安徽省六安市皋城中学2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题(word解析版)

2021-2022学年安徽六安市皋城中学第一学期期末
九年级数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 关于抛物线图象的性质，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴
C. 顶点坐标是 D. 与轴没有交点
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A B. C. D.
3. 将二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（　　）
A. y＝x2﹣2x+3 B. y＝x2﹣2x+4 C. y＝x2+2x+3 D. y＝x2+2x+4
4. 如图，已知直线∥∥，直线、分别与直线、、交于点、、、、、，若＝3，＝8，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示，某游乐场一山顶滑梯高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长为 （ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知在△ABC中，AB＝14，BC＝12，AC＝10，D是AC上一点，过点D画一条直线l，把△ABC分成两部分，使其中的一个三角形与△ABC相似，这样的直线有几条（　　）
A. 2 B. 3 C. 3或4 D. 4
7. 如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）
A. 25° B. 50° C. 65° D. 75°
8. 如图，中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
9. 函数（其中）的图象与一次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图1，在等边三角形和矩形中，，点，，都在直线上，且于点，于点，且，，三点共线，将矩形以每秒1个单位长度的速度从左向右匀速运动，直至矩形和：无重叠部分；设矩形运动的时间为秒，矩形和重叠部分的面积为；图2为随的变化而变化的函数图象，则函数图象中点的纵坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
11. 若，则的值为________.
12. 已知反比例函数y＝在每个象限内y随x增大而减小，则m的取值范围是_____．
13. 如图，点、、在圆上，点是延长线上一点，若，则的度数为_____________．
14. 如图，矩形中，，，点为对角线上的一个动点，过点作交于．
（1）当时，的长为__________；
（2）长的最小值为__________．
三、简答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15.
16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点A以点为位似中心得到的．
（1）画出以点为位似中心的位似图形；
（2）与位似比为__________；
（3）的周长为__________．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 已知反比例函数的图象经过点．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）若点，是上述反比例函数图象上的点，且，试比较与的大小．
18. 已知抛物线（为常数）．
（1）若抛物线与轴只有一个公共点，求的值；
（2）点与在抛物线上，求的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：；（2）若，求MN长．
20. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身．
图1
（1）求的度数；
（2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）
六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21. 如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠P＝，AD＝6，求⊙O的半径．
22. 如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面米的A处飞出（A在轴上），运动员乙在距点米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约米高，球落地后又一次弹起，根据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
（2）足球第一次落地点距守门员多少米？
（3）运动员乙要抢到足球第二个落点，他应从处再向前跑多少米？
七、（本大题14分）
23. 已知平行四边形的顶点、分别在其的边、上，顶点、在其的对角线上．
图1 图2
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，，求值；
（3）如图1，当，，求时，求的值．
2021-2022学年安徽六安市皋城中学第一学期期末
九年级数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 关于抛物线图象的性质，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴
C. 顶点坐标是 D. 与轴没有交点
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的解析式可求得开口方向、对称轴及顶点坐标，可判断A、B、C，令y=0计算相应的一元二次方程的解即可判断D，则可求得答案．
【详解】∵y=-（x+2）2+6，
∴抛物线开口向下、对称轴为x=-2、顶点坐标为（-2，6），故A、B、C说法是正确的；
在y=-（x+2）2+6中，令y=0可得-（x+2）2+6=0，解得x=-2±，
∴抛物线与x轴有交点，
∴选项D的说法是错误的，
故选：D．
【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
3. 将二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（　　）
A. y＝x2﹣2x+3 B. y＝x2﹣2x+4 C. y＝x2+2x+3 D. y＝x2+2x+4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴该抛物线的顶点坐标是（1，0），
∴将二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向上平移3个单位长度，
向左平移2个单位长度得到抛物线的顶点坐标是（﹣1，3），
∴平移后的抛物线相应的函数表达式为：y＝（x+1）2+3，
即y＝x2+2x+4．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
4. 如图，已知直线∥∥，直线、分别与直线、、交于点、、、、、，若＝3，＝8，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先求出EF，再根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】∵DE=3，DF=8，
∴EF=DF-DE=5，
∵∥∥，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5. 如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知转化为解直角三角形问题，角α的正弦等于对边比斜边求出滑梯长l．
【详解】解：由已知得：，
∴，
故选A．
【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度较问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形．
6. 如图，已知在△ABC中，AB＝14，BC＝12，AC＝10，D是AC上一点，过点D画一条直线l，把△ABC分成两部分，使其中的一个三角形与△ABC相似，这样的直线有几条（　　）
A. 2 B. 3 C. 3或4 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】分别利用当DF∥BC时，当∠ADE=∠B时，当DN∥AB时，当∠CDM=∠B时求出相似三角形，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：当DF∥BC时，则△AFD∽△ABC，
当∠ADE=∠B时，则△ADE∽△ABC，
当DN∥AB时，则△CDN∽△CAB，
当∠CDM=∠B时，则△CDM∽△CBA．
这样的直线可以画4条．
故选择：D．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，利用分类讨论得出相似三角形是解题关键．
7. 如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）
A. 25° B. 50° C. 65° D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
详解】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC是解此题的关键．
8. 如图，中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接OD，BD，作OH⊥CD交CD于点H，首先根据勾股定理求出BC的长度，然后利用等面积法求出BD的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据30°角直角三角形的性质求出OH的长度，最后根据进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接OD，BD，作OH⊥CD交CD于点H
∵，，
∴在中，
∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆
∴是圆的直径，
∴
∴，即
解得：
又∵
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∵OH⊥CD
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了30°角直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
9. 函数（其中）的图象与一次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据二次函数的图象得出m、n的范围，再根据一次函数的图象得出m、n的范围，看看是否相同即可.
【详解】解：A、从y=-（x-m）（x-n）（其中m＜n）的图象可知：m＜0，n＞0，
从一次函数y=mx+n的图象可知：m＞0，n＞0，故两者不符合；故本选项不符合题意；
B、从y=-（x-m）（x-n）（其中m＜n）的图象可知：m＜0，n＞0，
从一次函数y=mx+n的图象可知：m＞0，n＞0，故两者不符合；故本选项不符合题意；
C、从y=-（x-m）（x-n）（其中m＜n）的图象可知：m＜0，n＞0，
从一次函数y=mx+n的图象可知：m＜0，n＞0，故本选项符合题意；
D、从y=-（x-m）（x-n）（其中m＜n）的图象可知：m＜0，n＞0，
从一次函数y=mx+n的图象可知：m＜0，n＜0；故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质等知识点，能根据图象得出m、n的范围是解此题的关键．
10. 如图1，在等边三角形和矩形中，，点，，都在直线上，且于点，于点，且，，三点共线，将矩形以每秒1个单位长度的速度从左向右匀速运动，直至矩形和：无重叠部分；设矩形运动的时间为秒，矩形和重叠部分的面积为；图2为随的变化而变化的函数图象，则函数图象中点的纵坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图2可知，矩形DEFG运动到第4秒和第6秒时，重叠部分的面积S与时间t的函数关系都发生改变，当矩形DEFG向右匀速运动到第4秒时，FG恰好经过点B；矩形DEFG向右匀速运动到第6秒时，DE恰好与CA重合．由此可得EF及AC边上的高；过点B作BM⊥CA于点M，交FG于点N，设AB与FG交于点P，BC与FG交于点Q，则此时S取得最大值，判定△BPQ∽△BAC，从而可得△BPQ与△BAC的面积比，再根据S=S梯形PQCA=S△BAC，计算出S的值，即为所求．
【详解】解：由图2可知，矩形DEFG运动到第4秒和第6秒时，重叠部分的面积S与时间t的函数关系都发生改变，
当矩形DEFG向右匀速运动到第4秒时，FG恰好经过点B；矩形DEFG向右匀速运动到第6秒时，DE恰好与CA重合．
∴EF=4，AC边上的高为6，
当矩形DEFG向右匀速运动到第6秒时，DE恰好与CA重合，过点B作BM⊥CA于点M，交FG于点N，
设AB与FG交于点P，BC与FG交于点Q，如解图所示，此时S取得最大值，
∴BM=6，NM=EF=4．
∴BN=2，AC=4，
在矩形FGCA中，FG∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴=．
∴S=S梯形PQCA=S△BAC=×AC×BM=．
∴点H的纵坐标是．
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合、分段讨论并熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11. 若，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意设y=3k，x=4k，然后代入所求式子进行计算即可．
【详解】∵，
∴设y=3k，x=4k，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用参数法解类似问题是解题的关键．
12. 已知反比例函数y＝在每个象限内y随x增大而减小，则m的取值范围是_____．
【答案】m＞4．
【解析】
【分析】根据反比例的性质，当系数k＞0时，图像在一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，当系数k＜0时，图像在二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，依次计算解决即可.
【详解】∵在反比例函数y＝图象的每个象限内，y随x的增大而减小，
∴m﹣4＞0，
解得m＞4．
故答案为：m＞4．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用反比例函数的性质解决系数问题，解决本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质.
13. 如图，点、、在圆上，点是延长线上一点，若，则的度数为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】设点E是优弧AB（不与A，B重合）上的一点，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角即可求得∠E，再利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：设点E是优弧AB（不与A，B重合）上的一点，连接AE、CE，
∵∠CBD=70°．
∴∠E=∠CBD=70°．
∴∠AOC=2∠E=140°．
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的外角等于它的内对角是解答此题的关键．
14. 如图，矩形中，，，点为对角线上的一个动点，过点作交于．
（1）当时，的长为__________；
（2）长的最小值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）连接AF交BD于点G，首先证明出，然后得到AF是BE的垂直平分线，得到，然后证明出，最后根据相似三角形的性质求解即可；
（2）根据题意得到当点F与点B重合时，EF长最小，根据勾股定理求出BD的长度，然后证明出，最后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图，连接AF交BD于点G，
∵四边形ABCD是矩形
∴
∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∵
∴AF是BE的垂直平分线
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
（2）如图，过点E作MN⊥BC，则MN⊥AD，
∵∠AEF=∠AME=∠FNE=90°，
∴∠FEN+∠AEM=∠MAE+∠AEM=90°，
∴∠FEN=∠MAE，
∴，
∴，
∵tan∠DBC=，
∴
∵
∴，
∴当最小时，EF长最小
∴当点F与点B重合时，EF长最小，
在矩形ABCD中
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，相似三角形的性质和判定以及勾股定理．
三、简答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15.
【答案】0
【解析】
【分析】根据代入计算即可．
【详解】
=
=0．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的各个三角函数值是运算的关键．
16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点A以点为位似中心得到的．
（1）画出以点为位似中心的位似图形；
（2）与的位似比为__________；
（3）的周长为__________．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据位似图形的性质求解即可；
（2）根据（1）画出的位似图形，即可求得与的位似比；
（3）根据勾股定理求出和的长度，即可求出的周长．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求：
【小问2详解】
解：∵
∴与的位似比为，
故答案为：．
【小问3详解】
解：根据勾股定理得，，
，
∴的周长＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了位似图形的性质和作图，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质和勾股定理．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 已知反比例函数的图象经过点．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）若点，是上述反比例函数图象上的点，且，试比较与的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法将点代入求解即可；
（2）首先根据反比例函数解析式确定函数图像在第一，三象限，然后根据增减性求解即可．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过点
∴将点代入得，，解得：
∴；
【小问2详解】
解：∵
∴反比例函数的图像在第一，三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵
∴．
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数表达式，反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求反比例函数表达式，反比例函数的图像和性质．
18. 已知抛物线（为常数）．
（1）若抛物线与轴只有一个公共点，求的值；
（2）点与在抛物线上，求的值．
【答案】（1）或；（2）4
【解析】
【分析】（1）根据题意得，即可求解；
（2）将P（1，b），Q（3，b）代入抛物线表达式，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得，解得或；
（2），抛物线上，
，解得：，
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：；（2）若，求MN的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可证即可证，由和勾股定理可求MC的长，通过证明，可得，即可求MN的长．
【详解】证明：（1）∵DB平分，
，且，
（2）
，且
，且，
，
且
【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
20. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身．
图1
（1）求的度数；
（2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）
【答案】（1）∠ABC的度数为113.6；（2）枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．理由见解析
【解析】
【分析】（1）过B作BK⊥MP于点K，在Rt△BMK中，利用三角形函数的定义求得∠BMK，即可求解；
（2）延长PM交FG于点H，∠NMH，在Rt△NMH中，利用三角形函数定义即可求得的长，比较即可判断．
【详解】解：（1）过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形，
∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)，
在Rt△BMK中，
，
∴∠BMK，
∴∠MBK=90-=236，
∴∠ABC=23.6+90=113.6，
答：∠ABC的度数为113.6；
（2）延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90，
∴∠BMN，∠BMK，
∴∠NMH，
在Rt△NMH中，
，
∴(cm)，
∴枪身端点A与小红额头的距离为(cm)，
∵，
∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21. 如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠P＝，AD＝6，求⊙O的半径．
【答案】（1）PC是⊙O的切线，见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．
（2）先利用锐角三角函数求出PD，进而求出AP，再由OC∥AD，推出，由此即可计算．
【详解】解：（1）结论：PC是⊙O的切线．
理由：连接OC．如图1，
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠CAB，
又∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥PD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴PC是⊙O的切线．
（2）在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=，
∴PD=，AP=10，
设半径为r，
∵OC∥AD，
∴，即，
解得r=，
故半径为．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、解直角三角形、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22. 如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面米的A处飞出（A在轴上），运动员乙在距点米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约米高，球落地后又一次弹起，根据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
（2）足球第一次落地点距守门员多少米？
（3）运动员乙要抢到足球第二个落点，他应从处再向前跑多少米？
【答案】（1）y=-（x-6）2+5
（2）足球第一次落地点C距守门员米
（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑米
【解析】
【分析】（1）由条件可以得出M（6，5），设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+5，由待定系数法求出其解即可；
（2）当y=0时代入（1）的解析式，求出x的值即可；
（3）根据题意得到CD=EF，由-（x-6）2+5=2求出EF的长度，就可以求出OD的值，进而得出结论．
【小问1详解】
解：根据题意，可设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a（x-6）2+5，
将点A（0，1）代入，得：36a+5=1，
解得：a=-，
∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式为y=-（x-6）2+5；
【小问2详解】
解：令y=0，得：-（x-6）2+5=0，
解得：x1=，x2=（舍去），
答：足球第一次落地点C距守门员米；
【小问3详解】
解：如图，足球第二次弹出后的距离为CD，
根据题意知CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），
∴-（x-6）2+5=2，
解得：x1=，x2=，
∴CD=x2-x1=，
∴BD=BC+CD==米，
答：运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑米．
【点睛】本题考查了运用顶点式及待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
七、（本大题14分）
23. 已知平行四边形的顶点、分别在其的边、上，顶点、在其的对角线上．
图1 图2
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，，求的值；
（3）如图1，当，，求时，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据四边形，四边形都是平行四边形，得到和，然后证明，即可证明出；
（2）作于M点，设，首先根据，证明出四边形和四边形都是矩形，然后根据同角的余角相等得到，然后根据同角的三角函数值相等得到，即可表示出BF和FH的长度，进而可求出的值；
（3）过点E作于M点，首先根据题意证明出，得到，，然后根据等腰三角形三线合一的性质得到，设，根据题意表示出，，过点E作，交BD于N，然后由证明出，设，根据相似三角形的性质得出，然后由30°角所对直角边是斜边的一半得到，进而得到，解方程求出，然后表示出，根据勾股定理得到EH和EF的长度，即可求出的值．
【小问1详解】
解：∵四边形EFGH是平行四边形
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
在和中
∴
∴
∴
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，作于M点，设
∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴四边形和四边形都是矩形
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
由（1）得：
∴
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，过点E作于M点
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵
∴，即
∵
∴
∴
∴
∴
设
∵
∴
∴
∴
由（1）得：
∴
∴
过点E作，交BD于N
∵
∴
∴
∴
设
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
解得：或（舍去）
∴
由勾股定理得：
∴．
【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，根据题意正确作出辅助线求解．