高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义课件 (共27张PPT)

(共27张PPT)
为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.
牛顿（Isaac Newton，1643年－1727年），英国物理学家、数学家.
莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家.
微积分主要与四类问题的处理相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；
二、求曲线的切线；
三、求已知函数的最大值与最小值；
四、求长度、面积、体积和重心等.
导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具.
5.1.1 变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化
的快慢程度．
问题1：高台跳水运动员的速度
在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11
如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？
直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快.
问题1：高台跳水运动员的速度
在0≤t≤0.5这段时间里，
在1≤t≤2这段时间里，
问题1：高台跳水运动员的速度
在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11
如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？
问题(1)：如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？
问题1：高台跳水运动员的速度
在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11
如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？
问题(2)：如何求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度？
注：运动员的平均速度，只关注了从初始到终止这个时间段的情况，忽略了中间运动过程，因此不能准确刻画运动员的运动状态.
瞬时速度
问题1：高台跳水运动员的速度
在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11
如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？
问题(4)：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1时的瞬时速度吗？
平均速度
瞬时速度v(t0)
问题1：高台跳水运动员的速度
在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11
如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？
问题1：高台跳水运动员的速度
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11
为了求运动员在t=1时的瞬时速度，我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+△t，△t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当△t >0时，1+△t在1之后；当Δt <0时，1+△t在1之前.
Δt<0 Δt>0
-0.01 -4.951 0.01 -5.049
-0.001 -4.9951 0.001 -5.0049
-0.0001 -4.99951 0.0001 -5.00049
-0.00001 -4.999951 0.00001 -5.000049
-0.000001 -4.9999951 0.000001 -5.0000049
无论Δt的正负，只要无限趋近于0，也就是时间间隔不断变小，平均速度都无限趋近于－5.
因此，运动员在t=1时的瞬时速度v(1)=-5m/s.
问题(5)：你能用上述方法，计算当t＝2s 时的瞬时速度吗？
解：因为h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以运动员在时间段[2，2＋Δt]（或[2＋Δt ，2]）的平均速度为
问题1：高台跳水运动员的速度
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11
5.1.2 导数的概念及其几何意义
1.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度
2.抛物线的割线及切线的斜率
一、回顾旧知
都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法
1.函数的平均变化率
2.导数
说明：
（1）函数
在点
处可导，是指
时，
有极限．如果
不存在极限，就说函数在
处不可导，或说无导数．
点
是自变量x在
处的改变量，
，而
是函数值的改变量，可以是零．
（2）
例1：
解:
(1)求平均变化率：
(2)取极限，得导数：
例2：将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同
产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第
时，原油的温度（单位：℃）为
计算第2 h和第6 h，原油温度的瞬时变化率，
并说明它们的意义。
解：
例3：
解:
1.导数的定义
课堂小结：
请看课本P66：练习第2、4题
(1)求平均变化率：
(2)取极限，得导数：
观察函数y=f(x)的图象，平均变化率
表示什么
O
A
B
x
y
y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x2－x1
f(x2) －f(x1)
直线AB的斜率
思考
△x
△y
C
(x2 , y2)
(x1 , y1)
(x2 , y1)
=△x
=△y
|AC|=
|BC|=
曲线越“平缓”，说明变量变化越
f(x2)－f(x1)
x2－x1
y
x
0
曲线越“陡峭”，说明变量变化越 ；
2.平均变化率的几何意义：
过曲线上A、B两点的直线的斜率.
3.用平均变化率来近似地量化曲线在某区间上的陡峭程度
f(x2)－f(x1)
x2－x1
快
慢 .
1.一般地，函数
在区间 上的平均变化率为
△y
△x
C
平均变化率
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
我们发现，当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α，那么当Δx→0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.
f(x2)－f(x1)
x2－x1
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.
用导数求切线方程的步骤：
（1）求出函数在x=x0处的导数 ，得到曲线在点(x0，f(x0))的切线的斜率。
（2）由直线的点斜式写出切线方程
请看课本P70：练习第3题
3.求曲线y＝－2x2＋1在点(1，－1)处的切线方程.