北师大版数学八年级下册第四章 因式分解自我评估（一）（含答案）

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第四章 因式分解自我评估（一）
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．a（m＋n）＝am＋an B．a2﹣b2﹣c2＝（a＋b）（a﹣b）-c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．2x+3x2＝x2（+3）
2．用提公因式法因式分解，下列因式分解正确的是（ ）
A．2n2-mn+n=2n（n-m） B．2n2-mn+n=n（2-m+1）
C．2n2-mn+n=n（2n-m） D．2n2-mn+n=n（2n-m+1）
3.下列各式中，没有公因式的是（ ）
A.3x-2与6x2-4x B.ab-ac与ab-bc
C.2（a-b）2与3（b-a）3 D.mx-my与ny-nx
4.下列多项式中，能运用平方差公式因式分解的是（ ）
A．a2+b2 B．2a-b2 C．a2-b2 D．-a2-b2
5.因式分解a2b-2ab+b的结果为（　 ）
A．b（a2-2a） B．ab（a-2） C．b（a2-2a+1） D．b（a-1）2
6．已知多项式3x -mx+n因式分解的结果为（3x+2）（x-1），则m，n的值分别为（ ）
A．m=1，n=-2 B．m=-1，n=-2
C．m=2，n=-2 D．m=-2，n=-2
7.因式分解x4-1的结果为（ ）
A.（x2+1）（x2-1） B.（x-1）（x+1）（x2+1）
C.（x+1）2（x-1）2 D.（x-1）（x+1）3
8.已知 M=a2+4b2，N=4ab（a，b为任意有理数），则M与N的大小关系是（ ）
A. M>N B. M9．已知68-1能被30~40之间的两个整数整除，这两个整数是（ ）
A．31，33 B．33，35 C．35，37 D．37，39
10.已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（ ）
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.m（y-x）= ______（x-y）.
12.因式分解：（1）a2-4a=______；（2）2a（b+c）-3（b+c）=______.
13.若x2-mx+是完全平方式，则m的值是 .
14.已知正方形的面积为9x2+30xy+25y2（x＞0，y＞0），利用因式分解，可以求出正方形的边长为　 ．
15.若a+b=-1，则3a2+6ab+3b2-5的值为　 ．
16.已知m2=2-n，n2=m+2（m+n≠0），则m3+2mn-n3=______.
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（每小题3分，共6分）把下列各式因式分解：
（1）4x2-64； （2）（a-b）2-2（b-a）＋1.
18.（每小题4分，共8分）利用因式分解计算：
（1）5×782﹣222×5； （2）20222﹣4044×1022+10222．
19.（6分）已知x＋y＝4，x2＋y2＝14，求x3y-2x2y2＋xy3的值．
20.（6分）如图1，某学校操场的两端为半圆形，中间是一个长方形．已知半圆的半径为r，直跑道的长为l，请用关于r，l的多项式表示这个操场的面积．这个多项式能因式分解吗？若能，请把它因式分解，并计算当r=40m，l=30πm时操场的面积（结果保留π）；若不能，请说明理由．
图1
21.（8分）老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请观察以下算式：
①；
②；
③；
......
请你结合这些算式，解答下列问题：
（1）试写出符合上述规律的第五个算式；
（2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n-1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数；
（3）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”这个结论正确吗？请说明理由.
22. （8分）下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4因式分解的过程.
解：设x2-4x=y，
则原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2 （第三步）
=（x2-4x+4）2. （第四步）
解答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（ ）
A.提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）.若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解.
23.（10分）观察猜想
如图2，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：
x2＋（p＋q）x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝（______）（______）．
图2
说理验证
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
x2＋（p＋q）x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝（x2＋px）＋（qx＋pq）＝________________＝（______）（______）．
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．
尝试运用
例题：把x2＋3x＋2因式分解．
解：x2＋3x＋2＝x2＋（2＋1）x＋2×1＝（x＋2）（x＋1）．
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
（1）x2-7x＋12；　　　　　　　　　（2）（y2＋y）2＋7（y2＋y）-18.
附加题（20分，不计入总分）
拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
备用图
（1）图③可以解释为等式：　 　．
（2）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为3a2+7ab+2b2，并通过拼图对多项式3a2+7ab+2b2进行因式分解：3a2+7ab+2b2=　 　．（拼图图形画在备用图内）
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个长方形的两边长（x＞y），结合图案，指出以下关系式：①xy=；②x+y=m；③x2-y2=mn；④x2+y2=，其中正确的关系式为　 　．（填序号）
方法迁移：
试着用剪拼图形的方法由几何图形的面积来证明：a2-b2=（a+b）（a-b）．
第四章 因式分解自我评估（一）
答案速览
一、1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 6.A 7.B 8.C 9.C 10.B
二、11.–m 12.（1） a（a-4） （2）（b+c）（2a-3）
13.±1 14.3x+5y 15.-2 16.-2
答案详解
10.B 解析：因为2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，所以4a4-4a2c2+c4+4b4-4b2c2+c4=0.所以（2a2-c2）2+（2b2-c2）2=0.所以2a2-c2=0，2b2-c2=0.又因为a＞0，b＞0，c＞0，所以c=a，c=b.所以a=b，且a2+b2=c2．所以△ABC是等腰直角三角形．
16.-2 解析：因为m2=2-n，n2=m+2，所以m2-n2=（m+n）（m-n）=2-n-m-2=-（m+n）.所以m-n=-1.
因为m3=m m2=m（2-n）=2m-mn，n3=n n2=n（m+2）=mn+2n，所以m3+2mn-n3=2m-mn+2mn-mn-2n=2（m-n）=-2.
三、17.解：（1）原式＝4（x2-16）＝4（x＋4）（x-4）.
（2）原式＝（a-b）2＋2（a-b）＋1＝（a-b＋1）2.
18.解：（1）5×782﹣222×5＝5×（782﹣222）=5×（78+22）（78﹣22）＝5×100×56＝28 000．
（2）20222﹣4044×1022+10222＝20222﹣2×2022×1022+10222＝（2022-1022）2＝10002＝1 000 000．
19.解：因为x＋y＝4，所以（x＋y）2＝16.
所以x2＋y2＋2xy＝16.
因为x2＋y2＝14，所以xy＝1.
所以x3y-2x2y2＋xy3＝xy（x2-2xy＋y2）＝14-2＝12.
20.解：操场的面积为πr2+2rl=r（πr+2l）.
当r=40 m，l=30π m时，原式=40（40π+2×30π）=4000π（m2）．
所以当r=40 m，l=30π m时，操场的面积为4000π m2．
21.解：（1）第五个算式为.
（2）验证：因为（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n×2=8n，所以两个连续奇数的平方差是8 的倍数．
（3）不正确.理由：设这两个连续偶数为2n和2n+2（其中n为正整数）.
则（2n+2）2-（2n）2=（2n+2+2n）（2n+2-2n）=8n+4.
因为8n+4不是8的倍数，所以这个结论不正确.
22.解：（1）C
（2）不彻底 （x-2）4.
（3）设x2-2x=y，则原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2-2x+1）2=［（x-1）2］2=（x-1）4.
23.解：观察猜想：x＋p x＋q
说理验证：x（x＋p）＋q（x＋p） x＋p x＋q
尝试运用：（1）原式＝（x-3）（x-4）.
（2）原式＝（y2＋y＋9）（y2＋y-2）＝（y2＋y＋9）（y＋2）（y-1）．
附加题
解：（1）（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2
（2）（3a+b）（a+2b） 拼图如图1所示.
图1 图2 图3
（3）①②③④ 解析：因为m2-n2=4xy，所以xy=.所以①正确；因为x+y=m，所以②正确；因为x+y=m，x-y=n，所以（x+y）（x-y）=mn，即x2-y2=mn，所以③正确；因为m2+n2=（x+y）2+（x-y）2=2x2+2y2=2（x2+y2），所以x2+y2=.所以④正确.
方法迁移：剪拼图形如图2，把图2中的阴影剪下来，再沿虚线剪开，拼成图3所示的梯形，图3中S阴影=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）.
因为图2中S阴影=a2-b2，所以a2-b2=（a+b）（a-b）．
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