高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 8.2.1 第2课时 离散型随机变量的概率分布（62张PPT）

(共62张PPT)
第2课时　离散型随机变量的概率分布
第8章　8.2.1　随机变量及其分布列
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的概率分布.
2.掌握离散型随机变量概率分布的表示方法和性质.
3.理解两点分布.
学习目标
对于随机试验我们引入了随机变量的概念，这样，了解随机试验的规律就转化为了解随机变量的所有可能取值，以及随机变量取各个值的概率.了解了上述两点，我们就可以说了解了这个随机试验的规律.这就是我们这节课所研究的内容.
导语
随堂演练
课时对点练
一、离散型随机变量的概率分布
二、概率分布的性质
三、0-1分布(两点分布)
内容索引
一、离散型随机变量的概率分布
问题　掷一枚骰子的随机试验中，X 表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？
提示　列成表的形式
X 1 2 3 4 5 6
P
知识梳理
1.随机变量X的概率分布
一般地，随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，①
则称①为随机变量X的 ，简称为X的分布列.
2.概率分布表
通常将上表称为随机变量X的 .
随机变量X的概率分布列、概率分布表都叫作随机变量X的概率分布.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
概率分布列
概率分布表
注意点：
(1)概率分布表中x1，x2，…，xn表示离散型随机变量X可能取的不同值，p1，p2，…，pn表示X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi.
(2)随机变量X取值为x1，x2，…，xn时所对应事件是互斥的.
例1　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
设“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”的事件为A，
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列.
解　用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,1,2.
X 0 1 2
P
故X的概率分布为
反思感悟　求离散型随机变量的分布列关键有三点
(1)随机变量的取值.
(2)每一个取值所对应的概率.
(3)用所有概率之和是否为1来检验.
跟踪训练1　一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1,2,3,4，现从中随机取出2个球，用X表示取出球的最大号码，求X的概率分布.
解　由题意知，随机变量X所有可能取值为2,3,4.
X 2 3 4
P
因此X的概率分布为
二、概率分布的性质
知识梳理
在随机变量的分布列中，pi满足：
(1)Pi 0(i＝1,2，…，n)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝ .
≥
1
解　由题意知，所给概率分布为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
由概率分布的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
反思感悟　概率分布的性质及其应用
(1)利用概率分布表中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布表，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
跟踪训练2　设离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：(1)2X＋1的概率分布；
解　由概率分布的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
∴m＝0.3.
首先列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
从而由上表得两个概率分布为
2X＋1的概率分布
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)|X－1|的概率分布.
解　|X－1|的概率分布
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
三、0-1分布(两点分布)
知识梳理
随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为 分布或 ，此处“～”表示“ ”.
注意点：
(1)两点分布有且只有两个对应结果，且互为对立.
(2)其随机变量的取值只能是0和1，故又称0－1分布.
(3)其中p＝P(X＝1)，称为成功概率.
(4)两点分布可应用于彩票中奖、新生儿性别、投篮是否命中等.
X～0－1
X～两点分布
服从
例3　袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝
求X的概率分布.
解　由题设可知X服从两点分布.
∴X的概率分布为
X 0 1
P
反思感悟　两步法判断一个分布是否为两点分布
(1)看取值：随机变量只取两个值0和1.
(2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立.
如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布.
跟踪训练3　已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的概率分布.
所以随机变量X的概率分布为
X 0 1
P
1.知识清单：
(1)离散型随机变量的概率分布的概念及表示.
(2)离散型随机变量的概率分布的性质.
(3)两点分布.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区： 随机变量的取值不明确导致分布列求解错误.
课堂小结
随堂演练
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1.(多选)下列表格中，是某个随机变量的概率分布表的是
A.
X 0 1 2
P 0.7 0.15 0.15
B.
X －2 0 2 4
P 0.5 0.2 0.3 0
C.
X 1 2 3
P
D.
X 1 2 3
P lg 1 lg 2 lg 5
√
√
√
解析　C项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点.所以C项不是随机变量的概率分布表.
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2.某射手射击一次命中环数X的概率分布为
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则P(X>7)等于
A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51
√
解析　根据X的概率分布知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
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3.若随机变量X～0－1分布，P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝3a，则a＝_____.
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4.已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为________.
0,1,2
得Y∈{0,1,2}.
课时对点练
基础巩固
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1.(多选)已知随机变量X的概率分布如下表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是
A.a＝0.1 B.P(X≤2)＝0.7
C.P(X≥3)＝0.4 D.P(X≤1)＝0.3
√
√
√
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解析　由0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，得a＝0.1，
故A正确；
P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，
故C错误；
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.3，故D正确.
2.若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝1)等于
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解析　由题意知，{ξ＝0}表示“一次试验失败”，{ξ＝1}表示“一次试验成功”.
设一次试验失败率为p，则成功率为2p，
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3.设离散型随机变量X的概率分布为
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
X 0 1 2 3 4
P 0.15 0.15 0.15 0.25 m
√
解析　由0.15＋0.15＋0.15＋0.25＋m＝1，
得m＝0.3.
所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
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4.设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么
A.n＝3 B.n＝4
C.n＝10 D.n＝9
√
解析　由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，
∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.
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5.若随机变量η的概率分布如下：
解析　由概率分布知，
P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)
＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，
∴P(η<2)＝0.8，故1η －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(ηA.x≤1 B.1≤x≤2 C.1√
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6.离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，概率分布如下：
A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20
√
解析　根据概率分布的性质，知随机变量的所有取值的概率之和为1，可解得x＝2，y＝5，
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8.一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的概率分布为
X 0 1
P a b
则a＝________，b＝________.
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9.将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的概率分布.
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解　由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，
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所以抛掷两次掷出的最大点数构成的概率分布为
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10.若离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1
P 9c2－c 3－8c
试求出离散型随机变量X的概率分布.
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解　由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，
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故所求概率分布为
综合运用
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11.已知随机变量X的概率分布如下：
则P(X＝10)等于
√
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则
X 2 4 6
P a b c
√
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解析　由概率分布的性质，得a＋b＋c＝1.
13.设随机变量X的概率分布如下表，则P(|X－2|＝1)＝________.
解|X－2|＝1得X＝1或X＝3.
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14.若随机变量X的概率分布如表所示：
则a2＋b2的最小值为____.
拓广探究
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解析　根据题意，随机变量X的概率分布为
则有P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)
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16.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.
(1)求袋中原有的白球的个数；
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解　设袋中原有n个白球，由题意知
可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球.
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(2)求随机变量ξ的概率分布；
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解　由题意得，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
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所以ξ的概率分布如表所示：
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(3)求甲取到白球的概率.
本课结束