2021-2022学年青岛版九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似 优生辅导训练(word版含答案)

2021-2022学年青岛版九年级数学上册《1.2怎样判定三角形相似》优生辅导训练（附答案）
1．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，所有符合条件的三角形的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
3．如图，△ABC中，点D为AB中点，点E在AC上，若DE∥BC，则S△ADE：S四边形DECB的值为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：
4．如图，AE，BD相交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD于点D．若AC＝4，AB＝3，CD＝2，则CE的长是（　　）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
5．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
6．如图，正方形OABC的边长为8，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q（m，n），若S△BPQ＝S△OQC，则mn值为（　　）
A．12 B．16 C．18 D．36
7．如图，点P是 ABCD边上的中点，射线CP交DA的延长线于点E，若S△APE＝3，则SABCD等于（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
8．如图，在△ABC中，点E是AB边上的点，点F是AC边上的点，且EF∥BC，AE：EB＝3：1，点D是AE中点，若△ABC面积为32，则△DEF面积为（　　）
A．18 B．12 C．10 D．9
9．有一块直角边AB＝3cm，BC＝4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M则下列结论①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③MD＝2AM＝4EM；④AM＝MF，其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．有一块三角形的余料△ABC，它的高AH＝40mm，边BC＝80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点DG分别在AB，AC上，且DG＝2DE，则矩形的面积为　 　mm2．
12．如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为　 　m．
13．如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为2m，且CE∥BD，并测得
BC＝4m，CA＝1m，那么树BD的高度是　 　m．
14．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为　 　米．
15．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，且点D到窗口下的墙角点C处的距离为9米，若窗口高AB＝2米，那么窗口底边离地面的高BC＝　 　米．
16．如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，边BC＝6cm，高AD＝4cm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC 上，这个正方形零件PQMN的边长是　 　cm．
17．如图，点D为△ABC边AB上一点，请用尺规过点D，作△ADE，使点E在AC上，且△ADE与△ABC相似（保留作图痕迹，不写作法）
如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝18cm，高AD＝12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求矩形EFGH的周长．
19．一块直角三角形木板，它的一条直角边AB长1.5m，面积为1.5m2．甲、乙两位木匠分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面．请说明哪个正方形面积较大（加工损耗不计）．
20．如图，王爷爷家院子里有一块三角形田地ABC，AB＝AC＝5米，BC＝6米，现打算把它开垦出一个矩形MNFE区域种植韭菜，△AMN区域种植芹菜，△CME和△BNF区域种植青菜（开垦土地面积损耗均忽略不计），其中点M，N分别在AC，AB上，点E，F在BC上，已知韭菜每平方米收益100元，芹菜每平方米收益60元，青菜每平方米收益40元，设CM＝5x米，王爷爷的蔬菜总收益为W元．
（1）当矩形MNFE恰好为正方形时，求韭菜种植区域矩形MNFE的面积．
（2）若种植韭菜的收益等于另两种蔬菜收益之和的2倍，求这时x的值．
（3）求王爷爷的蔬菜总收益为W关于x的函数表达式及W的最大值．
参考答案
1．解：设网格的边长为1．
则AC＝，AB＝，BC＝．
连接P2P5，
DP5＝，DP2＝，P2P5＝．
∵，
∴△ACB∽△DP5P2．
同理可找到△DP2P4，△DP4P5和△ACB相似．
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠D＝∠DCB＝90°，
∴∠PCF＝90°，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEP＝90°，
∴∠ABE＝∠DEP，
∵AD∥BC，
∴∠DEP＝∠F，
∴∠ABE＝∠DEP＝∠F，
∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP，
∴图中共有相似三角形有6对，
故选：A．
3．解：∵△ABC中，点D为AB中点，点E在AC上，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴S△ADE：S四边形DECB的值＝1：3，
故选：B．
4．解：∵BA⊥AE于点A，ED⊥BD，
∴∠A＝∠D＝90°，且∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△DEC，
∴＝，
在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝3，根据勾股定理得，BC＝5，
∴＝，
解得CE＝2.5．
故选：D．
5．解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴（）2＝．
∵S△ADE＝S四边形BCED，
∴＝＝，
故选：B．
6．解：∵四边形ABCO是正方形，
∴AB∥OC，
∴△PBQ∽△COQ，
∴＝（）2＝，
∴OC＝3PB，
∵OC＝8，
∴PB＝，
∵＝＝，BO＝8，
∴OQ＝×8＝6，
∴Q（6，6），
∴mn＝36，
故选：D．
7．解：∵点P是 ABCD边上的中点，
∴AP＝BP＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴AP＝CD，△APE∽△DCE，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵S△APE＝3，
∴S△DCE＝12，
∴四边形APCD的面积为12﹣3＝9，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△APE∽△BPC，
∴＝（）2＝1，
∴S△BPC＝S△APE＝3，
∴平行四边形ABCD的面积为3+9＝12，
故选：C．
8．解：∵AE：BE＝3：1，
∴AE：AB＝3：4；
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝（）2＝，且S△ABC＝32，
∴S△AEF＝18；
∵D是AE中点，
∴S△DEF＝S△ABE＝9．
故选：D．
9．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝AB BC＝AC BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
设DE＝x，则有：，
解得x＝，
故选：D．
10．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝∴BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AE＝AB，BF＝BC，
∴AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAM＝90°，
∴∠ADE+∠DAM＝90°，
∴∠AME＝∠ADE+∠DAM＝90°，
故①正确；
（2）设AF与BD交于点N，正方形ABCD的边长为4，
则AE＝BE＝BF＝2，
∴DE＝AF＝＝2，
∵AD∥BF，
∴△BFN∽△DAN，
∴＝＝，
∴FN＝，AN＝，
∵S△AED＝AD AE＝DE AM，
∴AM＝＝＝，
∴MN＝AF﹣AM﹣NF＝，
∴AM≠MN，
若∠BAF＝∠EDB，
则∠ADE＝∠EDB，
又∵DM＝DM，∠DMA＝∠DMN＝90°，
∴△DAM≌△DNM（ASA），
∴AM＝MN，
不符合题意，
故②错误；
（3）由（1）知，∠BAF＝∠ADE，
又∵∠AME＝∠EAD＝∠AMD＝90°，
∴△AME∽△DMA∽△DAE，
∴＝＝＝，
∴AM＝2EM，DM＝2AM，
∴MD＝2AM＝4EM，
故③正确；
（4）由（2）知AM＝，MN＝，FN＝，
∴MF＝MN+FN＝+＝，
∴＝，
故④正确；
故选：B．
11．解：如图，设AH交DG于点K．设DE＝x，则DG＝2x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝20，
∴DE＝20，DG＝40，
∴矩形EFGD的面积为40×20＝800mm2
故答案为800
12．解：∵一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2，
∴另一直角边长为：＝2（m），
则斜边长为：＝2.5，
设点C到AB的距离为h，
则S△ABC＝×2.5h＝1.5，
解得：h＝1.2，
∵正方形GFDE的边DE∥GF，
∴△ACB∽△DCE，
＝，
即＝，
解得：x＝，
故答案为：．
13．解：∵EC∥AB，BD⊥AB，
∴EC∥BD，∠ACE＝∠ABD＝90°，
在Rt△ACE∽Rt△ABD中，∠A＝∠A，∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ABD，
∴，即，解得BD＝10m．
故答案为：10
14．解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，
∴∠CED＝∠OAB＝90°，
∵CD∥OE，
∴∠CDA＝∠OBA，
∴△AOB∽△ECD，
∴＝，＝，
解得OA＝16．
故答案为：16．
15．解：∵光是沿直线传播的，
∴AD∥BE，
∴△CBE∽△CAD，
∴＝，即＝，
解得：BC＝2.5．
故答案为：2.5．
16．解：设这个正方形零件的边长是xcm，则PN＝ED＝xcm，
∵矩形为正方形，
∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，
则＝，
解得：x＝2.4
答：这个正方形零件的边长是2.4cm．
故答案为：2.4．
17．解：如图，点E即为所求作的点．
18．解：∵矩形EFGH中，EH∥FG，EH＝GF，
∴△AEH∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AM⊥EH，
∴＝，
设EH＝3x，则MD＝EF＝2x，AM＝12﹣2x，
∴＝，
解得：x＝3，
∴EH＝3x＝9，EF＝2x＝6，
∴矩形EFGH的周长为：2×（9+6）＝30（cm）．
19．解：由AB＝1.5m，S△ABC＝1.5m2，可得BC＝2m，
由图①，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高，BH交DE于P，交AC于H．
由AB＝1.5m，BC＝2m，
得AC＝（m），
由AC BH＝AB BC 可得：BH＝＝1.2（m），
设甲设计的桌面的边长为xm，
∵DE∥AC，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴，即，
解得（m），
由图②，若设乙设计的正方形桌面边长为ym，
由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，
∴，即，
解得（m），
∵，，
∴x＜y，即x2＜y2，
∴S正方形①＜S正方形②，
∴第二个正方形面积大．
20．解：（1）作AH⊥BC于H，交MN于D．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴CH＝HB＝3，
在Rt△ACH中，AH＝＝4，
∵ME∥AH，
∴＝＝，
∴CE＝3x，EM＝EF＝4x，
易证△MEC≌△NFB，
∴CE＝BF＝3x，
∴3x+4x+3x＝6，
∴x＝，
∴EM＝，
∴矩形MNFE的面积为平方米．
（2）由题意：100×4x （6﹣6x）＝2 [60××（6﹣6x） （4﹣4x）+40×4x×3x]，
解得x＝或．
（3）由题意W＝100×4x （6﹣6x）+60××（6﹣6x） （4﹣4x）+40×4x×3x＝﹣1200x2+960x+720＝﹣1200（x﹣）2+912，
，∵﹣1200＜0，
∴x＝时，W有最大值，最大值为912元