2022年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(一）（Word含答案）

2022年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(一）
(时间：90分钟　满分：150分)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题6分，共90分)
1.已知集合U＝{1，2，3，4，6，8}，A＝{1，3，6}，B＝{1，4，6，8}，则( UA)∪B等于(　　)
A.{1，2，8} B.{1，4，8} C.{1，2，4，6，8} D.{1，4，5，6，8}
2.若sin αcos α<0，则α在(　　)
A.第一或第二象限 B.第一或第三象限
C.第二或第三象限 D.第二或第四象限
3.下列函数中，在其定义域内是减函数的是(　　)
A.f(x)＝－x2＋x＋1 B.f(x)＝
C.f(x)＝log0.3 x D.f(x)＝ln x
4.在区间[0，4]上任取一个实数x，则x>3的概率是(　　)
A.0.25 B.0.5
C.0.6 D.0.75
5.已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)
A. B.4
C. D.
6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C与DB的位置关系为(　　)
A.平行 B.相交 C.异面但不垂直 D.异面且垂直
7.已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝sin ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝2，C＝120°，则c＝(　　)
A.7 B.19
C. D.
9.要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是(　　)
A.(1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法 B.(1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法
C.(1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法 D.(1)(2)都用分层抽样法
10.若a＝log22，b＝log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.cC.a11.等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么{an}的前7项和S7＝( )
A.22 B.24
C.26 D.28
12.已知向量＝(1，2)，＝(－3，－6)，若＝λ，则实数λ的值为(　　)
A. B.3 C.－ D.－3
13.数列{an}是公差不为零的等差数列，若a1，a2，a4构成公比为q的等比数列，则q=(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
14.若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)
A.－1 B.1
C.3 D.－3
15.数列{an}前n项和为Sn，且a1＝－10，an＋1＝an＋3(n∈N*)，则Sn取最小值时，n的值是(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
二、填空题(把答案填在题中的横线上，每小题6分，共24分)
16.已知tan α＝2，则的值为________
17.若f(x)＝x2＋(m＋1)x＋(m＋1)图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是________(用区间表示)．
18.设f(x)＝则f(f(－2))＝________
19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝1，则侧棱PC＝__________
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤，每小题12分，共36分)
20.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c·cos B－b＝2a.
(1)求角C的大小；(2)设角A的平分线交BC于D，且AD＝，若b＝，求△ABC的面积．
21.已知圆C经过A(3，2)、B(1，6)两点，且圆心在直线y＝2x上．
(1)求圆C的方程；(2)若直线l经过点P(－1，3)且与圆C相切，求直线l的方程．
22.已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求证：数列{an＋3}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
2022年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(一）（参考答案）
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题6分，共90分)
1-5：CDCAC ， 6-10：DBDCA， 11-15：DDBBB
1.解析：因为 UA＝{2，4，8}，所以( UA)∪B＝{1，2，4，6，8}．
2.解析：因为sin αcos α<0，所以或所以α为第二或第四象限角．故选D.
4. 解析：几何概率x>3的概率是＝，故选A.
5.解析：∵两直线平行，∴－＝－，∴m＝4，∴两直线分别为3x＋2y－3＝0，6x＋4y＋1＝0，∴d＝＝＝
6.解析：因为BD⊥面AA1C，A1C 面AA1C，所以BD⊥A1C，所以BD与A1C异面且垂直．故选D.
7.解析：∵周期为π，∴＝π，∴ω＝2.
∵f＝sin[2＋]＝sin 2x，∴y＝f(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象．故选B.
8.解析：由余弦定理得因为c2＝a2＋b2－2abcos C，所以c2＝32＋22－2×3×2×＝13＋6＝19.所以c＝.故选D.
9.解析：根据简单随机抽样及分层抽样的特点，可知(1)应用分层抽样法，(2)应用简单随机抽样法．故选C.
10.解析：因为a＝log22＝1，b＝log23>log22＝1，c＝log3211.解析：因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12, 所以3a4＝a3＋a4＋a5＝12，解得a4＝4，所以S7＝＝＝7a4＝28.
12.解析：因为＝λ，所以(－3，－6)＝λ(1，2)，所以λ＝－3，故选D.
13.解析：因为(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，所以a1d－d2＝0，所以a1＝d，所以a2＝a1＋d＝2a1，所以q＝＝2，故选B.
14.解析：由题得圆心为(－1，2)，代入直线方程得a＝1.
15.解析：在数列{an}中，由an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3(n∈N*), 所以数列{an}是公差为3的等差数列．
又a1＝－10，所以数列{an}是公差为3的递增等差数列．由an＝a1＋(n－1)d＝－10＋3(n－1)＝3n－13≥0，解得n≥.
因为n∈N*，所以数列{an}中从第五项开始为正值．所以当n＝4时，Sn取最小值．故选B.
二、填空题(把答案填在题中的横线上．每小题6分，共24分．)
16.答案：3
解析：＝＝3.
17.答案：(－1，3)
解析：依题意Δ＝(m＋1)2－4(m＋1)＝(m＋1)(m－3)<0 －118.答案：－2
解析：因为x＝－2<0，所以f(－2)＝10－2＝>0, 所以f(10－2)＝lg10－2＝－2，即f(f(－2))＝－2.
19.答案：
解析：连AC，在Rt△PAC中，PA＝1，AC＝，所以PC＝＝
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．每小题12分，共36分．)
20.解：(1)由已知及余弦定理得2c×＝2a＋b, 整理得a2＋b2－c2＝－ab, 所以cos C＝＝＝－，
又0(2)由(1)知C＝，依题意画出图形．在△ADC中，AC＝b＝，AD＝，
由正弦定理得sin ∠CDA＝＝×＝， 又△ADC中，C＝， 所以∠CDA＝， 故∠CAD＝π－－＝.
因为AD是角∠CAB的平分线， 所以∠CAB＝， 所以△ABC为等腰三角形，且BC＝AC＝.
所以△ABC的面积S＝BC·AC·sin ＝×××＝.
21.解：(1)解法一：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0), 依题意得，
解得a＝2，b＝4，r2＝5.所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝5.
解法二：因为A(3，2)、B(1，6)，所以线段AB中点D的坐标为(2，4), 直线AB的斜率kAB＝＝－2，
因此直线AB的垂直平分线l'的方程是y－4＝(x－2)，即x－2y＋6＝0.
圆心C的坐标是方程组的解．解此方程组，得即圆心C的坐标为(2，4)．
圆C的半径长r＝|AC|＝＝.所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝5.
(2) 由于直线l经过点P(－1，3),
当直线l的斜率不存在时，x＝－1与圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝5相离，不合题意．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y－3＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋3＝0.
因为直线l与圆C相切，且圆C的圆心为(2，4)，半径为，所以有＝.解得k＝2或k＝－.
所以直线l的方程为y－3＝2(x＋1)或y－3＝－(x＋1), 即2x－y＋5＝0或x＋2y－5＝0.
22.(1)证明：因为Sn＝2an－3n，①
所以n≥2时， Sn－1＝2an－1－3(n－1)，②
①－②得 Sn－Sn－1＝2an－2an－1－3，即an＝2an－2an－1－3，
所以an＝2an－1＋3， 所以an＋3＝2(an－1＋3) 所以＝2，
所以{an＋3}为以2为公比的等比数列，
因为2an－3n＝Sn，所以2a1－3＝S1＝a1，所以a1＝3.
所以an＋3＝6·2n－1，所以an＝3·2n－3.
(2)解：Sn＝(3·21－3)＋(3·22－3)＋…＋(3·2n－3)＝3(21＋…＋2n)－3n＝3·－3n＝6·2n－6－3n.
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