高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 第8章 习题课 二项分布、超几何分布、正态分布（82张PPT）

(共82张PPT)
习题课　二项分布、超几何分布、正态分布
第8章　概　率
进一步掌握二项分布、超几何分布、正态分布.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、二项分布及应用
二、超几何分布及应用
内容索引
三、正态分布与二项分布的综合应用
一、二项分布及应用
例1　甲、乙、丙3人均以游戏的方式决定是否参加学校音乐社团、美术社团，游戏规则为：
①先将一个圆8等分(如图)，再将8个等分点A1，A2，
A3，A4，A5，A6，A7，A8分别标注在8个相同的小球上，并将这8个小球放入一个不透明的盒子里，每个人从盒内随机摸出两个小球，然后用摸出的两个小球上标注的分点与圆心O构造三角形.若能构成直角三角形，则两个社团都参加；若能构成锐角三角形，则只参加美术社团；若能构成钝角三角形，则只参加音乐社团；若不能构成三角形，则两个社团都不参加.
②前一个同学摸出两个小球记录下结果后，把两个小球都放回盒内，下一位同学再从盒中随机摸取两个小球.
(1)求甲能参加音乐社团的概率；
其中与圆心O构成直角三角形的取法有8种：A1A3O，A2A4O，A3A5O，A4A6O，A5A7O，A6A8O，A7A1O，A8A2O，与圆心O构成钝角三角形的取法有8种：A1A4O，A2A5O，A3A6O，A4A7O，A5A8O，A6A1O，A7A2O，A8A3O.
(2)记甲、乙、丙3人能参加音乐社团的人数为随机变量X，求X的概率分布、均值和方差.
解　由题意可知，
所以X的概率分布为
反思感悟　与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的且各事件是相互独立的.
(2)每次试验只有两种结果：发生或不发生.
(3)随机变量是这n重伯努利试验中某事件发生的次数.
跟踪训练1　某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：
质量(g) [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55]
数量(只) 6 10 12 8 4
(1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；
解　由表格中的数据可估算出这批生蚝质量的平均数为
所以购进生蚝500 kg，
(2)以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5,25)间的生蚝的个数为X，求X的概率分布及均值.
解　由表格中的数据可知，任意挑选一只，
随机变量X的可能取值有0,1,2,3,4，
所以随机变量X的概率分布为
二、超几何分布及应用
例2　某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满500元的顾客，可以获得一次抽奖机会，有两种方案.方案一：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客一次性摸出2个球，规定摸到2个黑球奖励50元，1个黑球奖励20元，没有摸到黑球奖励15元.方案二：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客不放回地每次摸出一个球，直到将所有黑球摸出则停止摸球，规定2次摸出所有黑球奖励50元，3次摸出所有黑球奖励30元，4次摸出所有黑球奖励20元，5次摸出所有黑球奖励10元.
(1)记X为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数，求随机变量X的均值；
解　方法一　易知X服从超几何分布，且N＝5，M＝2，n＝2，
方法二　X的所有可能取值为0,1,2.
(2)若你是1名要抽奖的顾客，你会选择哪种方案进行抽奖？并说明理由.
解　记Y为1名顾客选择方案一进行抽奖获得的奖金数额，则Y可取50,20,15.
记Z为1名顾客选择方案二进行抽奖获得的奖金数额，
则Z可取50,30,20,10.
E(Y)>E(Z)，
∴我会选择方案一进行抽奖.
反思感悟　超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
跟踪训练2　为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于2018年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯电量：年用电量2 161至4 200度(含4 200度)，执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯电量：年用电量4 200度以上，执行第三档电价0.865 3元/度.某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，如表所示：
用户 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年用 电量 (度) 1 000 1 260 1 400 1 824 2 180 2 423 2 815 3 325 4 411 4 600
(1)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？
解　因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4 600度，则该户本年度应交电费为4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元).
(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的概率分布.
解　设取到第二阶梯电量的用户数为X，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X的可能取值为0,1,2,3,4.
故X的概率分布为
三、正态分布与二项分布的综合应用
例3　九所学校参加联考，参加人数约5 000，经计算得数学平均分为113分.已知本次联考的成绩服从正态分布，且标准差为12.
(1)计算联考成绩在137分以上的人数.(结果保留整数)
解　设本次联考成绩为ξ，
由题意知ξ～N(μ，σ2)，其中σ＝12，μ＝113.
因为137＝μ＋2σ，
故所求人数为0.023×5 000＝115.
(2)从所有试卷中任意抽取1份，已知成绩不超过123分的概率为0.8.
①求成绩低于103分的概率.
解　P(ξ<103)＝P(ξ>123)＝1－0.8＝0.2.
②从所有试卷中任意抽取5份，由于试卷数量较大，可以把每份试卷被抽到的概率视为相同，X表示抽到成绩低于103分的试卷的份数，写出X的概率分布，并求出均值E(X).
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解　由题意可知X～B(5,0.2)，
故P(X＝0)＝0.85＝0.327 68，
P(X＝5)＝0.25＝0.000 32.
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3 4 5
P 0.327 68 0.409 6 0.204 8 0.051 2 0.006 4 0.000 32
E(X)＝5×0.2＝1.
反思感悟　(1)利用正态分布的概率公式求得满足条件的概率，再乘以总人数，可得结果.
(2)利用正态分布的对称性求概率.
跟踪训练3　“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标.
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
解　根据频率分布直方图可得各组的频率为
(0,10]的频率为0.010×10＝0.1，
(10,20]的频率为0.020×10＝0.2，
(20,30]的频率为0.030×10＝0.3，
(30,40]的频率为0.025×10＝0.25，
(40,50]的频率为0.015×10＝0.15，
(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(38.45,50.4)内的概率；
②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解　∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，
P(38.45＝(0.954－0.683)÷2＝0.135 5，
∴Z落在(38.45,50.4)内的概率是0.135 5.
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的概率分布和均值及方差.
②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解　根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(10,30)内的概率为0.2＋0.3＝0.5，
X的可能取值为0,1,2,3,4，
∴X的概率分布为
1.知识清单：二项分布、超几何分布、正态分布.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：注意区分超几何分布和二项分布.
课堂小结
随堂演练
1.某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会都是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是
A.np(1－p) B.np
C.n D.p(1－p)
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解析　用电单位的个数X～B(n，p)，∴E(X)＝np.
√
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2.某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表所示：
使用时 间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60
个数 10 40 80 50 20
若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为
√
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使用时 间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60
个数 10 40 80 50 20
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3.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，则P(2≤ξ＜4)等于
A.0.3 B.0.35 C.0.5 D.0.7
√
解析　∵P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，
又P(2≤ξ≤6)＝1－P(ξ＜2)－P(ξ＞6)＝0.7，
4.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P(X＝4)＝________.(用数字表示)
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课时对点练
基础巩固
1.若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)等于
A.0.665 B.0.008 56
C.0.918 54 D.0.991 44
√
解析　P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)
＝0.991 44.
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2.已知随机变量X的概率分布为
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4.有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其均值E(X)等于
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
√
解析　由题意可知X服从超几何分布，
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对于A，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；
故B正确；
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8.一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为______.
解析　设抽取的两件产品中次品的件数为X，则
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9.已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为 ，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的.
(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的概率分布；
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解　由题意，得随机变量X的可能取值为0,1,2,3，
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所以X的概率分布为
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(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率.
解　第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，
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10.袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的均值.
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解　取出4只球颜色及得分情况是
4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，
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故X的概率分布为
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11.设随机变量ξ～N(μ，1)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(0<ξ≤1)等于
附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σP(μ－2σA.0.158 7 B.0.135 5
C.0.271 8 D.0.341 3
综合运用
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解析　∵函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点，
∴二次方程x2＋2x－ξ＝0无实根，
∴Δ＝4－4(－ξ)<0，∴ξ<－1，
又∵f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，
∴P(ξ<－1)＝0.5，
由正态曲线的对称性知μ＝－1，
∴ξ～N(－1,1)，∴μ＝－1，σ＝1，
∴μ－σ＝－2，μ＋σ＝0，μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝1，
∴P(－2<ξ<0)＝0.683，P(－3<ξ<1)＝0.954，
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∴n(10－n)(9－n)(8－n)＝480，将选项中的值代入检验，知选C.
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13.“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜过“石头”.若所出的拳相同，则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是
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解析　根据“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为 ，
∴小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，比赛至第四局小军胜出，指前3局中小军胜2局，有1局不胜，第四局小军胜，
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14.3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为 ，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所
选队员得分之和为6分的概率为______.
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解析　依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A，
则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件A1；女生得2分男生得4分，设为事件A2；女生得4分男生得2分，设为事件A3，
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拓广探究
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16.某市举办数学知识竞赛活动，共5 000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩.
(1)通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝66，σ2＝144，试估计初试成绩超过90分的人数；
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解　∵学生初试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，
其中μ＝66，σ2＝144，
∴μ＋2σ＝66＋2×12＝90，
∴P(X>90)＝P(X>μ＋2σ)
∴估计初试成绩超过90分的人数为0.023×5 000＝115.
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解　Y的所有可能取值为0,2,3,4,5,7，
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∴Y的概率分布为
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本课结束