高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 8.2.3 第2课时 二项分布的综合问题（85张PPT）

(共85张PPT)
第2课时　二项分布的综合问题
第8章　8.2.3　二项分布
1.掌握二项分布的均值与方差公式.
2.能利用二项分布解决一些简单的实际问题.
学习目标
姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0.8，假设他每次命中率相同，请问他5投4中的概率是多少？
导语
随堂演练
课时对点练
一、二项分布的均值与方差
二、二项分布的实际应用
三、二项分布的性质
内容索引
一、二项分布的均值与方差
问题　若随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
提示　当n＝1时，X服从两点分布，分布列为
X 0 1
P 1－p p
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
二项分布的分布列为(q＝1－p)
＝np(p＋q)n－1＝np，
同理可得D(X)＝np(1－p).
知识梳理
1.若X服从两点分布，则E(X)＝ ，D(X)＝ .
p
p(1－p)
2.若X～B(n，p)，则E(X)＝ ，D(X)＝ ，σ＝ .
np
np(1－p)
例1　将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是 .
(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
解　设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”，
(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差.
则ξ的分布列为
反思感悟　解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解.若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
跟踪训练1　某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X，其分布列如下表，均值E(X)＝2.
(1)求a和b的值；
解　因为E(X)＝2，
(2)某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X大于0的次数为Y，求Y的概率分布与均值.
X 0 3 6
P a b
故Y的概率分布为
二、二项分布的实际应用
例2　为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园环境噪音值(单位：分贝)进行了50天的监测，得到如下统计表：
环境噪音值 (单位：分贝) [55， 57] (57， 59] (59， 61] (61， 63] (63， 65] (65，
67]
频数 1 4 12 20 8 5
(1)根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组的组中值作代表)；
解　由数据可知样本平均数为
＝61.8(分贝).
(2)若环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染，环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染，把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：
①求周一到周五的5天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余3天都是轻度噪音污染的概率；
设事件A为“周一至周五的5天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余3天都是轻度噪音污染”，
②学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X，求X的分布列和方差D(X).
则随机变量X的分布列为
所以D(X)＝np(1－p)＝0.27.
反思感悟　二项分布的实际应用类问题的求解步骤
(1)根据题意设出随机变量；
(2)分析随机变量服从二项分布；
(3)求出参数n和p的值；
(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解.
跟踪训练2　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 .
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值；
故ξ的概率分布为
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的概率分布；
解　这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的取值为0,1,2,3,4,5.
故η的概率分布为
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
解　所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)
三、二项分布的性质
例3　某一批产品的合格率为95%，那么在取出的20件产品中，最有可能有几件产品合格？
则当k<19.95时，P(X＝k－1)当k>19.95时，P(X＝k－1)>P(X＝k)，
由以上分析可知，在取出的20件产品中，合格品有19件的概率最大，即最有可能有19件合格品.
反思感悟　二项分布概率最大问题的求解思路
跟踪训练3　若X～B ，则P(X＝k)(0≤k≤20且k∈N)取得最大值时，k＝______.
6或7
解析　由题意知，X服从二项分布，
解得k≥6.
所以当k≥6时，P(X＝k)≥P(X＝k＋1)；
当k<6时，P(X＝k＋1)>P(X＝k).
因为当且仅当k＝6时，P(X＝k＋1)＝P(X＝k)，
所以当k＝6或k＝7时，P(X＝k)取得最大值.
1.知识清单：
(1)二项分布的均值、方差.
(2)二项分布的性质.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：判断随机变量X是否服从二项分布.
课堂小结
随堂演练
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1.(多选)下列关于随机变量及分布的说法正确的是
A.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B.某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布
C.离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1
D.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
√
√
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解析　对于选项A，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故是随机变量，故选项A正确；
对于选项B，某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次是3重伯努利试验，命中的次数X服从二项分布B(3,0.5)而不是两点分布，故选项B错误；
对于选项C，离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于1，故选项C错误；
对于选项D，由互斥事件的定义可知选项D正确.
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2.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X，则D(X)等于
√
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解析　因为X～B(2，p)，
所以P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)
课时对点练
基础巩固
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1.设X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
√
解析　∵E(X)＝16，
∴40p＝16，∴p＝0.4.
√
所以n＝36，
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3.已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是
A.6和2.4 B.2和2.4
C.2和5.6 D.6和5.6
√
解析　因为X＋Y＝8，所以Y＝8－X.
所以E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，
D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
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解析　∵P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1，
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√
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解析　由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0,1，
且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：
①后4个数出现0，X＝0，
②后4个数位只出现1个1，X＝1，
③后4个数位出现2个1，X＝2，
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④后4个数位上出现3个1，X＝3，
⑤后4个数位都出现1，X＝4，
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7.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答).
0.947 7
解析　由随机变量X～B(2，p)，
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(2)求ξ的均值.
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解　方法一　ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，
∴ξ的分布列为
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(1)求n和p的值，并写出X的概率分布；
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解　由题意知，X～B(n，p)，
由E(X)＝np＝3，
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X的概率分布为
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(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.
解　记“需要补种沙柳”为事件A，
则P(A)＝P(X≤3)，
综合运用
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11.袋中有3个白球和i个黑球，有放回的摸取3次，每次摸取一球，设摸得黑球的个数为ξi，其中i＝1,2，则
A.E(ξ1)B.E(ξ1)D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)D.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
√
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解析　当i＝1时，ξ1可能的取值为0,1,2,3，则
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当i＝2时，ξ2可能的取值为0,1,2,3，则
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A.10 B.20 C.21 D.0
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解析　由题意知
对比二项展开式得xk＋yk＝20，
所以符合题意的(xk，yk)有(0,20)，(1,19)，…，(20,0)，共21个.
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13.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为
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又k取整数，∴k＝13.
拓广探究
15.掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，共掷6次，用x，y，z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数.令X＝x＋y，则E(X)＝_____.
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∴E(z)＝3，又x＋y＋z＝6，
∴X＝x＋y＝6－z，
∴E(X)＝E(6－z)＝6－E(z)＝6－3＝3.
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16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
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解　设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”.
则P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
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(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的概率分布，均值E(X)及方差D(X).
解　X的可能取值为0,1,2,3，相应的概率为
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则X的概率分布为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X～B(3,0.6)，所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8，
方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
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