湖南省长沙市明德华兴中学2020-2021学年九年级下学期数学入学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·长沙开学考）的相反数是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数是.
故答案为：B.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．（2021九下·长沙开学考）为支持新冠疫情防控工作，全国已有数万名党员自愿捐款，共捐款47.3亿元.则47.3亿元可表示为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：47.3亿元可表示为元.
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
3．（2021九下·长沙开学考）下列等式成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的除法；平方差公式及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；
B、2a2和3a不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、a6÷a3=a6-3=a3，故本选项错误；
D、（a+4）（a-4）=a2-16，故本选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可判断A；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断B；根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断C；根据平方差公式“（a-b）（a+b）=a2-b2”可判断D.
4．（2021九下·长沙开学考）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：所给图形是直角梯形，绕直线l旋转一周，可以得到圆台.
故答案为：D.
【分析】直角梯形绕其垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，可以得到圆台，据此判断.
5．（2020九上·茌平期末）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）
A．“在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件
B．掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为
C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品
D．彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖
【答案】C
【知识点】概率的意义；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、“在地面向上抛石子后落在地上”是必然事件，故此选项不符合题意；
B、掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为 ，故此选项不符合题意；
C、在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品，符合题意；
D、彩票的中奖率为10%，则买100张彩票可能有10张中奖，故原说法不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据事件发生的可能性及随机事件的定义逐项判断即可。
6．（2016七下·蒙阴期中）若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，﹣1）
C．（﹣2，0） D．（﹣2，﹣1）
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（1﹣2，3﹣4），
即（﹣1，﹣1），
故选：B．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点B的坐标为（1﹣2，3﹣4），进而可得答案．
7．（2021九下·长沙开学考）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得x≥3，
解不等式②得x＞2，
所以不等式组的解集为x≥3，
在数轴表示为：
，
故答案为：C.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”取其公共部分即为不等式组的解集，最后根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来.
8．（2021九下·长沙开学考）如图，圆周角∠ACB的度数为48°，则圆心角∠AOB的度数为（ ）
A．48° B．24° C．36° D．96°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意得：圆周角∠ACB的度数为48°，
圆心角∠AOB的度数为48°×2=96°.
故答案为：D.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOB=2∠ACB，据此计算.
9．（2021九下·长沙开学考）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A．160m B．120m C．300m D．160m
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，
在Rt△ABD中，
求得BD=AD tan30°=120×=40m，
在Rt△ACD中，求得CD=AD tan60°=120×=120m，
所以BC=BD+CD=160m.
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，根据∠BAD的正切函数可得BD，根据∠CAD的正切函数可得CD，然后根据BC=BD+CD进行计算.
10．（2021九下·长沙开学考）在同一直角坐标系中，函数和函数（k是常数且 ）的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当k＞0时，一次函数过一、二、三象限，反比例函数过一、三象限；
当k＜0时，一次函数过一、二、四象限，反比例函数过二、四象限；
综上所述，只有B符合.
故答案为：B.
【分析】一次函数y=kx+1，当k>0时，图象过一、二、三象限；当k<0时，图象过一、二、四象限；
反比例函数y=，当k>0时，图象过一、三象限；当k<0时，图象过二、四象限，据此一一判断得出答案.
11．（2018·长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为： ×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三边的长，可得出此三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式即可解答。
12．（2021·内江模拟）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x 2时，y值随x值的增大而增大.记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若 ，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B． ≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，
，
由①得： ＜
由②得：
由③得：
解得： ＜3，
当对称轴是y轴时，
m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，
解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为 .
故答案为：A.
【分析】由题意可得：x=≤2，≥-3，然后分对称轴在y轴左侧、对称轴在y轴右侧、y轴为对称轴三种情况进行解答.
二、填空题
13．（2016·泸州）分解因式：2a2+4a+2= ．
【答案】2（a+1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2（a2+2a+1）
=2（a+1）2，
故答案为：2（a+1）2．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（2020七下·六盘水期末）一抹“凉都绿”，一杯生态茶.凉都茶叶因其得天独厚的生长条件，具有早采、富硒、有机的天然品质，凉都具备发展优质茶产业的先天地理优势，茶产业已成为六盘水农业特色产业之一，下表是我市某茶叶种植合作社脱贫攻坚期间茶树种植成活情况统计表：
种植茶树棵树 3000 5000 8000 10000 20000
成活棵树 2690 4507 7195 9003 17998
成活率 0.8967 0.9014 0.8993 0.9003 0.8999
根据这个表格，请估计这个合作社茶树种植成活的概率为 （结果保留一位小数）
【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种茶树种植成活的概率为0.9.
故答案为：0.9.
【分析】由频率估计概率的知识可得：次数越多的频率越接近于概率，据此解答.
15．（2021九下·长沙开学考）如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 .（结果保留π）
【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，
∴扇形的弧长==2π.
故答案为：2π.
【分析】直接根据弧长公式进行计算即可.
16．（2021九下·长沙开学考）分式方程的解为 .
【答案】x=－5
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母，得：5（x－2）=7x
5x－10=7x
－2x=10
解得：x=－5
经检验：x=－5是原方程的解.
故答案为：x=-5.
【分析】首先给方程两边同时乘以x(x-2)，将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，然后进行检验即可.
17．（2021九下·长沙开学考）若等腰三角形底边长为8， 腰长是方程x2-9x+20=0的一个根，则这个三角形的周长 .
【答案】18
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵x2-9x+20=0
∴(x-4)(x-5)=0
∴，
∵ 等腰三角形的腰长是方程x2-9x+20=0的一个根，
∴当腰长为4时，三角形的三边为4、4、8，而4+4=8，故此种情况不合题意；
当腰长为5时，三角形的三边为5、5、8，
三角形的周长5+5+8=18.
故答案为：18.
【分析】首先利用因式分解法求出一元二次方程的根，进而根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的利用三角形周长的计算方法算出答案.
18．（2021九下·长沙开学考）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于 .
【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；平行线的性质；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD sin∠QDP=PD，
∴=BP+PQ，
∴当点B、P、Q三点共线时有最小值，
∴的最小值为.
故答案为：3.
【分析】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，由平行四边形以及平行线的性质可得∠QDP=∠DAB=60°，根据∠QDP的正弦函数可得PQ，则PB+PD=BP+PQ，当点B、P、Q三点共线时取得最小值，据此求解.
三、解答题
19．（2021九下·长沙开学考）计算：
【答案】解：原式＝
＝
＝2
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊锐角的三角函数值，同时根据有理数的乘方、负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质分别计算，最后进行有理数的加减法及合并同类二次根式即可.
20．（2020·连云港模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解：
，
，
，
当 时，原式 ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
21．（2021九下·长沙开学考）为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，某校集中为学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图.
（1）本次调查的人数有多少人？
（2）请补全条形图，并求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数；
（3）小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的概率.
【答案】（1）解：25÷25%＝100（人），
答：本次调查100名学生；
（2）解：100﹣40﹣25﹣15＝20（人），补全条形统计图如图所示：
，
答：“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数为72°；
（3）解：四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D表示，
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
小娟 小宁 A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
共有16种等可能出现的结果，其中两人选择同一种方式的有4种，
所以小宁和小娟选择同一种方式的概率为.
答：小宁和小娟选择同一种学习方式的概率为.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）利用在线阅读的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据各组人数之和等于总人数求出在线答疑的人数，据此补全条形统计图，用在线答疑的人数除以总人数，然后乘以360°可得在线答疑在扇形图中的圆心角度数；
（3）四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D表示，此题是抽取放回类型的题，列出表格，找出总情况数以及两人选择同一种方式的情况数，然后利用概率公式进行计算.
22．（2020九上·丹东月考）如图，在四边形ABCD中， ，AB=AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB= ，OE=2，求线段CE的长.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵AC为 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
又∵ ，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又 ，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
，即 ，
解得 .
【知识点】菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，从而可得 ，然后根据等腰三角形的性质可得 ，最后根据菱形的判定即可得证；
（2）先根据菱形的性质可得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，然后利用勾股定理可得 ，最后判断出△AOB∽△AEC，可得 ，由此即可得.
23．（2020·云南）众志成城抗疫情，全国人民在行动.某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资.已知这两种货车的运费如下表：
A地（元/辆） B地（元/辆）
大货车 900 1000
小货车 500 700
现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元.
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求 与 的函数解析式，并直接写出 的取值范围；
（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值.
【答案】（1）解：设20辆货车中，大货车有 辆，则小货车有 辆，则
答：20辆货车中，大货车有12辆，则小货车有 辆.
（2）解：如下表，调往 两地的车辆数如下，
A地(辆) B地(辆) 合计(辆)
大货车 x 12-x 12
小货车 10-x x-2 8
合计(辆) 10 10 20
则
由
（3）解：由题意得：
＞ 所以 随 的增大而增大，
当 时， （元）.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设20辆货车中，大货车有x辆，则小货车有 辆，列一元一次方程可得答案；（2）先确定调往各地的车辆数，根据题意列出函数关系式即可，根据车辆数不能为负数，得到x的取值范围；（3）先求解 的范围，再利用函数的性质求解运费的最小值.
24．（2021九下·长沙开学考）如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，E是AB延长线上一点，AC⊥DE交ED延长线于C，CF∥AB，交AD延长线于F，且CF=AC.
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：AC BE=CD DE；
（3）若BE=3，DE=，求AF的长.
【答案】（1）证明：连接OD，
∵AC=CF，
∴∠F=∠CAF，
∵CF∥AB，
∴∠F=∠DAO，
∴∠CAF=∠DAO，
∵AO=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠CAF=∠ADO，
∴AC∥DO，
∵AC⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）证明：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACD=∠ADB，
∵∠CAD=∠DAB，
∴△ACD∽△ADB，
∴，
∵OD⊥DE，
∴∠BDE+∠ODB=90°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠BDE+∠OBD=90°，
又∵∠OBD+∠DAB=90°，
∴∠BDE=∠DAB，
∵∠DEB=∠AED，
∴△ADE∽△DBE，
∴，
∴，
∴AC BE=CD DE；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵CF∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得∠F=∠CAF，∠DAO=∠ADO，根据平行线的性质可得∠F=∠DAO，推出∠CAF=∠ADO，得到AC∥DO，进而推出OD⊥DE，据此证明；
（2）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，证明△ACD∽△ADB，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠OBD，由同角的余角相等可得∠BDE=∠DAB，证明△ADE∽△DBE，然后利用相似三角形的性质进行证明；
（3）根据相似三角形的性质可得AE，进而求出AB，设DB=x，则AD=x，由勾股定理求出x，进而得到DB、AD，利用相似三角形的性质求出AC、CD，证明△CDF∽△EDA，由相似三角形的性质得DF，然后根据AF=DF+AD进行计算.
25．（2021九下·长沙开学考）定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线.
（1）如图1，在对半四边形ABCD中，∠A+∠B=（∠C+∠D），求∠A与∠B的度数之和；
（2）如图2，O为锐角△ABC的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，∠OAB=30°，求证：四边形ABED是对半四边形；
（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上一点，CD=CE=3，CE=3EB，F为DE的中点，∠AFB=120°，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长.
【答案】（1）解：由四边形内角和为360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
则∠A+∠B +2（∠A+∠B）=360°，
∴∠A+∠B=120°；
（2）证明：如图2，连结OC，
由三角形外心的性质可得，OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA=30°，∠OCA=∠OAC，∠OCE=∠OBC，
∴∠ACB=（180°-30°-30°）÷2=60°，
则∠CAB+∠CBA=120°，
在四边形ABED中，∠CAB+∠CBA=120°，
则另两个内角之和为240°，
∴四边形ABED为对半四边形；
（3）解：若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠C=60°，
又∵CD=CE，
∴△CDE为等边三角形，
∵∠CDE=CED=60°，DE=DC=3，
∴∠ADF=∠FEB=120°，
∵∠AFB=120°，
∴∠DFA+∠EFB=60°，
又∵∠DAF+∠DFA=60°，
∴∠DAF=∠EFB，
∴△ADF∽△FEB，
∴，
∵CE=DE=3，CE=3BE，F是DE的中点，
∴BE=1，DF=EF=，
∴AD=，
∴CA=CD+AD=.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由四边形内角和为360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D=360°，然后结合已知条件进行计算即可；
（2）连接OC，由三角形外心的性质得：OA=OB=OC，由等腰三角形的性质得∠OAB=∠OBA=30°，∠OCA=∠OAC，∠OCE=∠OBC，求出∠ACB的度数，根据内角和定理得∠CAB+∠CBA的度数，然后由四边形内角和为360°求出另两个内角之和，据此判断；
（3）若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA=120°，由内角和定理可得∠C=60°，推出△CDE为等边三角形，易得∠ADF=∠FEB=120°，∠DFA+∠EFB=60°，推出∠DAF=∠EFB，证明△ADF∽△FEB，利用相似三角形的性质求出BE、DF、AD，然后根据CA=CD+AD进行计算.
26．（2021九下·长沙开学考）已知抛物线上有不同的两点E（3，k）和F（，k）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D，设AD的长为m（），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F.
【答案】（1）解：∵点E（3，k），点F（-1，k），
∴抛物线的对称轴方程为x=1.
∵，
∴.
解得：b=1.
∴抛物线的解析式为.
（2）解：∵抛物线的解析式为.
将x=0代入得：y=4，
∴点B的坐标为（0，4）.
令y=0得：，
∴x1=-2，x2=4.
∴点A（4，0）.
∵M是AB的中点，
∴点M的坐标为（2，2）.
∵OA=OB，∠BOA=90°，
∴∠B=∠A=45°.
∴∠BCM+∠BMC=135°，MB=MA=AB=.
∵∠PMQ=45°，
∴∠BMC+∠AMD=135°.
∴∠BCM=∠AMD.
∴△BCM∽△AMD.
∴，
即.
∴（）.
（3）解：将x=-1代入抛物线的解析式得：.
∴点F的坐标为.
设直线MF的解析式为y=k1x+b1.
将点M和点F的坐标代入得：，
解得：k1=，b1=.
∴直线MF的解析式为y=x+.
直线MF与x轴交于点（14，0），与y轴交于点（0，），
当MP经过点F时，OC=，
∴BC=4-=，
∴n1=，
∴m1=＝，
当MQ经过点F时.OD=14，
∴AD=10，
∴n2=，
∴m2==10.
综上所述或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）由点E与点F的纵坐标相同可知抛物线的对称轴为x＝1，由抛物线的对称轴方程可求得b＝1，则可得出答案；
（2）令x＝0可求得y＝4，令y＝0可求得x＝ 2或x＝4，从得到点A（4，0）、B（0，4），M（2，2），然后证明∠B＝∠A＝45°，∠BCM＝∠AMD，从而可证明△BCM∽△AMD，由相似三角形的性质可得到n与m的函数关系式；
（3）将x＝ 1代入抛物线的解析式可求得点F的坐标，然后依据待定系数法可求得MF的解析式，当PM过点F时，可求出OC的长，从而求得n的值，当MQ过点F时，可求出OD的长，故此可求得n的值，然后由可求得m的值．
1 / 1湖南省长沙市明德华兴中学2020-2021学年九年级下学期数学入学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·长沙开学考）的相反数是（ ）
A． B． C． D．4
2．（2021九下·长沙开学考）为支持新冠疫情防控工作，全国已有数万名党员自愿捐款，共捐款47.3亿元.则47.3亿元可表示为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
3．（2021九下·长沙开学考）下列等式成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
4．（2021九下·长沙开学考）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020九上·茌平期末）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）
A．“在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件
B．掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为
C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品
D．彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖
6．（2016七下·蒙阴期中）若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，﹣1）
C．（﹣2，0） D．（﹣2，﹣1）
7．（2021九下·长沙开学考）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021九下·长沙开学考）如图，圆周角∠ACB的度数为48°，则圆心角∠AOB的度数为（ ）
A．48° B．24° C．36° D．96°
9．（2021九下·长沙开学考）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A．160m B．120m C．300m D．160m
10．（2021九下·长沙开学考）在同一直角坐标系中，函数和函数（k是常数且 ）的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2018·长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
12．（2021·内江模拟）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x 2时，y值随x值的增大而增大.记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若 ，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B． ≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
二、填空题
13．（2016·泸州）分解因式：2a2+4a+2= ．
14．（2020七下·六盘水期末）一抹“凉都绿”，一杯生态茶.凉都茶叶因其得天独厚的生长条件，具有早采、富硒、有机的天然品质，凉都具备发展优质茶产业的先天地理优势，茶产业已成为六盘水农业特色产业之一，下表是我市某茶叶种植合作社脱贫攻坚期间茶树种植成活情况统计表：
种植茶树棵树 3000 5000 8000 10000 20000
成活棵树 2690 4507 7195 9003 17998
成活率 0.8967 0.9014 0.8993 0.9003 0.8999
根据这个表格，请估计这个合作社茶树种植成活的概率为 （结果保留一位小数）
15．（2021九下·长沙开学考）如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 .（结果保留π）
16．（2021九下·长沙开学考）分式方程的解为 .
17．（2021九下·长沙开学考）若等腰三角形底边长为8， 腰长是方程x2-9x+20=0的一个根，则这个三角形的周长 .
18．（2021九下·长沙开学考）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于 .
三、解答题
19．（2021九下·长沙开学考）计算：
20．（2020·连云港模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（2021九下·长沙开学考）为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，某校集中为学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图.
（1）本次调查的人数有多少人？
（2）请补全条形图，并求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数；
（3）小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的概率.
22．（2020九上·丹东月考）如图，在四边形ABCD中， ，AB=AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB= ，OE=2，求线段CE的长.
23．（2020·云南）众志成城抗疫情，全国人民在行动.某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资.已知这两种货车的运费如下表：
A地（元/辆） B地（元/辆）
大货车 900 1000
小货车 500 700
现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元.
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求 与 的函数解析式，并直接写出 的取值范围；
（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值.
24．（2021九下·长沙开学考）如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，E是AB延长线上一点，AC⊥DE交ED延长线于C，CF∥AB，交AD延长线于F，且CF=AC.
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：AC BE=CD DE；
（3）若BE=3，DE=，求AF的长.
25．（2021九下·长沙开学考）定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线.
（1）如图1，在对半四边形ABCD中，∠A+∠B=（∠C+∠D），求∠A与∠B的度数之和；
（2）如图2，O为锐角△ABC的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，∠OAB=30°，求证：四边形ABED是对半四边形；
（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上一点，CD=CE=3，CE=3EB，F为DE的中点，∠AFB=120°，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长.
26．（2021九下·长沙开学考）已知抛物线上有不同的两点E（3，k）和F（，k）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D，设AD的长为m（），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数是.
故答案为：B.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：47.3亿元可表示为元.
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的除法；平方差公式及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；
B、2a2和3a不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、a6÷a3=a6-3=a3，故本选项错误；
D、（a+4）（a-4）=a2-16，故本选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可判断A；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断B；根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断C；根据平方差公式“（a-b）（a+b）=a2-b2”可判断D.
4．【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：所给图形是直角梯形，绕直线l旋转一周，可以得到圆台.
故答案为：D.
【分析】直角梯形绕其垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，可以得到圆台，据此判断.
5．【答案】C
【知识点】概率的意义；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、“在地面向上抛石子后落在地上”是必然事件，故此选项不符合题意；
B、掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为 ，故此选项不符合题意；
C、在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品，符合题意；
D、彩票的中奖率为10%，则买100张彩票可能有10张中奖，故原说法不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据事件发生的可能性及随机事件的定义逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（1﹣2，3﹣4），
即（﹣1，﹣1），
故选：B．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点B的坐标为（1﹣2，3﹣4），进而可得答案．
7．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得x≥3，
解不等式②得x＞2，
所以不等式组的解集为x≥3，
在数轴表示为：
，
故答案为：C.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”取其公共部分即为不等式组的解集，最后根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来.
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意得：圆周角∠ACB的度数为48°，
圆心角∠AOB的度数为48°×2=96°.
故答案为：D.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOB=2∠ACB，据此计算.
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，
在Rt△ABD中，
求得BD=AD tan30°=120×=40m，
在Rt△ACD中，求得CD=AD tan60°=120×=120m，
所以BC=BD+CD=160m.
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，根据∠BAD的正切函数可得BD，根据∠CAD的正切函数可得CD，然后根据BC=BD+CD进行计算.
10．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当k＞0时，一次函数过一、二、三象限，反比例函数过一、三象限；
当k＜0时，一次函数过一、二、四象限，反比例函数过二、四象限；
综上所述，只有B符合.
故答案为：B.
【分析】一次函数y=kx+1，当k>0时，图象过一、二、三象限；当k<0时，图象过一、二、四象限；
反比例函数y=，当k>0时，图象过一、三象限；当k<0时，图象过二、四象限，据此一一判断得出答案.
11．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为： ×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三边的长，可得出此三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式即可解答。
12．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，
，
由①得： ＜
由②得：
由③得：
解得： ＜3，
当对称轴是y轴时，
m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，
解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为 .
故答案为：A.
【分析】由题意可得：x=≤2，≥-3，然后分对称轴在y轴左侧、对称轴在y轴右侧、y轴为对称轴三种情况进行解答.
13．【答案】2（a+1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2（a2+2a+1）
=2（a+1）2，
故答案为：2（a+1）2．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种茶树种植成活的概率为0.9.
故答案为：0.9.
【分析】由频率估计概率的知识可得：次数越多的频率越接近于概率，据此解答.
15．【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，
∴扇形的弧长==2π.
故答案为：2π.
【分析】直接根据弧长公式进行计算即可.
16．【答案】x=－5
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母，得：5（x－2）=7x
5x－10=7x
－2x=10
解得：x=－5
经检验：x=－5是原方程的解.
故答案为：x=-5.
【分析】首先给方程两边同时乘以x(x-2)，将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，然后进行检验即可.
17．【答案】18
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵x2-9x+20=0
∴(x-4)(x-5)=0
∴，
∵ 等腰三角形的腰长是方程x2-9x+20=0的一个根，
∴当腰长为4时，三角形的三边为4、4、8，而4+4=8，故此种情况不合题意；
当腰长为5时，三角形的三边为5、5、8，
三角形的周长5+5+8=18.
故答案为：18.
【分析】首先利用因式分解法求出一元二次方程的根，进而根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的利用三角形周长的计算方法算出答案.
18．【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；平行线的性质；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD sin∠QDP=PD，
∴=BP+PQ，
∴当点B、P、Q三点共线时有最小值，
∴的最小值为.
故答案为：3.
【分析】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，由平行四边形以及平行线的性质可得∠QDP=∠DAB=60°，根据∠QDP的正弦函数可得PQ，则PB+PD=BP+PQ，当点B、P、Q三点共线时取得最小值，据此求解.
19．【答案】解：原式＝
＝
＝2
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊锐角的三角函数值，同时根据有理数的乘方、负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质分别计算，最后进行有理数的加减法及合并同类二次根式即可.
20．【答案】解：
，
，
，
当 时，原式 ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
21．【答案】（1）解：25÷25%＝100（人），
答：本次调查100名学生；
（2）解：100﹣40﹣25﹣15＝20（人），补全条形统计图如图所示：
，
答：“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数为72°；
（3）解：四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D表示，
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
小娟 小宁 A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
共有16种等可能出现的结果，其中两人选择同一种方式的有4种，
所以小宁和小娟选择同一种方式的概率为.
答：小宁和小娟选择同一种学习方式的概率为.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）利用在线阅读的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据各组人数之和等于总人数求出在线答疑的人数，据此补全条形统计图，用在线答疑的人数除以总人数，然后乘以360°可得在线答疑在扇形图中的圆心角度数；
（3）四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D表示，此题是抽取放回类型的题，列出表格，找出总情况数以及两人选择同一种方式的情况数，然后利用概率公式进行计算.
22．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵AC为 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
又∵ ，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又 ，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
，即 ，
解得 .
【知识点】菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，从而可得 ，然后根据等腰三角形的性质可得 ，最后根据菱形的判定即可得证；
（2）先根据菱形的性质可得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，然后利用勾股定理可得 ，最后判断出△AOB∽△AEC，可得 ，由此即可得.
23．【答案】（1）解：设20辆货车中，大货车有 辆，则小货车有 辆，则
答：20辆货车中，大货车有12辆，则小货车有 辆.
（2）解：如下表，调往 两地的车辆数如下，
A地(辆) B地(辆) 合计(辆)
大货车 x 12-x 12
小货车 10-x x-2 8
合计(辆) 10 10 20
则
由
（3）解：由题意得：
＞ 所以 随 的增大而增大，
当 时， （元）.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设20辆货车中，大货车有x辆，则小货车有 辆，列一元一次方程可得答案；（2）先确定调往各地的车辆数，根据题意列出函数关系式即可，根据车辆数不能为负数，得到x的取值范围；（3）先求解 的范围，再利用函数的性质求解运费的最小值.
24．【答案】（1）证明：连接OD，
∵AC=CF，
∴∠F=∠CAF，
∵CF∥AB，
∴∠F=∠DAO，
∴∠CAF=∠DAO，
∵AO=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠CAF=∠ADO，
∴AC∥DO，
∵AC⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）证明：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACD=∠ADB，
∵∠CAD=∠DAB，
∴△ACD∽△ADB，
∴，
∵OD⊥DE，
∴∠BDE+∠ODB=90°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠BDE+∠OBD=90°，
又∵∠OBD+∠DAB=90°，
∴∠BDE=∠DAB，
∵∠DEB=∠AED，
∴△ADE∽△DBE，
∴，
∴，
∴AC BE=CD DE；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵CF∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得∠F=∠CAF，∠DAO=∠ADO，根据平行线的性质可得∠F=∠DAO，推出∠CAF=∠ADO，得到AC∥DO，进而推出OD⊥DE，据此证明；
（2）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，证明△ACD∽△ADB，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠OBD，由同角的余角相等可得∠BDE=∠DAB，证明△ADE∽△DBE，然后利用相似三角形的性质进行证明；
（3）根据相似三角形的性质可得AE，进而求出AB，设DB=x，则AD=x，由勾股定理求出x，进而得到DB、AD，利用相似三角形的性质求出AC、CD，证明△CDF∽△EDA，由相似三角形的性质得DF，然后根据AF=DF+AD进行计算.
25．【答案】（1）解：由四边形内角和为360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
则∠A+∠B +2（∠A+∠B）=360°，
∴∠A+∠B=120°；
（2）证明：如图2，连结OC，
由三角形外心的性质可得，OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA=30°，∠OCA=∠OAC，∠OCE=∠OBC，
∴∠ACB=（180°-30°-30°）÷2=60°，
则∠CAB+∠CBA=120°，
在四边形ABED中，∠CAB+∠CBA=120°，
则另两个内角之和为240°，
∴四边形ABED为对半四边形；
（3）解：若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠C=60°，
又∵CD=CE，
∴△CDE为等边三角形，
∵∠CDE=CED=60°，DE=DC=3，
∴∠ADF=∠FEB=120°，
∵∠AFB=120°，
∴∠DFA+∠EFB=60°，
又∵∠DAF+∠DFA=60°，
∴∠DAF=∠EFB，
∴△ADF∽△FEB，
∴，
∵CE=DE=3，CE=3BE，F是DE的中点，
∴BE=1，DF=EF=，
∴AD=，
∴CA=CD+AD=.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由四边形内角和为360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D=360°，然后结合已知条件进行计算即可；
（2）连接OC，由三角形外心的性质得：OA=OB=OC，由等腰三角形的性质得∠OAB=∠OBA=30°，∠OCA=∠OAC，∠OCE=∠OBC，求出∠ACB的度数，根据内角和定理得∠CAB+∠CBA的度数，然后由四边形内角和为360°求出另两个内角之和，据此判断；
（3）若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA=120°，由内角和定理可得∠C=60°，推出△CDE为等边三角形，易得∠ADF=∠FEB=120°，∠DFA+∠EFB=60°，推出∠DAF=∠EFB，证明△ADF∽△FEB，利用相似三角形的性质求出BE、DF、AD，然后根据CA=CD+AD进行计算.
26．【答案】（1）解：∵点E（3，k），点F（-1，k），
∴抛物线的对称轴方程为x=1.
∵，
∴.
解得：b=1.
∴抛物线的解析式为.
（2）解：∵抛物线的解析式为.
将x=0代入得：y=4，
∴点B的坐标为（0，4）.
令y=0得：，
∴x1=-2，x2=4.
∴点A（4，0）.
∵M是AB的中点，
∴点M的坐标为（2，2）.
∵OA=OB，∠BOA=90°，
∴∠B=∠A=45°.
∴∠BCM+∠BMC=135°，MB=MA=AB=.
∵∠PMQ=45°，
∴∠BMC+∠AMD=135°.
∴∠BCM=∠AMD.
∴△BCM∽△AMD.
∴，
即.
∴（）.
（3）解：将x=-1代入抛物线的解析式得：.
∴点F的坐标为.
设直线MF的解析式为y=k1x+b1.
将点M和点F的坐标代入得：，
解得：k1=，b1=.
∴直线MF的解析式为y=x+.
直线MF与x轴交于点（14，0），与y轴交于点（0，），
当MP经过点F时，OC=，
∴BC=4-=，
∴n1=，
∴m1=＝，
当MQ经过点F时.OD=14，
∴AD=10，
∴n2=，
∴m2==10.
综上所述或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）由点E与点F的纵坐标相同可知抛物线的对称轴为x＝1，由抛物线的对称轴方程可求得b＝1，则可得出答案；
（2）令x＝0可求得y＝4，令y＝0可求得x＝ 2或x＝4，从得到点A（4，0）、B（0，4），M（2，2），然后证明∠B＝∠A＝45°，∠BCM＝∠AMD，从而可证明△BCM∽△AMD，由相似三角形的性质可得到n与m的函数关系式；
（3）将x＝ 1代入抛物线的解析式可求得点F的坐标，然后依据待定系数法可求得MF的解析式，当PM过点F时，可求出OC的长，从而求得n的值，当MQ过点F时，可求出OD的长，故此可求得n的值，然后由可求得m的值．
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