2021-2022学年青岛版八年级数学上册 2.4线段的垂直平分线 综合解答题培优提升专题训练（word版含答案）

2021-2022学年青岛版八年级数学上册《2.4线段的垂直平分线》综合解答题
培优提升专题训练（附答案）
1．如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
2．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、F为垂足，求∠DAF的度数．
3．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
4．如图，△ABC中AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、N，若∠EAN＝34°，求∠BAC的度数．
5．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
7．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
9．如图，在△ABC中，AB边和AC边的垂直平分线交于点O．
求证：
（1）OA＝OB＝OC．
（2）△ABC三边的垂直平分线交于一点．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．
求证：∠FAC＝∠B．
11．已知：如图，AB＝CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E．求证：∠ABE＝∠CDE．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
13．如图，AD是△ABC的高，AD垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）求证：∠B＝∠AED．
（2）若DE＝1，求AB的长．
14．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．
15．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．
（1）线段AB，AC，CE三者之间的长度有什么关系．
（2）线段AB+BD与DE有怎样的关系呢？
16．如图，线段AB、AC的垂直平分线相交于D，连接BD、CD，若∠EDG＝40°，求∠BDC的度数．
17．如图，在直角三角形ABC中，AC⊥BC，过直角边AC上的一点P作直线MN交AB于点M，交BC的延长线于点N，且∠APM＝∠A，求证：点M在线段BN的垂直平分线上．
18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC的垂直平分线上．
（1）若AB＝5，BC＝7，求△ABE的周长；
（2）若∠B＝57°，∠DAE＝15°，求∠C的度数．
19．如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数．
20．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线MN分别交AB，AC于D，E．若AE＝5，△BCD的周长为17，求△ABC的周长．
21．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF＝AC．
（3）试说明CE＝BF．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
参考答案
1．证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；
（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E．
2．解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴∠ABC＝∠DAB，
∵∠ABC＝30°，
∴∠DAB＝30°，
∵FG为AC的垂直平分线，
∴AF＝FC，
∴∠ACB＝∠CAF，
∵∠ACB＝50°，
∴∠CAF＝50°，
∵∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠DAF＝100°﹣30°﹣50°＝20°．
3．解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．
4．解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、N，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠AEC＝∠BAE+∠B＝2∠BAE，∠ANB＝∠CAN+∠C＝2∠CAN，
∵∠EAN＝34°，
∴∠AEN+∠ANE＝180°﹣∠EAN＝146°，
∵∠AEN＝180°﹣2∠BAE，∠ANE＝180°﹣2∠CAN，
∴180°﹣2∠BAE+180°﹣2∠CAN＝146°，
∴∠B+∠C＝107°，
∴∠BAC＝180°﹣107°＝73°．
5．证明：∵AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BC平分∠ACF，
∴∠FCB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠FCB，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）
∴BE＝CF．
6．（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．
（2）证明∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，AD平分线段EC，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
7．证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
8．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
9．证明：（1）∵AB边和AC边的垂直平分线交于点O，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC；
（2）∵OB＝OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∴△ABC三边的垂直平分线交于一点．
10．证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠FAC＝∠B．
11．证明：连接AE、CE，
∵AC、BD的垂直平分线相交于E，
∴AE＝CE，BE＝DE，
在△ABE和△CDE中，，
∴△ABE≌△CDE（SSS），
∴∠ABE＝∠CDE．
12．证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），
又∵BE⊥AF，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∵AD＝CF（已证），
∴AB＝BC+AD（等量代换）．
13．（1）证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，
∵EH⊥AD，
∴∠AEH＝∠DEH，
∵EF⊥AD，BC⊥AD，
∴EF∥BC，
∴∠AEH＝∠B，
∴∠B＝∠AED；
（2）解：由（1）得：EF∥BC，
∴∠HED＝∠EDB，
∵∠AEH＝∠HED，∠AEH＝∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴AB＝2BE＝2DE＝2×1＝2．
14．（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC的周长为14cm，
∴AB+BC+AC＝14（cm），
∵AC＝6cm，
∴AB+BC＝8（cm），
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝4（cm）．
15．解：（1）AB＝AC＝CE，
∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AB＝AC；
又∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC＝EC，
∴AB＝AC＝CE；
（2）AB+BD＝DE，
理由是：∵AB＝AC＝CE，
∵AC+CD＝AB+BD，
∴DE＝EC+CD＝AB+BD，
即AB+BD＝EC+CD＝DE．
16．解：经过点D作射线AH，
∵∠EDG＝40°，
∴∠EDF＝180°﹣40°＝140°，
∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴∠BAC＝180°﹣∠EDF＝40°，
∵线段AB、AC的垂直平分线相交于D，
∴DA＝DB，DA＝DC，
∴∠DAB＝∠DBA，∠DAC＝∠DCA，
∴∠BDC＝∠BDH+∠CDH＝2∠DAB+2∠DAC＝80°．
17．证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠N+∠CPN＝90°．
∵∠CPN与∠APM是对顶角，
∴∠CPN＝∠APM．
∵∠APM＝∠A，
∴∠N+∠A＝90°，
∴∠B＝∠N，即BM＝MN，
∴点M在BN的垂直平分线上．
18．解：∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，
∴AE+BE＝BE+CE＝BC＝7，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BC＝12；
（2）设∠C＝α，
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝α，
∵∠DAE＝15°，
∴∠DAC＝15°+α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝2×（15°+α），
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴57°+α+2（15°+α）＝180°，
∴α＝31°，
∴∠C＝31°．
19．解：连接OA，OC，
∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AB＝CD，
∴△ABO≌△CDO（SSS），
∴∠ABO＝∠CDO，
设∠OBD＝∠ODB＝α，∠ABO＝∠CDO＝β，
∴α+β＝120°，β﹣α＝38°，
∴α＝41°，
∴∠OBD＝41°．
20．解：∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△BCD的周长为17，
∴BD+BC+CD＝17，
∴BD+BC+AD＝17，
∴BC+AB＝17，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝27．
21．解：（1）△DBC是等腰直角三角形，
理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△DBC是等腰直角三角形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF＝AC；
（3）∵BE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AC，
∴CE＝BF．
22．解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：
连接BD，延长BF交DE于点G．
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，
∴∠ABC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝DC．
在△ECD和△FCB中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF＝90°，
∴∠CED+∠CBF＝90°，
∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．