北师大版数学八年级下册第三章 图形的平移与旋转自我评估（二）（含答案）

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第三章 图形的平移与旋转自我评估（二）
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
戴口罩讲卫生 勤洗手勤通风
A B
有症状早就医 少出门少聚集
C D
2．中国上海世博会吉祥物的名字叫“海宝”，意即“四海之宝”．通过平移，可将图1中的吉祥物“海宝”平移到图（　　）
A． B． C． D．
3．下列运动属于旋转的是（　　）
A．火箭升空的运动 B．足球在草地上滚动
C．风车运动的过程 D．传输带上物品的运动
4．点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（-1，2） B．（1，2） C．（-1，-2） D．（-2，1）
5．在平面直角坐标系中，将点（-2，3）先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的点的坐标为（　　）
A．（2，5） B．（﹣6，5） C．（2，1） D．（﹣6，1）
6．如图2中的三角形甲可以通过哪种运动和三角形乙重合（　　）
A．平移 B．旋转
C．平移后再旋转 D．翻折


图2 图3 图4 图5
7．图3是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定的角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（　　）
A．144° B．90° C．72° D．60°
8．如图4，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若BE＝17，AD＝7，则BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9. 如图5，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3 cm，AC=4 cm，把△ABC沿直线BC向右平移2.5 cm后得到△DEF，连接AE，AD，有以下结论：①BF=7.5 cm；②AD∥BE；③CF=2.5 cm；④DE⊥AC.
其中正确的有（ ）
1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
如图6，平面内某正方形内有一个长为10，宽为5的长方形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数n为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
图6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图7，已知△ABC与△DEC关于点C成中心对称.若AB＝2，则DE＝　 　．

图7 图8 图9
12.如图8，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置.若∠AOB＝40°，则∠AOD=　 　°．
13.如图9，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为　 　．
14.在图10所示的草坪上，铺设一条水平宽度为2的小路，则草坪的面积为　 　．

图10 图11 图12
如图11，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1 cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是_____________ cm．
16．如图12，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=4，BO=8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长为　 　．
三、解答题（本大题7小题，共52分）
17.（5分）如图13，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长．
图13
18.（5分）已知△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图14所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A　 　，B　 　，C　 　.
（2）△ABC是由△A'B'C'经过怎样的平移得到的？
（3）求△ABC的面积．

图14
19.（6分）如图15，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-5，0），B（-2，3），C（-1，0）．
（1）画出△ABC向下平移3个单位长度的△A1B1C1；
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A3B3C3，并写出点B3的坐标　 　．

图15
20.（6分）学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图16所示，请你测算一下买地毯至少需要多少元.
图16

21.（8分）如图17，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形，使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
图17
22.（10分）如图18，将△ABC沿射线BA方向平移到△A′B′C′的位置，连接AC′．
（1）AA′与CC′的位置关系为 ；
（2）求证：∠A′+∠CAC′+∠AC′C=180°；
（3）设∠AC′B′=x，∠ACB=y，试探索∠CAC′与x，y之间的数量关系，并证明你的结论．
图18
23.（12分）如图19，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ.
（1求证：EA是∠QED的平分线；
（2）求证：EF2＝BE2+DF2．
图19
附加题（20分，不计入总分）
如图①，已知边长为6的等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，BC边上，DE∥AB，EC＝．将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，如图②，连接AD′，BE′，P为边D′E′的中点．
（1）在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
（2）连接AP，当AP最大时，求AD′的长度．（结果保留根号）
第三章 图形的平移与旋转自我评估（二）
一、1．C 2．B 3．C 4．C 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D
10.C 提示：根据长方形的长为10，宽为5，可得长方形的对角线长为，由长方形可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于5，由11＜5＜12，可知该正方形边长的最小整数n为12．
二、11．2 12．30 13.（3，-2） 14．104 15.2
提示：由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AO=A′O，A′B′=AB，由OE=4，得到OE=A′O，过点O作OF⊥A′B′于点F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形“三线合一”的性质可得A′E=2EF，然后由B′E=A′B′-A′E可求得结果．
三、17. 解：在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，由勾股定理，得AB＝＝10.
由旋转的性质，得BE＝BC＝6，所以AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4．
18．解：（1）A（1，3），B（2，0），C（3，1）；
（2）△ABC由△A'B'C'先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度（或先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度）得到的；
（3）S△ABC＝2×3-×1×3-×1×1-×2×2=2.
19．解：（1）如图1，△A1B1C1为所求作；
（1）如图1，△A2B2C2为所求作；
（2）如图1，△A3B3C3为所求作，点B3的坐标为（3，2）．
图1
20.解：利用平移把台阶的横竖分别平移，构成一个长、宽分别为6.4米，2.8米的长方形.
所以地毯的长度为6.4+2.8+2.8=12（米），地毯的面积为12×3=36（平方米）.
所以买地毯至少需要36×40=1440（元）.
21．解：（1）如图2-甲；（2）如图2-乙；（3）如图2-丙．

图2
22.解：（1）AA′∥CC′
（2）根据平移性质，得∠A′=∠BAC，AA'∥CC'，即BA'∥CC'.
所以∠BAC'+∠AC′C=180°，∠BAC+∠CAC′+∠AC′C=180°.
所以∠A'+∠CAC'+∠AC'C=180°.
（3）∠CAC'=x+y.
证明：过点A作AD∥BC，交CC'于点D.
根据平移性质，得B'C'∥BC.
所以B'C'∥AD∥BC.
所以∠AC'B'=∠C'AD，∠ACB=∠DAC.
所以∠CAC'=∠C'AD+∠CAD=∠AC'B'+∠ACB=x+y.
23.证明：（1）因为将△ADF绕点A顺时针旋转90°后得到△ABQ，所以BQ＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF.
因为∠EAF＝45°，所以∠DAF+∠BAE＝45°.所以∠QAE＝45°.所以∠QAE＝∠FAE.
在△AQE和△AFE中，AQ＝AF，∠QAE＝∠FAE，AE＝AE，所以△AQE≌△AFE（SAS）.
所以∠AEQ＝∠AEF.所以EA是∠QED的平分线.
（2）由（1），得△AQE≌△AFE，所以EQ＝EF.
因为四边形ABCD是正方形，所以AD=AB，∠BAD=90°.所以∠ADF=∠ABD=45°.
所以∠ABQ=45°.所以∠QBE=90°.
在Rt△QBE中，BE2+ QB2＝EQ2. 因为QB＝DF，所以EF2＝BE2+DF2．
附加题
解：（1）AD′＝BE′.理由：当α≠180°时，由旋转的性质，得∠ACD′＝∠BCE′.
因为△ABC是等边三角形，所以AC＝BC，∠ABC=∠ACB=60°.
因为DE∥AB，所以∠DEC=∠ABC =60°.所以△DEC是等边三角形.
由旋转的性质，知△D′E′C是等边三角形.所以CD′＝CE′.又∠ACD′＝∠BCE′，所以△ACD′≌△BCE′.所以AD′＝BE′；
当α＝180°时，AD′＝AC+CD′，BE′＝BC+CE′，即AD′＝BE′．
综上可知，AD′＝BE′．
（2）连接CP.
在△ACP中，由三角形的三边关系，得AP＜AC+CP，所以当A，C，P三点共线时，AP最大.
如图所示，在△D′CE′中，因为P为D′E′的中点，所以AP⊥D′E′，PD′＝D′E′.
由（1），知△D′E′C是等边三角形，且D′E′=CD′=E′C=EC=，所以PD′＝.
在Rt△CPD′中，由勾股定理，得CP＝＝3.所以AP＝6+3＝9.
在Rt△APD′中，由勾股定理，得AD′＝＝．
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