福建省厦门六中2012-2013学年高二上学期期中数学理试卷

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2012-2013学年度厦门六中高二年级上学期期中考试
数 学 试 题（理科） 命题时间：2012-11-02
注意事项：
1. 本试题共分三大题，全卷共150分。考试时间为120分钟。
2．第I卷必须使用2B铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。
3. 第II卷必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效。作图时，可用2B铅笔，要求字体工整、笔迹清晰。21世纪教育网
第I卷（共50分）
一.选择题 (本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.)
1. 不等式的解集为 ( )
A. B.
C. D.
2.在△ABC中，已知，B=，C=，则等于 ( )
A. B. C. D.
3.在等差数列等于 ( )
A. 22 B.18 C.20 D. 13
4.“”是“对任意的正数，恒成立”的 （ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件-21世纪教育网
5. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且,则
等于 A. B. C. D. ( )
6. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
7. 甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是 （ ）
A．21.5分钟 B．分钟 C． 分钟 D．2.15分钟
8. 数列满足，，，…，是首项为，公比为的等比数列，那么 （ ）
A. B. C. D.
9. 已知：函数与轴有两个交点；：，恒成立．若为真，则实数m的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
10.已知等比数列中，则前3项的和的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11. 边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 .
12.已知点(3，1)和(4，6)在直线的两侧,则a的取值范围是____ ______。
13.在三角形ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为____ ________。
14.已知且，则的最小值为______________。
15.已知数列：，，，，…，那么数列=前n项和为_____ _ _ ___。
16.已知下列五个命题
①若,则成等比数列；
②若是等比数列，且，则＝－1；-21世纪教育网
③若数列的前n项和则数列 从第二项起成等差数列；
④已知,则的最小值是6.
⑤在△ABC中，若,则.
请把正确的命题的题号都填在后面的横线上 .
三、解答题:本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.[21世纪教育网
17．（本题满分12分）
已知等差数列中，.
（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）调整数列的前三项的顺序，使它成为等比数列的前三项，求的前项和.
18．（本题满分12分）
已知、、分别是的三个内角、、所对的边；
（1）若面积，且、、成等差数列，求、的值；
（2）若，且，试判断的形状。
-21世纪教育网
19．（本题满分13分）
制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损,某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪,可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪,若投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
20．（本题满分13分） 如图，某观测站在城的南偏西的方向上，由城出发有一公路，走向是南偏东，在处测得距为31公里的公路上处，有一人正沿公路向城走去，走了20公里后，到达处，此时、间距离为公里，问此人还需要走多少公里到达城．
21.（本题满分12分）
已知函数y＝的定义域为R，解关于x的不等式
22．（本题满分14分）
已知数列中，，，其前项和满足（，）．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）设， 求数列的前项和 ；-21世纪教育网
（Ⅲ）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，有恒成立．-21世纪教育网
厦门六中2012—2013学年上学期高二数学期中考（理科）参考答案
选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
D
A
B
C
C
A
C
D
二、填空题：
11、120 12、 13、； 14、9；
15、16、③④⑤21世纪教育网
三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本题满分12分）已知等差数列中，.
（Ⅰ）求的通项公式；-21世纪教育网
（Ⅱ）调整数列的前三项的顺序，使它成为等比数列的前三项，求的前项和.
17．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知，得 -----21世纪教育网-----------1分
又，∴，，∴的公差d=3 -----3分
∴an=a1+(n－1)d=－2+3(n－1)=3n－5. ---------------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得a1=－2，a2=1，a3=4.
依题意可得：数列{bn}的前三项为b1=1，b2=－2，b3=4或b1==4，b2=－2，b3=1 --8分
（i）当等比数列{bn}的前三项为b1=1，b2=－2，b3=4时，则q=－2 .
. -------------------------9分
（ii）当第比数列{bn}的前三项为b1=4，b2=－2，b3=1时，则.
-------------------12分
说明：第（Ⅱ）问只做一种情况给3分.
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[来源:21世纪教育网]
18． （本题满分12分）已知、、分别是的三个内角、、所对的边；
（1）若面积，且、、成等差数列，求、的值；
（2）若，且，试判断的形状。
18、解：（1）、、成等差数列，，…………1分
又 …………2分
解得 …………4分
由余弦定理知，= =………6分
（2）根据余弦定理，由，得， ，21世纪教育网
是直角三角形， …………10分21世纪教育网
，=，
故是等腰直角三角形。…………12分
另法：根据正弦定理，由，得，又

，…………10分
，=， 故是等腰直角三角形。…………12分
19．（本题满分13分）制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损,某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪,可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪,若投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
19.解:设投资人分别用x、y万元投资甲、乙两个项目,由题意知:
……………4分
目标函数……………6分
上述不等式组表示的平面区域如下图所示,阴影部分(含边界)即可行域.
作直线l0: x+0.5y=0,并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z,z∈R,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且与直线l0: x+0.5y=0的距离最大,这里M点是直线x+y=10和直线0.3x+0.1y=1.8的交点M(4,6)……10分
当直线过点M(4,6)时Z取得最大值7万元. ……………12分
故投资人对甲项目投资4万元对乙项目投资6万元，才能使可能的盈利最大为7万元 13分
20．（本题满分13分） 如图，某观测站在城的南偏西的方向上，由城出发有一公路，走向是南偏东，在处测得距为31公里的公路上处，有一人正沿公路向城走去，走了20公里后，到达处，此时、间距离为公里，问此人还需要走多少公里到达城．
[来源:21世纪教育网]
20.解：由题意得
在中由余弦定理得……4分
于是，则
=。…………8分
在中，由正弦定理得
…………12分
答：此人还得走15km到达A城…………13分
21. （本小题满分12分）
已知函数y＝的定义域为R，解关于x的不等式
21. 解：∵函数y＝的定义域为R，∴恒成立. …1分
当时，，不等式恒成立；当时，则
解得.综上， ………………………4分
由得.……6分
∵,
∴(1)当，即时，；
(2)当，即时，，不等式无解；
(3)当，即时，.………………………………10分
∴原不等式的解集为：当时，；当时，Ф；当时，. ……………………12分
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22．（本题满分14分）已知数列中，，，其前项和满足（，）．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）设， 求数列的前项和 ；
（Ⅲ）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，有恒成立．[来源:21世纪教育网]
22. 解：（Ⅰ）由已知，（，），
即（，），且．
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴． …………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 它的前项和为
（Ⅲ）∵，∴，

∴恒成立，
∴恒成立．
（ⅰ）当为奇数时，即恒成立当且仅当时，有最小值为1，∴．
（ⅱ）当为偶数时，即恒成立当且仅当时，有最大值，∴．即，又为非零整数，则．
综上所述，存在，使得对任意，都有．…………14分