：∵AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠3=∠E+∠CAF，∠4=∠ACD+∠CAF，∠3=∠4，
∴∠1=∠E=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠E，
∴AD∥BE．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠1=∠ACD，根据三角形外角性质得出∠3=∠E+∠CAF，∠4=∠ACD+∠CAF，求出∠2=∠E，根据平行线的判定得出即可。
26．（2021七下·会昌期中）如图所示，已知 ， 和 互余， 于点 ．试说明： ．
【答案】证明：∵BE⊥FD，
∴∠EGD=90°，
∴∠1+∠D=90°，
又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，
∴∠1=∠2，
又已知∠C=∠1，
∴∠C=∠2，
∴AB∥CD．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】先求出 ∠EGD=90°， 再求出 ∠1=∠2， 最后证明求解即可。
27．（2020七下·迪庆期末）如图所示，已知， ， ．
（1）求证：
；
（2）已知 ，求 的度数．
【答案】（1）证明：∵∠A=∠F，
∴AC//DE，
∴∠D=∠ABD，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠ABD，
∴BD//CE；
（2）解: ∵BD//CE，DF//BC，
∴∠ABD =∠C，∠DEC+∠C=180°，
∵∠ABD ：∠DEC=2:3，
∴设∠ABD=2x，∠DEC=3x，
则2x+3x=180°，
∴x=36°，
∴∠DEC =3x=108°．
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】 （1）由AC//DE可得∠D=∠ABD，根据等量代换得到∠C=∠ABD，从而可证BD//CE；
（2）设∠ABD=2x，∠DEC=3x，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可。
28．（2021七下·娄星期末）（问题情境）：如图 // ， ， ，求 的度数.
小明的思路是：过 作 // ，通过平行线性质来求 .
（1）按小明的思路，求 的度数；
（2）（问题迁移）：如图2，AB//CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题应用）：在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
【答案】（1）解：过P点作PE//AB，因为AB//CD，所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ；
（2）解：过P点作PE//AB，
因为AB//CD，
所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以∠APE=∠PAB= ，
又因为PE//CD，
所以 ，
所以∠APC=∠APE+∠CPE=α＋β；
（3）解：当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PAB= ，
∴ β-α；
当P点在射线DM上运动时，设AP与CD交于点F，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PCD＝β，
∴ α-β，
当P点在线段OB上运动时， β-α.
当P点在射线DM上运动时， α-β.
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）过P点作PE//AB，则PE//CD，由平行线的性质可得∠BAP+∠APE=180°，∠EPC+∠PCD=180°，结合已知条件可得∠APE、∠EPC的度数，最后根据角的和差关系进行求解；
（2）过P点作PE//AB，由平行线的性质可得∠APE=∠PAB=α ，∠CPE=∠PCD=β，最后根据角的和差关系进行求解；
（3）当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，由平行线的性质可得∠BNP=∠PCD=β，由三角形外角的性质可得∠BNP=∠PAB+∠APC=β可推出∠APC=β-α，同理可求出当P点在射线DM上运动时∠APC与α、β的关系.
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