高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 8.2.3 第1课时 二项分布（70张PPT）

(共70张PPT)
第1课时　二项分布
第8章　8.2.3　二项分布
1.理解n重伯努利试验的概念.
2.掌握二项分布的概率表达形式.
3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题.
学习目标
某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一板木牌上写着：只需投掷二十次，便可拥有双倍财富(恰好10次正面朝上者中奖)，他一阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事件，概率均为 ，20× 不就是10吗？这简直是必然事件嘛！于是他走上前去，将仅有的30元押在桌上.那么这个学生的运气如何呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、n重伯努利试验
二、二项分布的推导
三、二项分布的简单应用
内容索引
一、n重伯努利试验
问题1　观察下面试验有什么共同的特点？
(1)投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5；
(2)某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个；
(3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次.
提示　①相同条件下的试验：5次、10次、6次；
②每次试验相互独立；
③每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生；
④每次试验发生的概率相同为p ，不发生的概率也相同，为1－p.
知识梳理
我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验.
例1　判断下列试验是不是n重伯努利试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
解　由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验.
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
解　某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验.
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球.
解　每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验.
反思感悟　n重伯努利试验的判断依据
(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行.
(2)每次试验相互独立，互不影响.
(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生.
跟踪训练1　(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是
A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没
射中目标”
D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
解析　A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；
B是相互独立事件；
D是n重伯努利试验.
√
√
√
二、二项分布的推导
问题2　(1)连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？
提示　用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”，
用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“出现k次针尖向上”，
(2)类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k(k＝0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律？
知识梳理
(2)当X～B(n，p)时，E(X)＝ ，D(X)＝ ，σ＝ .
np(1－p)
np
注意点：
(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1.
(2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布.
例2　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 ，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(结果需用分数作答)
(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
解　记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验，
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
延伸探究
1.在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率.
所以甲、乙均击中目标1次的概率为
2.在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率.
反思感悟　 n重伯努利试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验.
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆.
(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.
跟踪训练2　现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人参加甲游戏，掷出点数大于2的人参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率；
设“这4个人中恰有k人参加甲游戏”为事件Ak(k＝0,1,2,3,4)．
故这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率为
(2)求这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率.
解　设“这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4.
三、二项分布的简单应用
例3　高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为 ，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；
解　至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功.设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X.
所以至少有3次发芽成功的概率为
P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布.
解　随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
所以ξ的概率分布为
反思感悟　利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率.
跟踪训练3　某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 ，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的概率分布.
∴X的概率分布为
1.知识清单：
(1)n重伯努利试验的概念及特征.
(2)二项分布的概念及表示.
2.方法归纳：数学建模.
3.常见误区：二项分布的判断错误.
课堂小结
随堂演练
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2.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)等于
√
P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)
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解析　事件A在一次试验中发生的概率为p，
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4.从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为_______.
0.048 6
课时对点练
基础巩固
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解析　该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，
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4.有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0A.(1－p)n B.1－pn C.pn D.1－(1－p)n
√
解析　所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.
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解析　对于A，每次出现正面向上的概率都是0.5，故A正确；
对于B，第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.5，故B错误；
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6.(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是
A.P1＝P2＝P3＝P4
B.P3＝2P1
C.P1＋P2＋P3＋P4＝1
D.P4＝3P2
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解析　由题意知，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，
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P1＝P2P3＝3P1，故B错误；
P1＋P2＋P3＋P4＝1，故C正确；
P4＝3P2，故D正确.
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7.一个学生通过某种英语听力测试的概率是 ，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为________.
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8.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_____.
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9.某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；
解　记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8，
5次预报相当于5重伯努利试验.
“恰有2次准确”的概率为
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
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(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率.
解　“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.
所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99.
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.
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(1)两人各射击1次，两人总共中靶至少1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
解　共三种情况：
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(2)两人各射击2次，两人总共中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
解　共两类情况：
共中靶3次，概率为
共中靶4次，概率为
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(3)两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率是否超过99%
所以两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率超过99%.
综合运用
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11.(多选)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击3次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，下列结论正确的是
A.他三次都击中目标的概率是0.93
B.他第三次击中目标的概率是0.9
C.他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1
D.他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12
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解析　A正确；
由每次射击击中目标的概率为0.9，知他第三次击中目标的概率也为0.9，B正确；
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12.在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是
A.[0.4,1) B.(0,0.4] C.(0,0.6] D.[0.6,1]
√
解得p≥0.4，又∵01
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A.1 B.2 C.3 D.4
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k＝0,1,2,3,4,5.
故当k＝1或2时，P(X＝k)最大.
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拓广探究
15.规定投掷飞镖3次为一轮，3次中至少两次投中8环以上的为优秀.现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖未在8环以上，用1表示该次投镖在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果.例如：“101”代表第一次投镖在8环以上，第二次投镖未在8环以上，第三次投镖在8环以上，该结果代表这一轮投镖为优秀：“100”代表第一次投镖在8环以上，第二次和第三次投镖均未在8环以上，该结果代表这一轮投镖为不优秀.经随机模拟实验产生了如下10组随机数，据此估计，该选手投掷飞镖两轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率是
101 111 011 101 010 100 100 011 111 001
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(1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；
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解　设“甲至多命中1个球”为事件A，
“乙至少命中1个球”为事件B，
由题意得，
∴甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为
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(2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的概率分布.
解　乙所得分数η的所有可能取值为－4,0,4,8,12，
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故η的概率分布为
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