(共21张PPT)
三角形的三边关系
华师版 七年级下
第9章多边形
9.1.3
目标一 三角形的三边关系
B
1
2
3
4
5
4
6
B
答 案 呈 现
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C
7
8
9
B
D
B
1
【教材P82练习T1变式】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．3、4、8 B．5、6、10
C．5、5、11 D．5、6、11
B
【教材P82练习T2变式】【2021 宜宾】若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
2
C
【2021 淮安】一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是________．
3
4
【中考 绍兴】长度分别为2、3、3、4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4
B
①长度分别为2＋3，3，4，能构成三角形，且最长边长为5；
②长度分别为2，3＋3，4，不能构成三角形；
③长度分别为2，3＋4，3，不能构成三角形；
④长度分别为2＋4，3，3，不能构成三角形．
综上所述，得到的三角形的最长边长为5.
【点拨】
已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n＋2、n＋8、3n，则满足条件的n的值有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5
D
【点拨】
【原创题】如图所示是一个直三棱柱的表面展开图，其中AD＝10，CD＝2，则下列可作为AB长的是( )
A．5
B．4
C．3
D．2
6
B
【点拨】
AB＋BC＋CD＝AD，且AB，BC，CD的长要满足三角形三边关系．
7
若m、n满足等式|m－2|＋(n－4)2＝0，且m、n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长是( )
A．8 B．10 C．8或10 D．6
B
∵＋(n－4)2＝0，∴m－2＝0，n－4＝0，解得m＝2，n＝4.当腰长为2时，三边长为2，2，4，不符合三角形三边关系；
当腰长为4时，三边长为2，4，4，符合三角形三边关系，此时周长为2＋4＋4＝10.
本题易忽视组成三角形的条件而错选C.
【点拨】
8
【2021·山西实验中学月考】已知a、b、c是△ABC的三边长．
(1)若a、b、c满足|a－b|＋(b－c)2＝0，试判断△ABC的形状；
解：∵|a－b|＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0.∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形．
解：∵(a－b)(b－c)＝0，
∴a－b＝0或b－c＝0.
∴a＝b或b＝c.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)若a、b、c满足(a－b)(b－c)＝0，试判断△ABC的形状；
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0.
∴原式＝－a＋b＋c－b＋c＋a－c＋a＋b＝a＋b＋c.
(3)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|.
9
如图，P是△ABC内部的一点．
(1)度量AB、AC、PB、PC的长，根据度量结果比较AB＋AC与PB＋PC的大小；
解：度量结果略．
(2)改变点P的位置(点P始终在△ABC内部)，上述结论还成立吗？
(3)请你说明上述结论为什么成立．
解：如图，延长BP交AC于点D.
解：成立．
在△ABD中，AB＋AD>PB＋PD；①
在△PDC中，PD＋DC>PC.②
①＋②，得AB＋AD＋PD＋DC>PB＋PD＋PC，
即AB＋AC>PB＋PC.(共15张PPT)
三角形的内角和与外角和
华师版 七年级下
第9章多边形
9.1.2
目标四 三角形的外角性质与
外角和
B
1
2
3
4
5
C
6
B
答 案 呈 现
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A
7
8
9
C
C
B
1
【2021·河池】如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是( )
A．90° B．80° C．60° D．40°
B
【中考·天门】将一副三角尺如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是( )
A．15° B．20°
C．25° D．30°
2
A
【中考·泰安】将含30°角的一个直角三角尺和一把直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2等于( )
A．80° B．100°
C．110° D．120°
3
C
如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )
A．∠A>∠1>∠2 B．∠1>∠2>∠A
C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1
4
B
下列对三角形的外角和叙述正确的是( )
A．三角形的外角和等于180°
B．三角形的外角和就是所有外角的和
C．三角形的外角和等于所有外角的和的一半
D．以上都不对
5
C
从字面上理解，外角和应该是所有外角的和，而实际上是取每个顶点处的一个外角相加所得的和，应特别注意三角形的外角和等于360°.
【点拨】
【原创题】如图是四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4相交所形成的其中的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论中正确的是( )
A．∠2＝∠4＋∠7
B．∠3＝∠1＋∠7
C．∠1＋∠4＋∠6＝180°
D．∠2＋∠3＋∠5＝360°
6
B
7
【原创题】如图，在△ABC中，在BC的延长线上取点D，E，连结AD，AE，则下列式子中正确的是( )
A．∠ACB＞∠ACD
B．∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3
C．∠ACB＞∠2＋∠3
D．以上都正确
C
∠ACB>∠ADC，∠ADC＝∠2＋∠3，则∠ACB>∠2＋∠3.解答这类题时，一定要有正确的理论依据，不能单凭直觉判断．此题学生容易忽略外角的性质中“不相邻”这一条件，而错选A.
【点拨】
8
如图，请猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数，并说明你的理由．
解：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
理由：∵∠A＋∠B＝∠AMN，∠C＋∠D＝∠MPC，∠E＋∠F＝∠MNE，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝∠AMN＋∠MPC＋∠MNE.
∵∠AMN，∠MPC，∠MNE是△MNP的外角，∴∠AMN＋∠MPC＋∠MNE＝360°.
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
9
【2021·天津河西模拟】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
(1)求∠CBE的度数；
解：∵在直角三角形ABC中，
∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝130°.
∵BE是∠CBD的平分线，
(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
解：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°－65°＝25°.
∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°.(共15张PPT)
三角形的相关概念及其分类
华师版 七年级下
第9章多边形
9.1.1.1
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
A
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D
下面各选项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是( )
C
1
如图，三角形的个数有( )
A．7个 B．4个 C．5个 D．6个
2
D
如图，以CD为边的三角形是__________________；∠EFB是________的内角；
在△BCE中，BE所对的角是__________，∠CBE所对的边是__________；△BCE的外角是__________；
以∠A为内角的三角形有_______________________．
3
△CDF，△BCD
△BEF
△BCE
CE
∠AEC
△ABD，△ACE，△ABC
如图，已知AB＝AC，AD＝BD＝DE＝CE＝AE，则图中共有________个等腰三角形，有________个等边三角形．
4
4
1
若三角形三内角的度数比是2?:3?:4，则它是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
A
5
下列说法正确的是( )
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两条边相等．
A．①②③ B．②③
C．①③ D．③
6
D
等腰三角形包含等边三角形，三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形．分清等腰三角形和等边三角形的关系是解题关键．
【点拨】
如图，过A、B、C、D、E五个点中的三点画三角形．
(1)在图中画出以AB为边的三角形；
7
解：所画三角形如图所示．
(2)量一量，说出(1)中所画的等腰三角形和不等边三角形．
解：等腰三角形有△ABD，不等边三角形有 △ABC，△ABE.
8
如图，第1个图形是一个三角形，分别连结这个三角形三条边的中点得到第2个图形，再分别连结第2个图形中间的小三角形三条边的中点得到第3个图形……按此方法继续下去，请你根据每个图形中三角形的个数的规律，完成下列问题：
(1)将下表填写完整：
图形序号 1 2 3 4 5 …
三角形的个数 1 5 9 …
13
17
(2)第n个图形中有________个三角形(用含n的式子表 示)．
(4n－3)
分析图形，知第2个图形在第1个图形的基础上增加了4个三角形，第3个图形在第2个图形的基础上又增加了4个三角形，以此类推，每操作一次，增加4个三角形，因此第4个图形比第3个图形多4个三角形，即9＋4＝13(个)；第5个图形比第4个图形多4个三角形，即13＋4＝17(个)．第n个图形比第1个图形多4(n－1)个三角形，即第n个图形中有4(n－1)＋1
【点拨】
＝4n－3(个)三角形．(共20张PPT)
多边形的外角和
华师版 七年级下
第9章多边形
9.2.2
C
1
2
3
4
5
C
6
B
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B
7
8
9
C
B
A
10
B
【中考 北京】正五边形的外角和为( )
A．180° B．360° C．540° D．720°
B
1
【2021 襄阳】正多边形的一个外角等于60°，则这个多边形的边数是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
2
B
【中考 德州】如图，小明从A点出发，沿直线前进8 m后向左转45°，再沿直线前进8 m，又向左转45°，…，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时，一共走的路程为( )
A．80 m
B．96 m
C．64 m
D．48 m
3
C
【教材P87例4变式】【中考 西藏】一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
4
C
【中考 咸宁】若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为( )
A．45° B．60° C．72° D．90°
5
C
【中考·眉山】一副三角尺如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为( )
A．∠α＋∠β＝180° B．∠α＋∠β＝225°
C．∠α＋∠β＝270° D．∠α＝∠β
6
B
【点拨】
如图，∵∠1＝∠α，∠2＝∠β，
∠A＋∠1＋∠C＋∠2＝360°，
∴∠α＋∠β＝∠1＋∠2＝360°－90°－45°＝225°.
7
【中考 宜昌】游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：如图，从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是( )
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走
B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走
D．每段直路要长
A
根据题意可得行走路线是正五边形，再根据正五边形的每个外角等于72°即可判断．
【点拨】
8
小范将几张六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是( )
B
由新多边形的内角和是其外角和的2倍，可得内角和为360°×2＝720°，进而得到新多边形的边数为6.对照各选项进行判断即可．
【点拨】
9
多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1 350°.
(1)求此多边形的边数；
(2)此多边形有一个内角的度数是确定的，为多少度？
解：由(1)知此多边形确定的内角的度数为180°－90°＝90°.
【2021 山东实验中学月考】(1)如图①②，试探究∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；
10
解：设∠1的邻补角为∠5，∠2的邻补角为∠6.
∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.
∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)．
∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)．
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.
(2)请你用文字描述上述关系；
解：在一个四边形中，两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和．
(3)用你发现的结论解决问题：如图③，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．
解：∵∠B＋∠C＝240°，
∴∠MDA＋∠NAD＝240°.(共28张PPT)
华师版 七年级下
第9章多边形
测素质
集训课堂
多边形及其内角和
A
C
1
2
3
4
5
D
D
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7
8
C
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9
C
10
11
12
B
B
60°
120°
27
72°
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答 案 呈 现
13
14
15
16
17
18
19
95°
45°
下列选项中的图形，不是凸多边形的是( )
1
A
从多边形的任意一个顶点出发可以画出4条对角线，则该多边形的边数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2
C
【中考 德阳】多边形的内角和不可能为( )
A．180° B．540° C．1 080° D．1 200°
3
D
【2021 毕节】若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为( )
A．540° B．720° C．900° D．1 080°
D
4
若一个正多边形的各个内角都为140°，则这个正多边形是( )
A．正七边形 B．正八边形
C．正九边形 D．正十边形
5
D
【教材P95复习题B组T11(2)变式】将一个n边形变成(n＋1)边形，内角和将( )
A．减少180° B．增加90°
C．增加180° D．增加360°
6
C
如图，已知正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝( )
A．36° B．54° C．60° D．72°
7
B
小明一笔画成了如图所示的图形，则∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数为( )
A．360° B．540° C．600° D．720°
8
B
【2021·上海虹口区模拟】如图，六边形ABCDEF是正六边形，那么∠α的度数是________．
9
60°
如图，五边形ABCDE的外角中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，则∠A的度数是________．
10
120°
从多边形的一个顶点所引的对角线把这个多边形分成7个三角形，则这个多边形共有________条对角线．
11
27
如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝________.
12
72°
如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝________.
13
95°
14
如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED＝________.
45°
(10分)已知一个多边形的内角和与外角和的和为
1 080°，且这个多边形的各个内角都相等，求这个多边形每个外角的度数．
15
解：设这个多边形是n边形．
根据题意，得(n－2)×180°＋360°＝1 080°，解得n＝6.
由这个多边形的各个内角都相等，可得每个外角都相等，为360°÷6＝60°.
16
(10分)如图，正五边形ABCDE中，连结AC.求证：AC∥DE.
17
(10分)如图是两个小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形的内角和．少加的内角为多少度？
证明：1 140°÷180°＝6……60°，
所以边数是6＋1＋2＝9.
所以他们是在求九边形的内角和．
因为180°－60°＝120°，
所以少加的那个内角为120°.
18
(10分)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
解：依题意，得(n－2)×180°＋360°＝(n＋x－2)×180°，
解得x＝2.
19
(12分)如图，从四边形ABCD中剪去一个三角形(只剪一刀)，剩余的部分是几边形？请画出示意图(边数相同的情况只需画一个示意图)，并写出剩余部分多边形的内角和．
莉莉的解法：剩余部分是三角形，其内角和为180°.
佳佳的解法：剩余部分是四边形，其内角和为360°.
请问莉莉和佳佳的解法是否正确？如果不正确，请写出正确解法．
解：莉莉和佳佳的解法不正确．正确解法如下：
如图①，剩余部分是三角形，其内角和为180°；
如图②，剩余部分是四边形，其内角和为360°；
如图③，剩余部分是五边形，其内角和为540°.(共15张PPT)
三角形的内角和与外角和
华师版 七年级下
第9章多边形
9.1.2
目标三 直角三角形角的性质
B
1
2
3
4
5
D
6
B
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C
7
8
9
A
C
D
1
如图，AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
【中考·淄博】如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
2
C
【2021·湖北】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
3
D
【中考·吉林】将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为( )
A．85° B．75° C．65° D．60°
4
B
如图所示．
∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，
∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝60°－45°＝15°.
∴∠α＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°.
【点拨】
已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上都有可能
5
C
6
D
7
【中考·玉林】如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A、B、C三岛组成一个( )
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
A
8
如图①，△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.
(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；
解：∠1＝∠2.理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴△ABD和△BCE都是直角三角形．
∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°.
∴∠1＝∠2.
(2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？请说明理由．
解：结论仍然成立．理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠D＝∠E＝90°.
∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.
∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.
9
(1)如图①，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中有与∠A相等的角吗？为什么？
解：有．理由：∵CD⊥AB，
∴∠B＋∠BCD＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠A＝90°.
∴∠BCD＝∠A.
(2)如图②，把图①中的D点向右移动，作ED⊥AB交BC于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？
解：有．理由：∵ED⊥AB，
∴∠B＋∠BED＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠A＝90°.
∴∠BED＝∠A.
(3)如图③，把图①中的D点向左移动，作ED⊥AB交BC的延长线于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？
解：有．理由：∵ED⊥AB，
∴∠B＋∠E＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠A＝90°.
∴∠E＝∠A.(共19张PPT)
练素养
华师版 七年级下
第9章多边形
集训课堂
1.三角形三边关系的六种常见类型
1
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5
6
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7
B
1
类型1 三角形三边关系在判断三条线段能否组成三角形中
的应用
B
【教材P82练习T1变式】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．4 cm、5 cm、9 cm B．8 cm、8 cm、15 cm
C．5 cm、5 cm、10 cm D．6 cm、7 cm、14 cm
2
在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12 cm和15 cm两部分，求△ABC各边的长．
显然此时三角形存在，所以三角形的三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm.
综上所述，△ABC的三边长分别为8 cm，8 cm，
11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.
3
类型2 三角形三边关系在求三角形第三边长的取值范
围中的应用
小明准备用长20 cm、90 cm、100 cm的三根木条钉成一个三角形架，由于不小心，将长100 cm的一根折去了一部分，怎么也钉不成三角形架．
(1)小明把长100 cm的木条至少折去了多长？
解：设把长100 cm的木条折去x cm，可以钉成三角形架，
则90－20＜100－x＜90＋20，
解得－10＜x＜30，则0＜x＜30.
所以把长100 cm的木条至少折去30 cm时，
钉不成三角形架．
即小明把长100 cm的木条至少折去了30 cm.
(2)如果把长100 cm的木条折去了40 cm，请你通过截木条的办法帮助小明钉一个三角形架．
解：100－40＝60(cm)．设将长90 cm的木条截去y cm
可以钉成三角形架，则60－20＜90－y＜60＋20，
解得10＜y＜50.
因此，将长90 cm的木条截去一段，使其截去长度
在10 cm～50 cm之间(不包括10 cm和50 cm)，
就能钉成三角形架．
4
类型3 三角形三边关系在求等腰三角形边长中的应用
【教材P82习题T1改编】已知等腰三角形的周长为21 cm.
(1)若腰长是底边长的3倍，求各边长；
解：设底边长为x cm，则腰长为3x cm.列方程，
得x＋3x＋3x＝21，解得x＝3，∴3x＝9.
∵3＋9＞9， ∴能构成三角形．
∴三角形的三边长分别是3 cm，9 cm，9 cm.
(2)若一边长为5 cm，求其他两边长．
5
类型4 三角形三边关系在判断三角形形状中的应用
【原创题】在平面内，分别用3根、5根、6根火柴棒首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下：
(1)用4根火柴棒能搭成三角形吗？
解：用4根火柴棒不能搭成三角形．
(2)用8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
解：用8根火柴棒能搭成一种三角形，示意图如图①所示；
用12根火柴棒能搭成三种不同形状的三角形，即：(4，4，4)，(5，5，2)，(3，4，5)，示意图如图②所示．
6
类型5 三角形三边关系在非负数中的应用
【中考·包头三十五中期中】已知a、b、c是△ABC的三边长，b、c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．
解：∵(b－2)2≥0，|c－3|≥0，且(b－2)2＋|c－3|＝0，
∴(b－2)2＝0，|c－3|＝0，
解得b＝2，c＝3.
由a为方程|x－4|＝2的解，可知a－4＝2或a－4＝－2，即a＝6或a＝2.
当a＝6时，有2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去；
当a＝2时，有2＋2＞3，符合三角形的三边关系．此时a＝2，b＝2，c＝3.
∴△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
7
类型6 三角形三边关系在证明线段的不等关系中的应用(共13张PPT)
三角形中的
三条主要线段
华师版 七年级下
第9章多边形
9.1.1.2
目标二 三角形的角平分线
C
1
2
3
4
5
B
6
D
答 案 呈 现
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C
7
8
A
B
1
D
2
如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD＝( )
A．30° B．45° C．20° D．60°
C
【中考·丹东】如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD∥AC交CO的延长线于点D，若∠A＝45°，∠AOD＝80°，则∠CBD的度数为( )
A．100° B．110°
C．125° D．135°
3
B
如图，AD、BE、CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列各式中错误的是( )
A．AE＝CE B．∠ADC＝90°
C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
4
C
如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )
A．75° B．80° C．85° D．90°
5
A
依据AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，即可得到∠BAD＝30°.依据∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，即可得到∠BAE＝25°，则∠EAD＝5°.又∠ACD＝180°－∠ABC－∠BAC＝70°，则∠EAD＋∠ACD＝75°.
【点拨】
以下说法正确的有( )
①三角形的中线、角平分线都是射线；
②三角形的三条高所在直线相交于一点；
③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点；
④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；
⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6
B
三角形的高、中线、角平分线都是线段，不是射线，故①错误，而②③④⑤正确，所以选B.
【点拨】
7
【2021·济南外国语中学期中】如图，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E.若∠EDA＝∠EAD，试说明：AD是△ABC的角平分线．
解：∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.
∵∠EDA＝∠EAD，∴∠CAD＝∠EAD.
∴AD是△ABC的角平分线．
8
如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E.若△ABC的面积为32，问：PD＋PE的值是否确定？若能确定，则PD＋PE的值是多少？若不能确定，请说明理由．(共27张PPT)
华师版 七年级下
第9章多边形
测素质
集训课堂
与三角形有关的线段和角
C
C
1
2
3
4
5
C
C
6
7
8
C
答 案 呈 现
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9
D
10
11
12
A
B
5 cm
110°
5
60°
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答 案 呈 现
13
14
15
16
17
18
19
45°
下列长度的三条线段，能构成三角形的是( )
A．1 cm，2 cm，3 cm B．1 cm，2 cm，4 cm
C．2 cm，2 cm，3 cm D．2 cm，6 cm，3 cm
1
C
在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是( )
2
C
如图，工人师傅砌门时，需要用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的依据是( )
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．三角形具有稳定性
D．长方形的四个角都是直角
3
C
【2021 盐城】将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为( )
A．45° B．60° C．75° D．105°
C
4
若一个三角形的三个内角度数的比为2?：7?：4，那么这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5
C
如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，∠A＝20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
6
D
7
A
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC的延长线于点M.已知∠ACB＝70°，∠B＝40°，则∠M的度数为( )
A．10° B．15° C．20° D．25°
8
B
已知三角形的两边长分别是2 cm和5 cm，第三边长是奇数，则第三边长是________．
9
5 cm
如图，△ABC中，高BD，CE交于点G，若∠A＝70°，则∠BGC＝________.
10
110°
如图，△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是20，则阴影部分的面积是________．
11
5
如图是某建筑工地上的人字架．已知∠1＝120°，那么∠3－∠2的度数为________．
12
60°
如图，∠1＝20°，∠2＝30°，∠BDC＝95°，则∠A的度数是________．
13
45°
14
若AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为____________．
90°或50°
如图，已知钝角三角形ABC.
(1)作钝角三角形ABC的高AM，CN；
15
解：如图，AM，CN为所作．
(2)若CN＝3，AM＝6，求BC与AB之比．
16
【中考 石家庄41中期末】如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝3 cm，S△ABC＝12 cm2.求BC和DC的长．
17
如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D.
(1)求证：∠ACD＝∠B；
证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，
∠B＋∠BCD＝90°.
∴∠ACD＝∠B.
(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.
解：在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF.在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE.∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE.∴∠AED＝∠CFE.
又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.
18
已知等腰三角形的周长是24 cm，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长的差是3 cm.求此等腰三角形各边的长．
19
在△ABC中，∠ACB为最大角且∠ACB≠90°，高BD和CE所在的直线交于点H.
(1) ∠BHC和∠A之间有什么数量关系？
解：当∠ACB＜90°时，△ABC为锐角三角形，如图①所示．
∵CE⊥AB， ∴∠ABD＋∠BHE＝90°.
∵BD⊥AC，∴∠ABD＋∠A＝90°.
∴∠A＝∠BHE. ∵∠BHC＋∠BHE＝180°，
∴∠BHC＋∠A＝180°；
当∠ACB＞90°时，△ABC为钝角三角形，如图②所示．
∵CE⊥AB，∴∠BHC＋∠ABD＝90°.
∵BD⊥AC，∴∠A＋∠ABD＝90°.
∴∠BHC＝∠A.
综上所述，
当∠ACB>90°时，∠BHC＝∠A；
当∠ACB<90°时，∠BHC＋∠A＝180°.
(2)探究归纳：非直角三角形的两条边上的高所在的直线所夹的角与第三边所对的角____________；
(3)模型应用：在钝角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD和CE所在的直线交于点H，则∠BHC的度数为________．
相等或互补
45°(共17张PPT)
三角形中的
三条主要线段
华师版 七年级下
第9章多边形
9.1.1.2
目标一 三角形的高、中线
C
1
2
3
4
5
D
6
C
答 案 呈 现
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C
7
8
9
10
A
B
A
6
C
1
画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是( )
如图，△ABC中AB边上的高线是( )
A．线段DA B．线段CA
C．线段CD D．线段BD
2
C
如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则图中可以作为三角形“高”的线段有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．5条
3
D
下列说法中正确的是( )
A．三角形的三条高都在三角形内
B．直角三角形只有一条高
C．锐角三角形的三条高都在三角形内
D．三角形每一边上的高都小于其他两边
4
C
若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是( )
A．AB＝BC B．BD＝DC
C．AD平分BC D．BC＝2DC
5
A
6
B
7
【沈阳实验中学期末】如图，已知P是△ABC的重心，连结AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为( )
A．10 B．8 C．6 D．5
A
因为P是△ABC的重心，所以AD是△ABC的中线．所以△ADC的面积等于△ABC面积的一半．又因为△ABC的面积为20，所以△ADC的面积为10.
【点拨】
8
如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有________个．
6
题图中所有三角形都可以以AD为高，即以AD为高的三角形有6个．本题容易忽视△AEC也是以AD为高的三角形．
【点拨】
9
如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线．
(1)作出△ABD的边BD上的高；
解：如图，AM为△ABD的边BD上的高．
(2)若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．
解：∵△ABD的面积为6，BD边上的高为3，∴BD＝6×2÷3＝4.
又∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BC＝2BD＝8.
如图所示，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：
(1)AD的长；
10
(2)△ABE的面积；
(3)△ACE和△ABE的周长的差．
解：∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝8－6＝2(cm)，即△ACE和△ABE的周长的差是2 cm.(共13张PPT)
三角形的内角和与外角和
华师版 七年级下
第9章多边形
9.1.2
目标二 三角形的内角和的应用
B
1
2
3
4
5
B
6
B
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C
7
【2021·宿迁】如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
1
B
【原创题】如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝( )
A．360° B．180° C．280° D．320°
2
C
如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，这个规律是( )
A．∠A＝∠1＋∠2
B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)
3
B
如图，墙上钉着三根木条a、b、c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a、b所在直线所夹的锐角是( )
A．5° B．10°
C．30° D．70°
4
B
如图，说明∠A＋∠B＋∠C与∠ADC之间的关系．
5
解：连结BD. ∵∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，
∠C＋∠DBC＋∠CDB＝180°，
∴∠A＋∠ABD＋∠ADB＋∠C＋∠DBC
＋∠CDB＝360°. 又∵∠ADB＋∠CDB＋∠ADC＝360°.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋360°－∠ADC＝360°.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝∠ADC.
本题图形是四边形，不是三角形．易错误地认为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°＞∠ADC.
【点拨】
【2021·泉州第五中学期末】当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数．
6
解：设三角形的三个内角分别为α，β，γ且α＝2β.
∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，
∴当α＝100°时，β＝50°，则γ＝30°.
∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.
(2)是否存在“特征角”为120°的“特征三角形”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．
解：不存在．理由如下：
∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，
∴当α＝120°时，β＝60°，则γ＝0°，此时不能构成三角形．∴不存在“特征角”为120°的“特征三角形”．
7
一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B和∠C应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC＝148°.判断这个零件是否合格，并说明理由．
解：这个零件不合格．理由：如图，连结BC.
∵∠A＝90°，
∴∠ACB＋∠ABC＝180°－90°＝90°.
∵∠BDC＝148°，
∴∠DCB＋∠DBC＝32°.
∴∠ABD＋∠ACD＝58°≠32°＋21°.
∴这个零件不合格．(共15张PPT)
三角形的三边关系
华师版 七年级下
第9章多边形
9.1.3
目标二 三角形的稳定性
1
2
3
4
5
B
6
D
答 案 呈 现
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A
7
8
9
A
B
C
1
下列图形中具有稳定性的是( )
A．梯形 B．长方形
C．平行四边形 D．钝角三角形
D
下列图形具有稳定性的是( )
2
A
【2021 重庆沙坪坝区模拟】下列图形中不具有稳定性的是( )
3
B
图①是将木条用钉子钉成的四边形和三角形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，写出其中所蕴含的数学原理：
_____________________________________.
4
三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性
如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( )
5
B
A．A、C两点之间
B．E、G两点之间
C．B、F两点之间
D．G、H两点之间
【点拨】
选项A，C，D中都构成了三角形，增加了稳定性；选项B中，木条钉在E，G两点之间，没有构成三角形．故选B.
在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是( )
6
C
7
【原创题】如图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，那么至少需要添加螺栓( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A
8
根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理：
(1)用两个钉子把木条固定在墙上；
(2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图①所示的样子；
解：两点确定一条直线．
解：三角形具有稳定性．
解：四边形具有不稳定性．
(3)如图②，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架．
9
如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？
(1)请完成下表：
2 3 n－3
(2)要使十二边形木架不变形，至少要钉______根木条；
9
21
(3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条才能使它不变形，则这个多边形的边数是________．(共16张PPT)
练素养
华师版 七年级下
第9章多边形
集训课堂
用转化思想求不规则图形的角度
1
2
3
4
5
6
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7
1
类型1 直接利用三角形外角性质进行转化
解：∵∠ENM＝∠B＋∠D，
∠EMN＝∠A＋∠C，
且∠ENM＋∠EMN＋∠E＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
【教材P88习题T2变式】如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
2
如图，求∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
解：∵∠BGF＝∠A＋∠ABC，
∠GBE＝∠C＋∠D，
且在四边形BGFE中，
∠GBE＋∠BGF＋∠F＋∠E＝360°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
3
如图①②，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
解：如图①，根据三角形外角的性质，
可得∠1＝∠A＋∠B，
∠2＝∠C＋∠D.
∵∠1＋∠2＋∠E＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
如图②，延长EA交CD于点F，设EA与BC交于点G.
根据三角形外角的性质，可得∠1＝∠D＋∠E，
∠2＝∠BAG＋∠B.
∵∠1＋∠2＋∠C＝180°，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
4
类型2 直接利用“8字形”公式进行转化
如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
解：如图，连结BC.
在△DEF和△BCF中，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠D＋∠E＝∠FBC＋∠FCB.
∵∠A＋∠ABE＋∠FBC＋∠FCB＋∠ACD＝180°，
∴∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠D＋∠E＝180°.
5
如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
解：如图所示．
∵∠A＋∠B＝∠2＋∠3，∠C＋∠D＝∠1＋∠3，∠E＋∠F＝∠1＋∠2，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2(∠1＋∠2＋∠3)＝2×180°＝360°.
6
如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
解：如图，连结AB.
∵∠3＝∠4，
∴∠1＋∠2＝∠C＋∠F.
∴∠EAC＋∠DBF＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝∠EAC＋∠DBF＋∠D＋∠E＋∠1＋∠2＝∠EAB＋∠ABD＋∠D＋∠E＝360°.
7
【原创题】如图，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．
(1)图中共有________个“8字形”；
6
(2)若∠B?:∠D?:∠F＝4?:6?:x，
求x的值．
解：∵EF平分∠BED，CF平分∠BCD，
∴∠DEG＝∠AEG，∠ACH＝∠BCH.
∵在△DGE和△FGC中，∠DGE＝∠FGC，
∴∠D＋∠DEG＝∠F＋∠ACH.
∵在△BHC和△FHE中，∠BHC＝∠FHE，
∴∠B＋∠BCH＝∠F＋∠AEG.
∴∠D＋∠DEG＋∠B＋∠BCH＝∠F＋∠ACH＋∠F＋∠AEG.
∴∠D＋∠B＝2∠F.
∵∠B?：∠D?：∠F＝4?：6?：x，
∴10＝2x，则x＝5.(共23张PPT)
练素养
华师版 七年级下
第9章多边形
集训课堂
2.三角形角的关系的八种常见题型
1
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7
8
1
解：∵FD∥EC，∠D＝42°，∴∠BCE＝∠D＝42°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠BCE＝84°.
又∵∠A＝46°，∴∠B＝180°
－∠ACB－∠A＝180°－84°－46°＝50°.
如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，点B、C、D在同一条直线上，FD∥EC，∠D＝42°.求∠B的度数．
2
(1)如图①，有一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上，恰好三角尺XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C.△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝________，∠XBC＋∠XCB＝________.
150°
90°
(2)如图②，改变直角三角尺XYZ的位置，使三角尺XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．
解:不变化．
∵∠A＝30°，∴∠ABC＋∠ACB＝150°.
∵∠X＝90°，
∴∠XBC＋∠XCB＝90°.
∴∠ABX＋∠ACX＝(∠ABC－∠XBC)＋(∠ACB－∠XCB)＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝150°－90°＝60°.
3
如图，在△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．
(1)若∠A＝60°，求∠BPC的度数；
4
如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数．
解：连结CG，DF.
∵∠COG＝∠AOB，
∴∠6＋∠7＝∠OCG＋∠OGC.
∵在四边形CDFG中，∠OCG＋∠2＋∠CDF＋∠DFG＋∠3＋∠OGC＝360°，
∴∠2＋∠3＋∠6＋∠7＋∠CDF＋∠DFG＝360°.
又∵在△DEF中，∠EDF＋∠EFD＋∠5＝180°，∴∠EDF＋∠CDF＋∠EFD＋∠DFG＋∠2＋∠3＋∠5＋∠6＋∠7＝540°，
即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝540°.
连结CG，DF，利用转化思想，将求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的和转化为求四边形CDFG的内角和与△DEF的内角和之和．
【点拨】
5
如图，在△ABC中，点O是外角∠DBC的平分线与外角∠ECB的平分线的交点．判断∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由．
6
【原创题】探索归纳：
(1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2等于( )
A．90° B．135° C．270° D．315°
C
解：∠1＋∠2＝∠A＋180°.理由如下：
∵∠1，∠2为△AEF的外角，
∴∠1＝∠A＋∠AEF，
∠2＝∠A＋∠AFE.
(2)如图②，已知在△ABC中，剪去∠A后得到四边形BCEF，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由；
∴∠1＋∠2＝∠A＋∠A＋∠AEF＋∠AFE.
又∵∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°，
∴∠1＋∠2＝∠A＋180°.
解：∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：
∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF.
∴∠1＝180°－2∠AFE，
(3)若没有将∠A剪掉，而是把它按如图③的方式折叠，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由．
∠2＝180°－2∠AEF.
∴∠1＋∠2＝360°－2(∠AFE＋∠AEF)．
又∵∠AFE＋∠AEF＝180°－∠A，
∴∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A.
7
如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.
(1)求证：∠EAC＝∠B；
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B.
(2)若∠B＝50°，∠CAD?：∠E＝1?：3，求∠E的度数．
解：设∠CAD＝x，则∠E＝3x.
∵∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝x＋50°.
在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，
∴3x＋2(x＋50°)＝180°，解得x＝16°.
∴3x＝48°，即∠E＝48°.
8
【2021·衡水第五中学月考】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点D是外角∠ACH的平分线与内角∠ABC的平分线的交点，∠BOC＝120°.
(1)求∠A的度数；
解：∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC＋∠OCB＝60°.
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABC＋∠ACB＝2∠OBC＋2∠OCB＝2(∠OBC＋∠OCB)＝120°.∴∠A＝60°.
(2)求∠D的度数．(共16张PPT)
用正多边形铺设地面
华师版 七年级下
第9章多边形
9.3
B
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C
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D
C
用一种大小相同的正多边形能密铺的条件是( )
A．内角的度数都是整数 B．边数是3的整数倍
C．内角能整除180° D．内角能整除360°
D
1
【2021 铜仁】用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌？( )
A．等边三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
2
C
用一批相同的正六边形地砖密铺地面，每个顶点处的正六边形地砖有( )
A．2块 B．3块 C．4块 D．6块
3
B
【教材P91习题T1(1)变式】只用一种正多边形可以密铺的是( )
A．正五边形 B．正六边形
C．正八边形 D．正十边形
4
B
用几种正多边形能密铺的条件是围绕一点拼在一起的几个正多边形各内角的和恰好是( )
A．45° B．90° C．180° D．360°
5
D
下列图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的是( )
6
D
【点拨】
A是由正六边形和正三角形镶嵌而成的；B是由正方形和正三角形镶嵌而成的；C是由正八边形和正方形镶嵌而成的；D是由正三角形、正方形、正六边形镶嵌而成的．故选D.
7
小李家铺地面，已有正三角形的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，用这两种地砖铺地面，则小李不应购买的地砖形状是( )
A．正方形
B．正六边形
C．正八边形
D．正十二边形
C
【点拨】
正三角形的每个内角为60°.因为60°与135°的组合不能构成360°，所以小李不应购买正八边形的地砖．
8
如图，用三种正多边形A、B、C密铺地面，其中A为正六边形，C为正方形，请通过计算求出正多边形B的边数．
解：设正多边形B的一个内角为x°，则有120＋90＋x＝360，∴x＝150，∴正多边形B的边数为360°÷(180°－150°)＝12.
9
某校学习小组在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：用2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图①②③，请你仿照此方法解决下面的问题：
(1)用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺，求出x和y的值．
解：依题意得60x＋90y＝360，化简得2x＋3y＝12，
∵x，y均为正整数，
∴x＝3，y＝2.
(2)按图④中给出的边长相等的正方形和正三角形画出一个密铺后图形的示意图．
解：如图．(答案不唯一)(共32张PPT)
全章热门考点整合应用
华师版 七年级下
第9章多边形
C
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1
如图，在△ABC中， D是BC边上一点，E是AD边上一点．
(1)以AC为边的三角形共有__________个，它们分别是______________________________；
(2)∠1是△________和△________的内角；
(3)在△ACE中，∠CAE的对边是________．
△ACE，△ACD，△ACB
BCE
CDE
CE
下列说法正确的是( )
A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D．连结多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
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C
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B
4
【合肥寿春中学期末】如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝54°，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为( )
A．8° B．10°
C．12° D．14°
A
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A
【原创题】生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，图①②都是由一副三角尺拼凑得到的．
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(1)求图①中∠AGD的度数；
解：∵∠BDF＝60°，∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝∠ADE－∠BDF＝90°－60°＝30°.
又∵∠E＝45°，∴∠AGD＝∠BDE＋∠E＝30°＋45°＝75°.
解：∵∠C＝30°，AE∥BC，
∴∠CAE＝∠C＝30°.
又∵∠E＝45°，∴∠AFD＝∠CAE＋∠E＝30°＋45°＝75°.
(2)在图②中，已知AE∥BC，求∠AFD的度数．
如图，在七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于点O.若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝225°，则∠BOD的度数为( )
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
8
B
延长BC交OD于点M，如图所示．
【点拨】
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC＋∠MCD＋∠CDM＝360°－225°＝135°.
又∵∠BOD＋∠OBC＋∠MCD＋∠CDM＝∠CMD＋∠MCD＋∠CDM＝180°，
∴∠BOD＝45°.
如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：(1)AD的长；
9
(2)△ABE的面积；
(3)△ACE和△ABE的周长的差．
解：∵BE＝CE，
∴△ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝8－6＝2(cm)，
即△ACE和△ABE的周长的差是2 cm.
【2021·沈阳尚品学校月考】如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，EF∥AD.
(1)求∠BAF的度数；
10
解：∵∠BAF＝∠B＋∠C，
∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAF＝110°.
(2)求∠F的度数．
11
一名同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1 125°，当发现错了以后，重新检查，发现少算一个内角，问：这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
解：设此多边形的内角和为x°，则有1 125°＜x°
＜1 125°＋180°，即180°×6＋45°＜x°＜180°
×7＋45°.
因为x°为多边形的内角和，
所以它应为180°的倍数，即180°×7＝1 260°.
所以漏加的内角的度数为1 260°－1 125°＝135°.
多边形的边数是7＋2＝9，即他求的是九边形的内角和．
如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，且AB＝3，BC＝6，则CE与AD有怎样的数量关系？
12
13
如图所示的模板，按规定AB，CD的延长线相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，但工人师傅测得∠BAE＝122°，∠DCF＝155°，此时AB、CD的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？
解：不符合规定，理由如下：
如图，延长AB，CD相交于点G.
∵多边形AEFCG为五边形，
∴∠G＝(5－2)×180°－90°－90°－122°－155°＝83°≠80°.
∴不符合规定．
14
三角形没有对角线，四边形ABCD有2条对角线AC和BD(如图①)，五边形ABCDE有5条对角线AC、AD、BE、BD、CE(如图②)．想一想：六边形(如图③)有几条对角线？n边形有几条对角线？
小明和小红在一本数学资料书上看到这样一道竞赛题：已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且|b＋c－2a|＋(b＋c－5)2＝0，求b的取值范围．
15
(1)小明说：“b的取值范围，我看不出如何求，但我能求出a的长度．”请帮小明写出过程．
(2)小红说：“我也看不出如何求b的取值范围，但我能用含b的式子表示c.”请帮小红写出过程．
解：∵|b＋c－2a|＋(b＋c－5)2＝0，
∴b＋c－2a＝0且b＋c－5＝0.
由b＋c－5＝0，得c＝5－b.
(3)小明和小红一起去问数学老师，老师说：“根据你们两人的求解过程，利用书上三角形的三边满足的关系，即可求出答案．”请写出过程．(共13张PPT)
三角形的内角和与外角和
华师版 七年级下
第9章多边形
9.1.2
目标一 三角形的内角和
D
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A
【原创题】如图①②③④所示的四种方法中，能成为证明三角形内角和定理思路的是( )
A．①②③④ B．①③ C．③④ D．①②
1
B
2
【2021·梧州】在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于( )
A．32° B．36° C．40° D．128°
A
【中考·大连】如图，在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
3
D
【中考 深圳】如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2的大小是( )
A．40° B．60° C．70° D．80°
4
D
如图，△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( )
A．85° B．80°
C．75° D．70°
5
A
【2021·贵阳十七中月考】∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求未知角的度数：
(1)∠A＝80°，∠B＝∠C；
6
(2)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
解：设∠A＝x，则∠B＝x－16°.
由题意得x＋x－16°＋54°＝180°，
解得x＝71°.
∴∠A＝71°，∠B＝71°－16°＝55°.
(3)∠A?：∠B?：∠C＝3?：4?：5.
解：设∠A＝3x，则∠B＝4x，
∠C＝5x.
由题意得3x＋4x＋5x＝180°，
解得x＝15°.
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°.
7
如图①，线段AB与CD相交于点O，连结AD、CB.如图②，在图①的条件下，∠DAB的平分线AP和∠BCD的平分线CP相交于点P，并且AP交CD于点M，CP交AB于点N，试解答下列问题：
(1)在图①中，∠A、∠B、∠C、∠D之
间的数量关系为______________________；
∠A＋∠D＝∠B＋∠C
(2)在图②中，若∠D＝42°，∠B＝38°，试求∠P的度数．
解：根据(1)可知，∠1＋∠2＋∠D＝∠3＋∠4＋∠B.
同理，∠1＋∠D＝∠3＋∠P.
∵AP，CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴2∠1＋∠D＝2∠3＋∠B.(共16张PPT)
多边形的内角和
华师版 七年级下
第9章多边形
9.2.1
目标一 多边形
C
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C
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D
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C
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D
C
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【原创题】下列图形中不是凸多边形的是( )
对于多边形的外角，最准确的叙述是( )
A．外角是内角的对顶角
B．外角是内角的邻角
C．外角是与内角有公共顶点的角
D．外角是内角的邻补角
2
D
在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，则凸十边形的对角线有( )
A．29条 B．32条 C．35条 D．38条
3
C
从六边形的一个顶点出发，可以画出x条对角线，它们将六边形分成y个三角形，则x，y的值分别为( )
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
4
C
下列说法不正确的是( )
A．正多边形的各边都相等
B．正多边形的各内角都相等
C．正四边形就是长方形
D．正三角形就是等边三角形
5
C
如图，把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6
D
【点拨】
7
将一个正方形桌面砍下一个角后，桌面剩下的角的个数是( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．3个或4个或5个
D
如图所示．
由图可知，桌面剩下的角的个数是3个或4个或5个．
【点拨】
8
有一根长为32 cm的铁丝，按下列要求，弯成一个长方形或正方形，请分别计算它们的面积：
(1)长为10 cm，宽为6 cm的长方形；
解：10×6＝60(cm2)
(2)长为9 cm，宽为7 cm的长方形；
解：9×7＝63(cm2)
(3)边长为8 cm的正方形．
你发现在长与宽的变化过程中，其面积变化有什么规律？根据这一规律，请写出将总长为100 m的篱笆围成一个面积最大的长方形或正方形的围法．
解：8×8＝64(cm2)．
随着长与宽的差越来越小，其面积越来越大．
将总长为100 m的篱笆围成一个边长为25 m的正方形．
9
【2021·成都石室联合中学月考】(1)如图①，O为四边形ABCD内一点，连结OA、OB、OC、OD，可以得到几个三角形？它与四边形ABCD的边数有何关系？
解：4个，与四边形ABCD的边数相等．
(2)如图②，点O在五边形ABCDE的AB边上，连结OC、OD、OE，可以得到几个三角形？它与五边形ABCDE的边数有何关系？
解：4个，比五边形ABCDE的边数少1.
(3)如图③，过点A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与六边形ABCDEF的边数有何关系？
解：4个，比六边形ABCDEF的边数少2.(共16张PPT)
多边形的内角和
华师版 七年级下
第9章多边形
9.2.1
目标二 多边形的内角和
C
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C
答 案 呈 现
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D
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A
C
D
【教材P85例1变式】【2021 云南】一个十边形的内角和等于( )
A．1 800° B．1 660°
C．1 440° D．1 200°
C
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【教材P85例2变式】【2021 常德】一个多边形的内角和为1 800°，则这个多边形的边数为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
2
D
【中考·岳阳】如图，DA⊥AB，CD⊥DA，若∠B＝56°，则∠C的度数是( )
A．154°
B．144°
C．134°
D．124°
3
D
若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是( )
A．7 B．10 C．35 D．70
4
C
【2021 常州第二十四中学月考】把一张多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数不可能是( )
A．16 B．17 C．18 D．19
5
A
如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是( )
A．360°
B．540°
C．630°
D．720°
6
A
【点拨】
一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180°整除，所以两个多边形的内角和的和也能被180°整除．分析四个选项，只有630°不能被180°整除，所以a＋b不可能是630°.
7
一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为( )
A．7 B．7或8
C．8或9 D．7或8或9
D
设内角和为1 080°的多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝1 080°，解得n＝8.一个多边形切去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，也可能不变，所以原多边形的边数为7或8或9.
【点拨】
8
(1)一个n边形，除了一个内角外，其余(n－1)个内角的和为2 770°，求这个内角的度数．
解：设这个内角的度数为x，
则(n－2)×180°－x＝2 770°，
即180°·n＝3 130°＋x.
∵n为正整数，0°＜x＜180°，∴n＝18.
∴这个内角的度数为180°×(18－2)－2 770°＝110°.
(2)小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1 380°，则这个多边形的边数n是多少？多加的这个内角度数是多少？
解：设多加的这个内角度数为α，
则(n－2)·180°＝1 380°－α.
∵1380°＝7×180°＋120°，多边形的内角和应是180°的倍数，
∴n＝9，α＝120°.
答：这个多边形的边数n是9，多加的这个内角度数是120°.
9
在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；
(2)如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数．
解：∵BE∥AD，∠D＝80°，∠A＝140°，
∴∠BEC＝∠D＝80°，∠ABE＝180°
－∠A＝180°－140°＝40°.
又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°.
∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－40°－80°＝60°.
