苏科版初中数学七年级下册 7.2 探索平行线的性质（基础版）
一、单选题
1．如图所示，直线a∥b．AC⊥AB．AC交直线b于点C．∠1=65°．则∠2的度数是（ ）
A．65° B．50° C．35° D．25°
【答案】D
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=65°，
∵AC⊥AB，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°-65°=25°.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质得出∠3=∠1=65°，再根据垂直的定义得出∠2+∠3=90°，即可得出∠2=90°-65°=25°.
2．（2021七下·江州期末）如图，直线AB//CD，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H.若 1=135°，则 2的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠2=180°-∠1=180°-135°=45°.
故答案为：C.
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠2的度数.
3．（2021七下·余杭期中）如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1＝40°，则∠2等于（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GEB＝∠1＝40°，
∵EF为∠GEB的平分线，
∴∠FEB＝ ∠GEB＝20°，
∴∠2＝180°﹣∠FEB＝160°.
故答案为：D.
【分析】由两直线平行同旁内角互补得∠2+∠FEB＝180°可求解.
4．（2021·乌鲁木齐模拟）如图，∠BAC＝35°，∠CBD＝65°，AE∥BC，则∠CAE的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AE∥BC，
∴∠EAB=∠CBD=65°，
∵∠CAE=∠EAB-∠BAC，
∴∠CAE=65°-35°=30°，
故答案为：C.
【分析】先通过二直线平行，同位角相等得到∠EAB=∠CBD=65°，接着通过∠CAE=∠EAB-∠BAC得到∠CAE的度数.
5．（2021七下·黄石港期末）如图，AF//BG，AC//EG，那么图中与∠A相等的角有 个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】 ，
， ，
又 ，
，
，
即与 相等的角有3个.
故答案为： .
【分析】由平行线的性质可求解.
6．（2021七上·慈溪期末）如图，已知 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵ ，
∴∠EAD=∠ADC，故A选项错误，
∵ ，
∴ ，故B选项正确，
由AB∥CD，不能得出 ，故C选项错误，
由AB∥CD，不能得出 ，故D选项错误，
故答案为：B.
【分析】平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补.
7．（2020七下·南京期末）如图，已知CB∥DF，则下列结论成立的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3 D．∠1＋∠2＝180
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CB∥DF，
∴∠2=∠3（两条直线平行，同位角相等）.
故答案为：B.
【分析】根据两条直线平行，同位角相等，即可判断.
8．（2020·广元）如图，a∥b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（ ）.
A．180° B．360° C．270° D．540°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故答案为：B．
【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
9．（2021七上·内江期末）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）
A．∠1+∠2 ∠3=90° B．∠1 ∠2+∠3=90°
C．∠1+∠2+∠3=90° D．∠2+∠3 ∠1=180°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵EF∥CD
∴∠3=∠COE
∴∠3 ∠1=∠COE ∠1=∠BOE
∵AB∥EF
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3 ∠1=180°
故答案为：D.
【分析】 本题利用 平行线的性质做题即可两直线平行，内错角相等得到∠3 ∠1=∠COE ∠1=∠BOE ;两直线平行，同旁内角，∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3 ∠1=180°.
10．（2019七下·桂林期末）如图，AB∥CD，∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF，则∠E与∠F的数量关系是（ ）
A．∠E+∠F=180° B．∠E=3∠F
C．∠E-∠F=90° D．∠E=4∠F
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过E作直线EL∥AB，则AB∥EL∥DC，
过F作直线FG平行AB，则AB∥FG∥DC，
由EL∥AB，得∠AEL=∠BAE=∠EAF+∠FAB=4∠BAF，
由EL∥CD，得∠LEC=∠ECD=∠ECF+∠FCD=4∠DCF，
∴∠E=∠AEL+∠LEC=4(∠FAB+∠DCF)，
由FG∥AB，得∠AFG=∠FAB，
由FG∥CD，得∠GFC=∠FCD，
∴∠F=∠AFG+∠GFC=∠FAB+∠DCF，
∴∠E=4∠F，
故答案为：D.
【分析】过E作直线EL∥AB，过F作直线FG平行AB，由两直线平行内错角相等，得∠AEL=∠BAE，
∠LEC=∠ECD，结合 ∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF， 得∠E=∠AEL+∠LEC=4(∠FAB+∠DCF)，
再由两直线平行内错角相等，得∠AFG=∠FAB，∠GFC=∠FCD，从而推得∠E=4∠F。
二、填空题
11．（2021七下·丽水期末）如图，已知a∥b，∠1=110°，则∠2的度数是
【答案】70°
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，取∠3，
∵a∥b，
∴∠3=180°-∠1=180°-110°=70°，
∴∠2=∠1=70°，
故答案为：70°.
【分析】取∠3，根据平行线的性质先求出∠3，再根据对顶角的性质求∠2即可.
12．（2020七下·椒江期末）如图，∠1＝∠2，∠D＝75°，则∠BCD＝ .
【答案】105°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∵∠D＝75°，
∴∠BCD＝180°﹣75°＝105°.
故答案为：105°.
【分析】根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠D+∠BCD＝180°，可求∠BCD＝90°.
13．（2021七上·麦积期末）如图，AB∥CD，CE∥GF，若∠1＝60°，则∠2＝ °.
【答案】60
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CEF，
∵CE∥GF，
∴∠2＝∠CEF，
∴∠2＝∠1，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝60°，
故答案为：60.
【分析】根据平行线的性质得出∠2＝∠CEF，∠1＝∠CEF，由等量代换即得∠2＝∠1=60°.
14．（2020七下·咸安期末）如图，将三角板的直角顶点落在直尺的一边上，若 ，则 的度数为 .
【答案】56°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图，由图可知， ， ，
∵
∴
故答案为：56°.
【分析】根据平行线的性质求解即可.
15．（2021七下·浦北期末）如图，已知∠1＝∠2＝75°，∠3＝50°，则∠B的大小为 .
【答案】25°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2＝75°，
∴AB//CD，
∴∠B＝∠C，
∵∠3＝50°，
∴∠C＝∠2﹣∠3＝75°﹣50°＝25°，
∴∠B＝25°.
故答案为：25°.
【分析】由∠1＝∠2＝75°可得AB//CD，则∠B＝∠C，由三角形外角的性质可得∠C的度数，进而得到∠B的度数.
16．（2021七下·城阳期末）如图，在△ABC中，已知DE//BC，∠1=∠2，∠BEC=96°，则∠FGE= °
【答案】84
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵DEBC，
∴∠2=∠EBC，
∵∠1=∠2，
∴∠EBC=∠1，
∴GFBE，
∴∠BEC+∠FGE=180°，
∵∠BEC=96°，
∴∠FGE=180°-∠BEC=180°-96°=84°．
故答案为：84．
【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
17．（2021七下·杭州开学考）如图，已知AB//CD//EF，则∠1＝60°，∠3＝20°，则∠2＝ .
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】由平行线的性质可得，从而求出，由平行线的性质可得，据此即可求解.
18．（2021七下·闵行期末）如图，已知 // ，直线 与 、 分别相交于点E、F， ， 的平分线与 相交于点P，且 ，那么 的度数为 ．
【答案】30°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠PEF=90°，
∵ ，
∴ ，
∵
∵ ，
∴ ，
∵ 平分
∴
【分析】由 ，得出∠PEF=90°，由，得出 ，由 平分 ，即可得出 的度数。
三、解答题
19．（2020七下·碑林期末）如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠B＝70°，求∠D的度数.
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝70°，
∵BC∥DE，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝110°.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠C的度数，进而再根据二直线平行，同旁内角互补得出∠D的度数.
20．（2020七下·莆田月考）如图，已知直线AB∥DF，∠D+∠B=180°，如果∠AMD=75°，求∠AGC的度数．
【答案】∵AB∥DF，∴∠D＋∠BHD＝180°.
∵∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝∠DHB，
∴DE∥BC，∴∠AGB＝∠AMD＝75°，
∴∠AGC＝180°﹣∠AGB＝180°﹣75°＝105°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据AB∥DF，∠D＋∠B＝180°，可得∠B＝∠DHB，则DE∥BC，利用同位角的邻补角的关系求解.
21．（2020七下·赣县期中）如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC和∠AED的度数．
【答案】解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝50°，
∴∠DCB＝∠ACD＝25°，
又DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝25°，
∠AED＝∠ACB＝50°．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质及平行线的性质即可求解.
22．（2020七下·巴彦淖尔期中）如图，已知 ， ， ， 平分 ，求 的度数．
【答案】∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCE＝180 ，
∵∠ABC＝60 ，
∴∠BCE＝120
∵ 平分
∴∠BCF= =60
∵
∴ = -∠BCF=30 ．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质可以求得∠BCE的度数，再由角平分线得到∠BCF的度数，最后根据 即可求出 ．
23．（2020七下·上饶期中）如图，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，DG∥BA，若∠2＝40°，则∠BDG是多少度？
【答案】解：∵∠1＝∠2，
∴EF∥AD，
∵EF⊥BC，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，
又∵DG∥BA，∠2＝40°，
∴∠ADG＝∠2＝40°，
∴∠BDG＝∠ADG+∠ADB＝130°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】依据∠1＝∠2，即可得到EF∥AD，再根据平行线的性质，即可得到∠ADB和∠ADG的度数，进而得出∠BDG的度数．
24．（2021七下·武汉开学考）根据下列证明过程填空：已知：如图，于点，于点，.求证：.
证明：∵，（已知）
∴（ ）
∴（ ）
∴（ ）
又∵（已知）
∴（ ）
∴（ ）
∴（ ）
【答案】证明：∵，（已知）
∴（垂直的定义）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠ADC=∠FEC=90°，推出AD∥EF，根据平行线的性质可得∠1=∠3，根据∠A=∠C可得AC∥GD，得到∠2=∠3，据此证明.
25．（2021七下·黄山期末）如图1，已知：AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，且OE⊥OF．
（1）求∠1＋∠2的度数；
（2）如图2，分别在OE、CD上取点G、H，使FO平分∠CFG，OE平分∠AEH，试说明FG∥EH．
【答案】（1）解：过点O作OM∥AB，
则∠1=∠EOM，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2=∠FOM，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
即∠EOM+∠FOM=90°，
∴∠1+∠2=90°
（2）解：如图
∵AB∥CD
∴∠AEH+∠CHE=180°，
∵FO平分∠CFG，EO平分∠AEH
∴∠CFG=2∠2，∠AEH=2∠1，
∵∠1+∠2=90°
∴∠CFG+∠AEH=2∠1+2∠2=180°，
∴∠CFG=∠CHE，
∴FG∥EH．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点O作OM∥AB，根据平行线的性质得出∠1=∠EOM，OM//CD得到∠2=∠FOM，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得出∠AEH+∠CHE=180°，根据角平分线定义得出∠CFG=2∠2，∠AEH=2∠1，根据∠1+∠2=90°求出∠CFG+∠AEH=2∠1+2∠2=180°，求出∠CFG=∠CHE，即可得到结论。
26．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形，探索这两个角之间的数量关系．
（1）如图1，AB∥CD，BE∥DF，探索∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，AB∥CD，BE∥DF．探索∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
（3）若∠ABE=80°，且AB∥CD，BE∥DF．直接写出∠CDF的度数．
【答案】（1）解：∠1=∠2．
理由：∵AB∥CD(已知)，
∴∠1=∠CME(两直线平行，同位角相等)．
∵BE∥DF(已知)，
∴∠2=∠CME(两直线平行，同位角相等)，
∴∠1=∠2．
（2）解：∠1+∠2= 180°．
理由：∵AB∥CD(已知)，
∴∠1=∠CME(两直线平行，同位角相等)．
∵BE∥DF(已知)，
∴∠2=∠CMB(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠CME+∠CMB=180°(平角定义)，
∴∠1+∠2=180°(等量代换)．
（3）解：80°或100°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（3）如图1，
∵∠ABE=∠CDF，∠ABE=80°，
∴∠CDF=80°，
如图2，
∵∠ABE+∠CDF=180°，∠ABE=80°，
∴∠CDF=100°，
∴∠CDF=80°或100°.
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠1=∠CME，∠2=∠CME，即可得出∠1=∠2；
（2）根据平行线的性质得出∠1=∠CME，∠2=∠CMB，根据平角的定义得出 ∠CME+∠CMB=180°，即可得出∠1+∠2=180° ；
（3）分两种情况，利用（1）（2）的结论即可得出答案.
27．（2021七下·宣化期末）如图，已知 ， ，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分 和 ，分别交射线AM于点C，D．
（1）求 的度数
（2）当点P运动时， 的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时， ，求此时 的度数．
【答案】（1）解：∵AM∥BN，
∴∠ABN=180°-∠A=120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP= （∠ABP+∠PBN）= ∠ABN=60°，
（2）解：不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB=∠DBN= ∠PBN= ∠APB，
∴∠APB：∠ADB=2：1．
（3）解：∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，
∴∠ABC= ∠ABN=30°，
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质求出∠ABN=180°-∠A=120°，利用角平分线的定义可得∠CBD=∠CBP
+∠DBP= （∠ABP+∠PBN）= ∠ABN，据此即得结论；
（2）不变．理由： 由平行线的性质可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN， 由BD平分∠PBN， 可得∠ADB=∠DBN= ∠PBN= ∠APB，据此即可求出结论；
（3） 由AM∥BN可得∠ACB=∠CBN，由∠ACB=∠ABD可得∠CBN=∠ABD， 从而求出∠ABC=∠CBP
=∠DBP=∠DBN，继而得出∠ABC= ∠ABN=30°，
28．（2021七下·无为期末）丁丁学习七年级下册数学后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知ABCD，点E在两平行线的内侧，连接AE，CE．若∠EAB＝35°，∠ECD＝25°，求∠AEC的度数；（提示：过点E作AB的平行线）
（2）如图2，已知ABCD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE．若∠EAB＝α，∠ECD＝β．
①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）；
②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分于∠CGE（如图3）．若∠AEG＝130°，α+β＝80°，分别求出α，β的度数．
【答案】（1）解：如图1，过点E作MN∥AB．
∵AB∥MN，
∴∠AEM＝∠EAB＝35°．
∵AB∥CD，AB∥MN，
∴MN∥CD．
∴∠MEC＝∠ECD＝25°．
∴∠AEC＝∠AEM+∠MEC＝35°+25°＝60°
（2）解：①如图2，
∵AB∥CD，
∴∠EFB＝∠ECD＝β．
又∵∠EFB＝∠EAB+∠AEC，
∴∠AEC＝∠EFB﹣∠EAB＝β﹣α．
②如图3，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2．
又∵CG平分∠ECD，
∴∠EAB＝∠1＝ ．
∴∠EAB＝∠2．
∵AG平分于∠CGE，
∴∠2＝∠3．
∴∠3＝∠EAB＝ ．
∵∠AEG＝130°，
∴∠EAB+∠3＝180°﹣∠AEG＝50°．
∴2∠EAB＝50°．
∴∠EAB＝α＝25°．
又∵α+β＝80°，
∴β＝55°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点E作MN∥AB，利用平行线的性质求解即可；
（2）①利用平行线的性质求解即可；②利用平行线的性质及角平分线的定义计算即可。
1 / 1苏科版初中数学七年级下册 7.2 探索平行线的性质（基础版）
一、单选题
1．如图所示，直线a∥b．AC⊥AB．AC交直线b于点C．∠1=65°．则∠2的度数是（ ）
A．65° B．50° C．35° D．25°
2．（2021七下·江州期末）如图，直线AB//CD，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H.若 1=135°，则 2的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
3．（2021七下·余杭期中）如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1＝40°，则∠2等于（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
4．（2021·乌鲁木齐模拟）如图，∠BAC＝35°，∠CBD＝65°，AE∥BC，则∠CAE的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
5．（2021七下·黄石港期末）如图，AF//BG，AC//EG，那么图中与∠A相等的角有 个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021七上·慈溪期末）如图，已知 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020七下·南京期末）如图，已知CB∥DF，则下列结论成立的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3 D．∠1＋∠2＝180
8．（2020·广元）如图，a∥b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（ ）.
A．180° B．360° C．270° D．540°
9．（2021七上·内江期末）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）
A．∠1+∠2 ∠3=90° B．∠1 ∠2+∠3=90°
C．∠1+∠2+∠3=90° D．∠2+∠3 ∠1=180°
10．（2019七下·桂林期末）如图，AB∥CD，∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF，则∠E与∠F的数量关系是（ ）
A．∠E+∠F=180° B．∠E=3∠F
C．∠E-∠F=90° D．∠E=4∠F
二、填空题
11．（2021七下·丽水期末）如图，已知a∥b，∠1=110°，则∠2的度数是
12．（2020七下·椒江期末）如图，∠1＝∠2，∠D＝75°，则∠BCD＝ .
13．（2021七上·麦积期末）如图，AB∥CD，CE∥GF，若∠1＝60°，则∠2＝ °.
14．（2020七下·咸安期末）如图，将三角板的直角顶点落在直尺的一边上，若 ，则 的度数为 .
15．（2021七下·浦北期末）如图，已知∠1＝∠2＝75°，∠3＝50°，则∠B的大小为 .
16．（2021七下·城阳期末）如图，在△ABC中，已知DE//BC，∠1=∠2，∠BEC=96°，则∠FGE= °
17．（2021七下·杭州开学考）如图，已知AB//CD//EF，则∠1＝60°，∠3＝20°，则∠2＝ .
18．（2021七下·闵行期末）如图，已知 // ，直线 与 、 分别相交于点E、F， ， 的平分线与 相交于点P，且 ，那么 的度数为 ．
三、解答题
19．（2020七下·碑林期末）如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠B＝70°，求∠D的度数.
20．（2020七下·莆田月考）如图，已知直线AB∥DF，∠D+∠B=180°，如果∠AMD=75°，求∠AGC的度数．
21．（2020七下·赣县期中）如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC和∠AED的度数．
22．（2020七下·巴彦淖尔期中）如图，已知 ， ， ， 平分 ，求 的度数．
23．（2020七下·上饶期中）如图，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，DG∥BA，若∠2＝40°，则∠BDG是多少度？
24．（2021七下·武汉开学考）根据下列证明过程填空：已知：如图，于点，于点，.求证：.
证明：∵，（已知）
∴（ ）
∴（ ）
∴（ ）
又∵（已知）
∴（ ）
∴（ ）
∴（ ）
25．（2021七下·黄山期末）如图1，已知：AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，且OE⊥OF．
（1）求∠1＋∠2的度数；
（2）如图2，分别在OE、CD上取点G、H，使FO平分∠CFG，OE平分∠AEH，试说明FG∥EH．
26．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形，探索这两个角之间的数量关系．
（1）如图1，AB∥CD，BE∥DF，探索∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，AB∥CD，BE∥DF．探索∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
（3）若∠ABE=80°，且AB∥CD，BE∥DF．直接写出∠CDF的度数．
27．（2021七下·宣化期末）如图，已知 ， ，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分 和 ，分别交射线AM于点C，D．
（1）求 的度数
（2）当点P运动时， 的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时， ，求此时 的度数．
28．（2021七下·无为期末）丁丁学习七年级下册数学后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知ABCD，点E在两平行线的内侧，连接AE，CE．若∠EAB＝35°，∠ECD＝25°，求∠AEC的度数；（提示：过点E作AB的平行线）
（2）如图2，已知ABCD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE．若∠EAB＝α，∠ECD＝β．
①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）；
②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分于∠CGE（如图3）．若∠AEG＝130°，α+β＝80°，分别求出α，β的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=65°，
∵AC⊥AB，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°-65°=25°.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质得出∠3=∠1=65°，再根据垂直的定义得出∠2+∠3=90°，即可得出∠2=90°-65°=25°.
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠2=180°-∠1=180°-135°=45°.
故答案为：C.
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠2的度数.
3．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GEB＝∠1＝40°，
∵EF为∠GEB的平分线，
∴∠FEB＝ ∠GEB＝20°，
∴∠2＝180°﹣∠FEB＝160°.
故答案为：D.
【分析】由两直线平行同旁内角互补得∠2+∠FEB＝180°可求解.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AE∥BC，
∴∠EAB=∠CBD=65°，
∵∠CAE=∠EAB-∠BAC，
∴∠CAE=65°-35°=30°，
故答案为：C.
【分析】先通过二直线平行，同位角相等得到∠EAB=∠CBD=65°，接着通过∠CAE=∠EAB-∠BAC得到∠CAE的度数.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】 ，
， ，
又 ，
，
，
即与 相等的角有3个.
故答案为： .
【分析】由平行线的性质可求解.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵ ，
∴∠EAD=∠ADC，故A选项错误，
∵ ，
∴ ，故B选项正确，
由AB∥CD，不能得出 ，故C选项错误，
由AB∥CD，不能得出 ，故D选项错误，
故答案为：B.
【分析】平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CB∥DF，
∴∠2=∠3（两条直线平行，同位角相等）.
故答案为：B.
【分析】根据两条直线平行，同位角相等，即可判断.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故答案为：B．
【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
9．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵EF∥CD
∴∠3=∠COE
∴∠3 ∠1=∠COE ∠1=∠BOE
∵AB∥EF
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3 ∠1=180°
故答案为：D.
【分析】 本题利用 平行线的性质做题即可两直线平行，内错角相等得到∠3 ∠1=∠COE ∠1=∠BOE ;两直线平行，同旁内角，∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3 ∠1=180°.
10．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过E作直线EL∥AB，则AB∥EL∥DC，
过F作直线FG平行AB，则AB∥FG∥DC，
由EL∥AB，得∠AEL=∠BAE=∠EAF+∠FAB=4∠BAF，
由EL∥CD，得∠LEC=∠ECD=∠ECF+∠FCD=4∠DCF，
∴∠E=∠AEL+∠LEC=4(∠FAB+∠DCF)，
由FG∥AB，得∠AFG=∠FAB，
由FG∥CD，得∠GFC=∠FCD，
∴∠F=∠AFG+∠GFC=∠FAB+∠DCF，
∴∠E=4∠F，
故答案为：D.
【分析】过E作直线EL∥AB，过F作直线FG平行AB，由两直线平行内错角相等，得∠AEL=∠BAE，
∠LEC=∠ECD，结合 ∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF， 得∠E=∠AEL+∠LEC=4(∠FAB+∠DCF)，
再由两直线平行内错角相等，得∠AFG=∠FAB，∠GFC=∠FCD，从而推得∠E=4∠F。
11．【答案】70°
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，取∠3，
∵a∥b，
∴∠3=180°-∠1=180°-110°=70°，
∴∠2=∠1=70°，
故答案为：70°.
【分析】取∠3，根据平行线的性质先求出∠3，再根据对顶角的性质求∠2即可.
12．【答案】105°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∵∠D＝75°，
∴∠BCD＝180°﹣75°＝105°.
故答案为：105°.
【分析】根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠D+∠BCD＝180°，可求∠BCD＝90°.
13．【答案】60
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CEF，
∵CE∥GF，
∴∠2＝∠CEF，
∴∠2＝∠1，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝60°，
故答案为：60.
【分析】根据平行线的性质得出∠2＝∠CEF，∠1＝∠CEF，由等量代换即得∠2＝∠1=60°.
14．【答案】56°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图，由图可知， ， ，
∵
∴
故答案为：56°.
【分析】根据平行线的性质求解即可.
15．【答案】25°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2＝75°，
∴AB//CD，
∴∠B＝∠C，
∵∠3＝50°，
∴∠C＝∠2﹣∠3＝75°﹣50°＝25°，
∴∠B＝25°.
故答案为：25°.
【分析】由∠1＝∠2＝75°可得AB//CD，则∠B＝∠C，由三角形外角的性质可得∠C的度数，进而得到∠B的度数.
16．【答案】84
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵DEBC，
∴∠2=∠EBC，
∵∠1=∠2，
∴∠EBC=∠1，
∴GFBE，
∴∠BEC+∠FGE=180°，
∵∠BEC=96°，
∴∠FGE=180°-∠BEC=180°-96°=84°．
故答案为：84．
【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
17．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】由平行线的性质可得，从而求出，由平行线的性质可得，据此即可求解.
18．【答案】30°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠PEF=90°，
∵ ，
∴ ，
∵
∵ ，
∴ ，
∵ 平分
∴
【分析】由 ，得出∠PEF=90°，由，得出 ，由 平分 ，即可得出 的度数。
19．【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝70°，
∵BC∥DE，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝110°.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠C的度数，进而再根据二直线平行，同旁内角互补得出∠D的度数.
20．【答案】∵AB∥DF，∴∠D＋∠BHD＝180°.
∵∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝∠DHB，
∴DE∥BC，∴∠AGB＝∠AMD＝75°，
∴∠AGC＝180°﹣∠AGB＝180°﹣75°＝105°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据AB∥DF，∠D＋∠B＝180°，可得∠B＝∠DHB，则DE∥BC，利用同位角的邻补角的关系求解.
21．【答案】解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝50°，
∴∠DCB＝∠ACD＝25°，
又DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝25°，
∠AED＝∠ACB＝50°．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质及平行线的性质即可求解.
22．【答案】∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCE＝180 ，
∵∠ABC＝60 ，
∴∠BCE＝120
∵ 平分
∴∠BCF= =60
∵
∴ = -∠BCF=30 ．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质可以求得∠BCE的度数，再由角平分线得到∠BCF的度数，最后根据 即可求出 ．
23．【答案】解：∵∠1＝∠2，
∴EF∥AD，
∵EF⊥BC，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，
又∵DG∥BA，∠2＝40°，
∴∠ADG＝∠2＝40°，
∴∠BDG＝∠ADG+∠ADB＝130°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】依据∠1＝∠2，即可得到EF∥AD，再根据平行线的性质，即可得到∠ADB和∠ADG的度数，进而得出∠BDG的度数．
24．【答案】证明：∵，（已知）
∴（垂直的定义）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠ADC=∠FEC=90°，推出AD∥EF，根据平行线的性质可得∠1=∠3，根据∠A=∠C可得AC∥GD，得到∠2=∠3，据此证明.
25．【答案】（1）解：过点O作OM∥AB，
则∠1=∠EOM，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2=∠FOM，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
即∠EOM+∠FOM=90°，
∴∠1+∠2=90°
（2）解：如图
∵AB∥CD
∴∠AEH+∠CHE=180°，
∵FO平分∠CFG，EO平分∠AEH
∴∠CFG=2∠2，∠AEH=2∠1，
∵∠1+∠2=90°
∴∠CFG+∠AEH=2∠1+2∠2=180°，
∴∠CFG=∠CHE，
∴FG∥EH．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点O作OM∥AB，根据平行线的性质得出∠1=∠EOM，OM//CD得到∠2=∠FOM，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得出∠AEH+∠CHE=180°，根据角平分线定义得出∠CFG=2∠2，∠AEH=2∠1，根据∠1+∠2=90°求出∠CFG+∠AEH=2∠1+2∠2=180°，求出∠CFG=∠CHE，即可得到结论。
26．【答案】（1）解：∠1=∠2．
理由：∵AB∥CD(已知)，
∴∠1=∠CME(两直线平行，同位角相等)．
∵BE∥DF(已知)，
∴∠2=∠CME(两直线平行，同位角相等)，
∴∠1=∠2．
（2）解：∠1+∠2= 180°．
理由：∵AB∥CD(已知)，
∴∠1=∠CME(两直线平行，同位角相等)．
∵BE∥DF(已知)，
∴∠2=∠CMB(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠CME+∠CMB=180°(平角定义)，
∴∠1+∠2=180°(等量代换)．
（3）解：80°或100°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（3）如图1，
∵∠ABE=∠CDF，∠ABE=80°，
∴∠CDF=80°，
如图2，
∵∠ABE+∠CDF=180°，∠ABE=80°，
∴∠CDF=100°，
∴∠CDF=80°或100°.
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠1=∠CME，∠2=∠CME，即可得出∠1=∠2；
（2）根据平行线的性质得出∠1=∠CME，∠2=∠CMB，根据平角的定义得出 ∠CME+∠CMB=180°，即可得出∠1+∠2=180° ；
（3）分两种情况，利用（1）（2）的结论即可得出答案.
27．【答案】（1）解：∵AM∥BN，
∴∠ABN=180°-∠A=120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP= （∠ABP+∠PBN）= ∠ABN=60°，
（2）解：不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB=∠DBN= ∠PBN= ∠APB，
∴∠APB：∠ADB=2：1．
（3）解：∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，
∴∠ABC= ∠ABN=30°，
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质求出∠ABN=180°-∠A=120°，利用角平分线的定义可得∠CBD=∠CBP
+∠DBP= （∠ABP+∠PBN）= ∠ABN，据此即得结论；
（2）不变．理由： 由平行线的性质可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN， 由BD平分∠PBN， 可得∠ADB=∠DBN= ∠PBN= ∠APB，据此即可求出结论；
（3） 由AM∥BN可得∠ACB=∠CBN，由∠ACB=∠ABD可得∠CBN=∠ABD， 从而求出∠ABC=∠CBP
=∠DBP=∠DBN，继而得出∠ABC= ∠ABN=30°，
28．【答案】（1）解：如图1，过点E作MN∥AB．
∵AB∥MN，
∴∠AEM＝∠EAB＝35°．
∵AB∥CD，AB∥MN，
∴MN∥CD．
∴∠MEC＝∠ECD＝25°．
∴∠AEC＝∠AEM+∠MEC＝35°+25°＝60°
（2）解：①如图2，
∵AB∥CD，
∴∠EFB＝∠ECD＝β．
又∵∠EFB＝∠EAB+∠AEC，
∴∠AEC＝∠EFB﹣∠EAB＝β﹣α．
②如图3，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2．
又∵CG平分∠ECD，
∴∠EAB＝∠1＝ ．
∴∠EAB＝∠2．
∵AG平分于∠CGE，
∴∠2＝∠3．
∴∠3＝∠EAB＝ ．
∵∠AEG＝130°，
∴∠EAB+∠3＝180°﹣∠AEG＝50°．
∴2∠EAB＝50°．
∴∠EAB＝α＝25°．
又∵α+β＝80°，
∴β＝55°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点E作MN∥AB，利用平行线的性质求解即可；
（2）①利用平行线的性质求解即可；②利用平行线的性质及角平分线的定义计算即可。
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