2021-2022学年青岛版八年级数学上册 2.5角平分线的性质 综合解答题培优提升专题训练（word版含答案）

2021-2022学年青岛版八年级数学上册《2.5角平分线的性质》综合解答题
培优提升专题训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
2．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．
4．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　．
5．如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
6．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请猜测AE与FG之间有怎样的关系，并说明理由．
7．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB＝AC．
求证：AD平分∠BAC．
8．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝54°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．
11．如图所示，∠A＝∠B＝90°，P是AB的中点，且DP平分∠ADC，连接PC．
（1）求证：CP平分∠BCD；
（2）线段PD与PC有怎样的位置关系？请说明理由．
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC平分∠ABF，BF＝AE．
求证：（1）DE＝DF；
（2）AC＝3BF．
13．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线交于点O，作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．求证：OE＝OF．
14．如图，CD为△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E、F，FG⊥AB，垂足为点G．求证：CE＝FG．
15．如图，OE平分∠AOB，EF∥OB，EC⊥OB．
（1）求证：OF＝EF
（2）若∠BOE＝15°，EC＝5求：OF的值．
16．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠EAC的平分线．
17．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．
（1）求证：GA平分∠DGB；
（2）若S四边形DGBA＝6，AF＝，求FG的长．
18．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA＝PC．
求证：∠PCB+∠BAP＝180°．
19．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．
求证：点O到EB与ED的距离相等．
20．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为　 　；
（2）如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明．
参考答案
1．证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
2．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB×DE+AC×DF
∴S△ABC＝（AB+AC）×DE，
即×（16+12）×DE＝28，
∴DE＝2（cm）．
3．证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠2，DE⊥AC，∠ABC＝90°
∴DE＝BD，
∵∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∵BF∥DE，
∴∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
∴BD＝BF，
∴DE＝BF．
4．解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；
（3）∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
5．证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵PD＝PE，PD⊥AD，PE⊥AC，
∴AP为∠MBN的平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
6．解：AE＝FG，AE∥FG．
理由如下：∵CF是∠ACB的平分线，∠BAC＝90°，FG⊥BC，
∴FA＝FG，∠AFC＝∠CED，
∵∠AEF＝∠CED，
∴∠AEF＝∠AFC，
∴AE＝AF，
∴AE＝FG，
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥FG，
∴AE＝FG，AE∥FG．
7．解：方法一：连接BC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠CFB＝∠BEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BCF和△CBE中
∵
∴△BCF≌△CBE（AAS），
∴BF＝CE，
在△BFD和△CED中
∵，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DF＝DE，
∴AD平分∠BAC．
方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE＝AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD＝∠EAD，所以AD平分∠BAC．
8．解：PC与PD相等．理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF为矩形，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPC+∠CPF＝90°，
又∵∠CPD＝90°，
∴∠CPF+∠FPD＝90°，
∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．
在△PCE与△PDF中，
∵，
∴△PCE≌△PDF（ASA），
∴PC＝PD．
9．（1）解：∵∠BAC＝54°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝27°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣27°＝63°．
（2）∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，ED＝DC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
∵AE＝AC，ED＝DC，
∴点D在CE的垂直平分线上，点A在CE的垂直平分线上，（两点确定一条直线），
∴直线AD是线段CE的垂直平分线．
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
10．（1）证明：过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵∠CAH＝180°﹣120°＝60°，
∴AE平分∠HAD，
∴EH＝EG，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，
∴EH＝EF，
∴EF＝EG，
∴点E到DA、DC的距离相等；
（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠DEB+∠DBE，
∴＝∠DEB+∠ABC，
∴∠DEB＝（∠CDA﹣∠ABC）＝∠BAD＝30°．
11．（1）证明：过P作PQ⊥CD于Q，
∵P是AB的中点，
∴PA＝PB，
∵DP平分∠ADC，∠A＝90°，PQ⊥CD，
∴PA＝PQ，
∴PA＝PQ＝PB，
∵∠B＝90°，PQ⊥CD，
∴CP平分∠BCD；
（2）PD⊥PC，
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD＝90°，
∴∠DPC＝90°，
∴PD⊥PC．
12．解：（1）∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
在△CDE与△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF，
∴DE＝DF．
（2）∵△CDE≌△BDF，
∴CE＝BF，
∵BF＝AE，
∴AE＝2BF，
∴AC＝3BF．
13．证明：作OG⊥BC，
∵∠ABC的平分线，OE⊥AB，OG⊥BC，
∴OE＝OG，
∵∠BCD的平分线，OF⊥CD，OG⊥BC，
∴OF＝OG，
∴OE＝OF．
14．证明：∵AF是∠BAC的平分线，∠ACB＝90°，FG⊥AB，
∴FC＝FG，∠AED＝∠AFC，
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠AFC，
∴CE＝CF，
∴CE＝FG．
15．（1）证明：∵OE平分∠AOB，
∴∠BOE＝∠AOE，
∵EF∥OB，
∴∠BOE＝∠OEF，
∴∠OEF＝∠FOE，
∴OF＝EF；
（2）解：过E作ED⊥OA于D，
∵∠BOE＝15°，
∴∠OEF＝∠FOE＝15°，
∴∠EFD＝30°，
∵CE⊥OB，
∴DE＝CE＝5，
∴EF＝2DE＝10，
∴OF＝EF＝10．
16．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED＝∠CFD，
∴△BDE与△CDF是直角三角形，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴AD是∠BAC的平分线．
17．解：（1）过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴S△ABC＝S△AED，
又∵AF⊥DE，
即×DE×AF＝×BC×AH，
∴AF＝AH，
又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AG＝AG，
∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），
∴∠AGF＝∠AGH，
即GA平分∠DGB；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴AD＝AB，
又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH，
∴Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），
∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6，
∵Rt△AFG≌Rt△AHG，
∴Rt△AFG的面积＝3，
∵AF＝，
∴×FG×＝3，
解得FG＝4．
18．证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，
∵∠1＝∠2，PF⊥BC于F，
∴PE＝PF，∠PEA＝∠PFB＝90°，
在Rt△PEA与Rt△PFC中，
∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），
∴∠PAE＝∠PCB，
∵∠BAP+∠PAE＝180°，
∴∠PCB+∠BAP＝180°．
19．证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝90°，又CE平分∠BCD，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等．
20．解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△CAD和△EAD中
，
∴△CAD≌△EAD（AAS），
∴CD＝DE，AC＝AE，
∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，
∴DE＝EB，
∴DC＝BE，
∴AE+BE＝AC+DC＝AB；
故答案为：AB＝AC+CD．
（2）成立．
证明：如图2，在AB上截取AE＝AC，连接DE．
∵在△ACD和△AED中
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD＝ED，∠C＝∠AED，
又∵∠C＝2∠B，
∴∠AED＝2∠B，
又∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴2∠B＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴ED＝EB
∵AB＝AE+EB，ED＝EB＝CD，AE＝AC，
∴AB＝AC+CD．