四川省凉山彝族自治州宁南县2021-2022学年高二下学期2月开学考试数学（理）试题（Word版含答案）

宁南县2021-2022学年高二下学期2月开学考试
理科数学试题
一、单选题（每题5分）
1．已知命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．“”是 “”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．执行如图所示的程序框图，输出的n值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．某集团校为调查学生对学校“延时服务”的满意率，想从全市3个分校区按学生数用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本．已知3个校区学生数之比为，如果最多的一个校区抽出的个体数是60，那么这个样本的容量为（ ）
A． B． C． D．
5．总体由编号为的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A．20 B．26 C．17 D．03
6．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：
①； ②；
③； ④.其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①③④
7．某工程队有卡车 挖掘机 吊车 混凝土搅拌车各一辆，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆，则不同的派法种数是（ ）
A．18 B．9 C．27 D．36
8．的展开式中的常数项是（ ）
A． B．20 C．120 D．
9．已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，为椭圆的左 右焦点，P为椭圆上一点，若，则P点的横坐标为（ ）
A． B． C．4 D．9
11．在长方体，=2，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线的焦点为，点．若线段与抛物线相交于点，则 （ ）
A． B． C． D．
填空题（每题5分）
13．已知圆关于直线对称，则________．
14．已知某个几何体的三视图如下所示：侧视图是边长为2的正方形，俯视图是半圆，则这个几何体的体积是___________.
15．已知，则的值为______．
16．已知双曲线的左焦点为，过点的直线与双曲线E的两条渐近线的交点M N位于y轴左侧，满足，，为坐标原点，则双曲线E的渐近线方程为______.
三、解答题（17题10分，18题——22题每题12分）
17．某公司为一所山区小学安装了价值万元的一台饮用水净化设备，每年都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费.下表是该公司第年为这台设备支出的年度保养维修费（单位：千元）的部分数据： 画出散点图如下：
通过计算得与的相关系数.由散点图和相关系数的值可知，与的线性相关程度很高.
（1）建立关于的线性回归方程；
（2）若设备年度保养维修费不超过万元就称该设备当年状态正常，根据（1）得到的线性回归方程，估计这台设备有多少年状态正常？
附：，.
18．已知锐角三角形中内角，，的对边分别是，，，且.
（1）求角；
（2）若，，求的面积.
19．如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，侧面底面ABC.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
20．已知等差数列的公差，前项和为，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．
22．已知抛物线经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点，定点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线的斜率为，求的面积；
（3）设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
宁南县2021-2022学年高二下学期2月开学考试
理科数学参考答案
1．D【解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
可得命题，的否定为，.
2．B【解】因为，所以，或，
所以“”是 “”的充分而不必要条件.
3．B【解】初始：，进入循环体，，因为不成立，
故，再进入循环体，，因为不成立，
故，再进入循环体，，因为成立，
所以退出循环体，输出，
4．B【解】因为样本容量为，且3个校区学生数之比为，最多的一个校区抽出的个体数是60，
所以，解得，
5．D【解】
已知选取方法为从第一行的第3列和第4列数字开始，由左到右一次选取两个数字，所以选取出来的数字分别为12（符合要求），13（符合要求），40（不合要求），33（不合要求），20（符合要求），38（不合要求），26（符合要求），13（与前面重复，不合要求），89（不合要求），51（不合要求），03（符合要求），故选出来的第5个个体的编号为03.
6．B【解】
因为直线平面，直线平面.
对于①，若，则，从而，①对；
对于②，若，则或，则与的位置关系不确定，②错；
对于③，若，则，因为，则，③对；
对于④，因为，，则或，则或、相交、重合，④错.故选：B.
7．D【解】先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，
则不同的派法共有（种）.故选：D
8．A【解】，
令，解得，所以的展开式中的常数项是.
9．C【解】设，则有①，②，
两式作差可得：，即，
又，故，，
所以，又，解得，故的方程为.
10．B【解】设，，
，
与椭圆联立，解得：，故选：B
11．A【解】如图，由题意可知DA，DC，两两垂直，则以D为原点，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，，，，
，，
从而，
故异面直线与所成角的余弦值是，故选：A.
12．A【解】线段 ．联立方程组 解得 ，所以 ,选A.
13．【解】1【解】由题意，圆心在直线上，则.
14．【解】由三视图可知：几何体为底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，
∴几何体的体积为：.
15． 【解】令带入等式两边可得，.
16．
【解】由上图可知，于是结合平方关系可求出，在中，由余弦定理 ，于是，于是注意到，则，又，则，下记，显然，于是，
，又，于是解得，即，
于是渐近线方程为.故答案为：.
17．【解】（1），
.
..
线性回归方程为.
（2）设这台设备有年状态正常，由已知得，即.
解得.估计该设备有年状态正常
18．【解】（1）由题设，，又，，
，即，解得或.
，，则或.又因为是在锐角三角形中
（2）当时，由余弦定理得：，化简得：，
，则.的面积为.
19．【解】（1）在侧面中，四边形为菱形，则对角线，
因侧面底面，，即，平面底面，
则侧面，又侧面，因此，，
又，则平面，而平面，
所以平面平面.
在中，，则，而是菱形，，
则为正三角形，
令，有O为中点，取中点E，连OE，则，
而侧面，必有侧面，
以O为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
又为平面的一个法向量，则，
所求二面角大小为，于是得，
所以二面角的正弦值为.
20.【解】（1）因为成等比数列，则，
即，化简得：，
，①又，则，即，②
联立①②解得：，.
（2）当时，
所以时，.
21.【解】（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以．
又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而．
所以椭圆的标准方程．
（2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为．
联立直线的方程与椭圆方程，
消去，得，其中．
设，，则，．
因为，所以
．
因此的值是．
22.【分析】（1）利用待定系数法，即可求出结果；
（2）求出直线的方程，将其与抛物线方程联立，由抛物线定义求出，再根据点到直线的距离公式，求出点到直线的距离，再根据面积公式即可求出结果.
（3）由题意，设，由于四边形是平行四边形，则，可得，将其代入抛物线方程，即可求出的值，即可求出点的坐标，并对其检验，即可得到结果.
（1）解：因为抛物线经过点，
所以，即，所以抛物线的方程为；
（2）解：由（1）可知，，所以直线的方程为,
联立方程组，可得，
设，所以，所以，
点到直线的距离为：，
所以的面积为；
（3）解：由题意，设，
又四边形是平行四边形，则，
所以，所以，即，
将点代入抛物线方程，可得，即，
解得或，所以或，
经检验，符合四边形是平行四边形.
所以直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形，此时或.