北师大版数学八年级下册 第三章 图形的平移与旋转自我评估（一）（含答案）

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第三章 图形的平移与旋转自我评估（一）
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 2022年，中国举办第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图1，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（　　）
A B C D 图1
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A B C D
3．如图2，将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是（　　）
A B C D 图2
4. 下列关于中心对称的描述不正确的是 （　　）
A. 把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形对称
B. 关于中心对称的两个图形是全等的
C. 关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心
D. 如果两个图形关于点O对称，点A与A′是对称点，那么OA=OA′
5.把图3的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（　　）
A．36° B．72° C．90° D．108°
图3 图4 图5
6．已知平面直角坐标系中两点A（3，-1），B（-1，2），连接AB，平移线段AB得到线段A1B1.若点A的对应点是A1（1，2），则点B的对应点B1的坐标为（　　）
A．（2，-3） B．（-2，-1） C．（-3，5） D．（3，-1）
7.如图4，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2的度数比∠3的度数大（　　）
A．70° B．80° C．110° D．180°
8.如图5，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，点D在斜边AB上.如果△ABC绕点B旋转后与△EBD重合，连接AE，那么∠EAB的度数是（　 　）
A．80° B．70° C．60° D．50°
9. 如图6，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是 （　　）
A. ∠ABC=∠ADC B. CB=CD C. DE+DC=BC D. AB∥CD
图6 图7
如图7，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，D为AB的中点.若直角∠MDN绕点D旋转，分别交AC，BC于点E，F，下列说法：①AE＝CF；②EC+CF＝；③DE＝DF；④若△ECF的面积确定，则EF的长也是一个定值．
其中正确的有（　　）
①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.在平面直角坐标系中，点P（-5，6）关于原点对称的点的坐标是_____________.
12．如图8，将△ABC沿着射线BC的方向平移到△DEF的位置.若E是BC的中点，BF＝18 cm，则平移的距离为　 　cm．
图8 图9 图10 图11
13.如图9，在平面直角坐标系xOy中，△OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程： ．
14.如图10，Rt△ABC的周长为22，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与BC平行，则这5个小直角三角形周长的和为　 　．
15.如图11，在△ABC中，边BC在直线MN上，且BC=9 cm，将△ABC沿直线MN平移得到△DEF，点B的对应点为E.若平移的距离为2 cm，则CE的长为 cm.
16.如图12，将长方形ABCD绕点A旋转至长方形AB′C′D′的位置，AB′交CD于点E．若∠ACD＝30°，AB＝3，，则△AEC的面积为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（6分）如图13，已知长方形ABCD的长为5，宽为4，若将其沿着射线BC的方向平移到长方形EFGH处，则长方形CDEF的周长是长方形ABCD周长的，求长方形ABCD平移的距离.
图13
18.（6分）如图14，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边三角形BCD，连接AD，将△ABD绕点D按逆时针方向旋转60°得到△ECD，且点A，C，E在同一直线上．若AB＝3，AC＝2，求AD的长．
图14
19．（6分）如图15，把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A′B′C′，其中点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点．
（1）画出△A′B′C′，并直接写出点C′的坐标： ；
（2）若AB边上一点P经过上述平移后的对应点为P′（x，y）.直接写出用含x，y的代数式表示点P的坐标： ；
（3）一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过原来的图形作一次平移得到，则线段BC在一次平移过程中扫过的面积为： ．
图15
20.（7分）如图16，在平面直角坐标系中，已知A（-2，4），B（-4，1），C（-1，2）．
（1）画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2；
（3）求在（2）的条件下，线段AC扫过的面积.
图16
21.（8分）图17是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．
（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）
图17
22.（9分）如图18，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，D为AB的中点，DE⊥BC于点E，将线段DE绕点E顺时针旋转120°得到线段EF，连接BF，DF，DF交BC于点G．
（1）判断△BDG的形状，并说明理由；
（2）求△BDG的面积．
图18
23.（10分）阅读与理解：
图①是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形ABC和CDE叠放在一起的图形．
操作与证明：
（1）操作：固定△ABC，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图②；在图②中，线段BE与AD之间具有怎样的数量关系？证明你的结论.
操作：若将图①中的△CDE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α（0°≤α≤360°），连接AD，BE，如图③，在图③中，线段BE与AD之间具有怎样的数量关系？证明你的结论.
猜想与发现：
（3）根据上面的操作过程，请你猜想：当α为多少度时，线段AD的长度最大，是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小，是多少？
① ② ③
图19
附加题（20分，不计入总分）
如图①，在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，其中A（0，a），B（b，0）满足．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）将线段AB平移到CD，点A的对应点是C，点B的对应点是D，且C，D两点也在坐标轴上，过点O作直线OM⊥AB，垂足为M，交CD于点N，请在图①中画出图形，直接写出点C，D的坐标，并证明MN⊥CD；
（3）如图②，将AB平移到CD，点A的对应点为C（-2，m），连接AC，BC，BC交y轴于点E.若△ABC的面积等于13，求点E的坐标及m的值．
① ②
第三章 图形的平移与旋转自我评估（一）
答案速览
一、1. B 2.A 3.C 4.A 5.B 6. C 7. C 8.B 9.D 10. D
二、11.（5，-6） 12.6
13.将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△OCD（答案不唯一） 14.22
15. 7或11 16.
答案详解
10.D 解析：连接CD，利用“ASA”可证得△ADE≌△CDF，得出AE=CF，DE=DF，故①③正确；由①知，EC+CF=EC+AE=AC.又AC=BC，∠C＝90°，AB=8，所以由勾股定理可求出AC=BC=，故②正确；因为S△ECF=CE CF，若S△ECF是一个定值，则CE CF是一个定值.由勾股定理，得EF2=CE2+CF2=（CE+CF）2-2CE CF.又CE+CF=，是一个确定的值，所以EF的长也是一个定值，故④正确．
16. 解析：因为四边形ABCD是长方形，所以AB∥CD，AB=CD=3，∠ADC＝∠BAD＝90°.
所以∠ACD＝∠CAB＝30°，∠DAC＝60°.
由旋转，得∠DAE＝∠CAB＝30° .所以∠EAC＝30°＝∠ACD.
所以EA＝EC.
设EA＝EC＝x，则有DE＝CD-EC＝3-x.
在Rt△ADE中，x2＝（3-x）2+（）2，解得x＝2.所以EC＝2.
则S△AEC＝EC AD＝.
三、17.解：设长方形ABCD平移的距离AE=x.
因为长方形ABCD的长为5，宽为4，所以长方形ABCD的周长为18.
因为长方形CDEF的周长是长方形ABCD周长的，所以4+4+5-x+5-x=18×，解得x=3.
所以长方形ABCD平移的距离为3.
18.解：因为△ABD绕着点D按逆时针方向旋转60°得到△ECD，所以∠ADE＝60°，DE＝DA，EC＝AB.
又点A，C，E共线，所以△ADE是等边三角形.所以AD＝AE.
因为AB＝3，AC＝2，所以AE＝AC+EC＝2+3＝5.所以AD＝5．
19.解：（1）图略．（4，2）
（2）（x-3，y-4）
（3）16
20.解：（1）（2）图略.
（3），， 线段AC扫过的面积为：.
21.解：（1）作图如图①所示（答案不唯一）．（2）作图如图②所示．
① ②
22.解：（1）△BDG是等腰三角形.
理由：连接CD.
因为AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，D为AB的中点，所以CD⊥AB，∠DCE＝∠ACB＝60°，∠ABC＝∠A＝
（180°-∠ACB）＝30°.
因为DE绕点E按顺时针旋转120°得到EF，所以DE＝EF，∠DEF＝120°.
所以∠EDG＝∠EFD＝（180°-∠DEF）＝30°.
因为DE⊥BC，所以∠BDE＝90°-∠ABC＝30°.所以∠GDB＝∠BDE-∠EDG＝30°.
所以∠GDB＝∠GBD.
所以△BDG是等腰三角形.
（2）因为CD⊥AB，∠ABC＝30°，所以CD＝BC＝2.
因为∠CGD＝∠GDB+∠GBD＝30°+30°＝60°，所以∠CDG＝60°＝∠CGD=∠DCG.
所以△CDG是等边三角形.
所以CG＝CD＝DG＝2.
所以BG＝DG＝2.
因为DE⊥CG，所以.所以.
所以.
23.解：（1）BE＝AD．
证明：因为△CDE绕点C按顺时针方向旋转30°，所以∠BCE＝∠ACD＝30°.
因为△ABC与△CDE都是等边三角形，所以CB＝CA，CE＝CD.所以△BCE≌△ACD.所以BE＝AD．
（2）BE＝AD．
证明：因为△CDE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α，所以∠BCE＝∠ACD＝α.
因为△ABC与△CDE都是等边三角形，所以CB＝CA，CE＝CD.
所以△BCE≌△ACD.所以BE＝AD．
（3）当α为180°时，线段AD的长度最大，等于a+b；当α为0°（或360°）时，线段AD的长度最小，等于a-b．
附加题
解：（1）因为|a-3|+＝0，所以a＝3，b＝4.
所以A，B两点的坐标分别为（0，3），（4，0）.
（2）C（-4，0），D（0，-3）．
如图①，根据平移的性质，得AB∥CD，AB＝CD.
因为OM⊥AB，所以OM⊥CD，即MN⊥CD．
① ②
（3）如图②，过点C作CF⊥y轴于点F.
因为S△ABC=13，即S△ACE+S△ABE＝13，所以AE·CF+AE·OB＝13.
所以（3+OE）×2+（3+OE）×4＝13，解得OE＝.
所以点E的坐标为（0，-）．
设直线BE的表达式为y＝kx+b.
根据题意，得解得
所以直线BE的表达式为y＝x-.
当x＝-2时，y＝-2．所以m的值为-2．
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