重庆市全善中学校2020-2021学年九年级下学期数学开学测试试卷

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重庆市全善中学校2020-2021学年九年级下学期数学开学测试试卷
一、单选题
1．（2021九下·重庆开学考） 的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 的绝对值是 .
故答案为：B.
【分析】根据负数的绝对值为其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，进行解答.
2．（2021九下·重庆开学考）剪纸是中国古老的民间艺术，下列作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、C、D此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故这些选项错误；
B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
3．（2021九下·重庆开学考）点P位于x轴上方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由点P位于x轴上方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，
得点P的坐标是（-2，4）.
故答案为：B.
【分析】由题意可得点P的横坐标小于0，纵坐标大于0，又一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，据此即可得出答案.
4．（2018八上·辽阳月考）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得： .
故答案为：A.
【分析】由题意可得相等关系： 索=竿子+5；索=竿子-5；根据这两个相等关系列方程组即可。
5．（2021九下·重庆开学考）在平行四边形中，一定有(　　)
A．两条对角线相等 B．两条对角线垂直
C．两条对角线互相平分 D．一条对角线平分一组对角
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、两条对角线相等，错误，平行四边形的对角线的具有的特点是互相平分；
B、两条对角线垂直，错误，平行四边形的对角线不具有这条性质，菱形和正方形的对角线才具有这条性质；
D、一条对角线平分一组对角，平行四边形也不具有这条性质，是菱形和正方形具有的性质；平行四边形的对角线的性质是“两条对角线互相平分”.
故答案为：C.
【分析】平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等；平行四边形两条对角线互相平分；平行四边形的对角相等，两邻角互补，据此判断.　 　　
6．（2021九下·重庆开学考）下列运算正确的是（　　）
A． B．（-a2b3）3= -a5b6
C．（-a-b）2=a2+2ab+b2 D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、左式= 右式，故A运算错误；
B、左式= 右式，故B运算错误；
C、左式=右式，故C运算正确；
D、左式= 右式，故D运算错误.
故答案为：C.
【分析】合并同类项的时候，只需要将同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变，据此可判断A；根据积的乘方法则“积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”及幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可判断B；根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”可判断C；根据同底数幂的除法法则“同底数幂的除法，底数不变，指数相减”可判断D.
7．（2021九下·重庆开学考）如图，⊙O是 的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧 的长等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
则 ，
，
，
是等边三角形，
，
则劣弧 的长等于 .
故答案为：A.
【分析】连接OB、OC，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠BOC=2∠BAC=60°，推出△BOC是等边三角形，得到OB=BC=2，然后利用弧长公式“”进行计算.
8．（2020九上·河北期末）在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，以原点О为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到 ，则点A的对应点C的坐标为（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：把这个三角形放大为原来的2倍，得到 ，
如果两个三角形在原点同侧，则点A的对应点C的坐标为 ，
如果两个三角形在原点异侧，则点A的对应点C的坐标为 ，
故答案为：C．
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应点的坐标等于K或-K即可求得答案。
9．（2021九下·重庆开学考）2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道S线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的S形曲线契合，被形象地称为“雪如意”.“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台 、中部的大跳台腾空起点C、赛道 、底部的看台区 组成.为有效进行工程施工监测，现在C处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计）， 赛道可近似视作坡度为 的一段坡面，通过 高程测量仪测得A点、E点的海拔高度差（即 ）是160米，从顶峰平台A点俯视C处的标志旗，俯角约为37°.由C处释放的遥控无人机竖直上升到与平台 水平位置D后，遥感测得 之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则 赛道长度约为（　　）米.（参考数据： ， ， ）
A． 116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，由题意得：
在 中，
在 中，
设 则
经检验： 符合题意，
故答案为：C.
【分析】由题意得：AD=152，AH=DM=160，∠CAD=37°，根据∠CAD的正切函数可得CD，进而求出CM，设CM=5x，则ME=12x，CE=13x，据此可得CE.
10．（2020·渝中模拟）已知关于 的分式方程 有整数解，且关于 的不等式组 有且只有 个整数解，则符合条件的整数 的个数有（　　）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： ，
方程两边同乘 ，得
整理得， ，
由题意得， 是整数，且 ，即 ，
解得： ， ，0，2，3；
解不等式组 得： ，
关于 的不等式组 有且只有4个整数解，
，
，
则符合条件的所有整数为： ，0，2，3，
符合条件的整数 的个数有4个，
故选： ．
【分析】解出分式方程，根据题意确定 的范围，解不等式组，根据题意确定 的范围，根据分式不为0的条件得到 ，根据题意计算即可．
11．（2021九下·重庆开学考）如图，矩形纸片 中， ， ，将纸片沿 折叠使点B与点D重合，折痕 与 相交于点O，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设DF=x，则BF=x，CF=8-x，
在Rt△DFC中，DF2=CF2+DC2，
即x2=（8-x）2+42，
解得：x=5，即DF的长为5.
故答案为：C.
【分析】设DF=x，则BF=x，CF=8-x，然后在Rt△DFC中，利用勾股定理求解即可.
12．（2021九下·重庆开学考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点B（﹣1，﹣1），C在x轴正半轴上，A在第二象限双曲线y＝﹣ 上，过D作DE∥x轴交双曲线于E，连接CE，则△CDE的面积为（　　）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过A作GH⊥x轴，过B作BG⊥GH，过C作CM⊥ED于M，
设A(x，﹣ )，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠BAG=∠ADH=∠DCM，
∴△AHD≌△DMC≌△BGA（AAS），
∴BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x，
∴AG＝CM＝DH＝1﹣ ，
∵AH+AQ＝CM，
∴1﹣ ＝﹣ ﹣1﹣x，
解得：x＝﹣2，
∴A(﹣2，2)，CM＝AG＝DH＝1﹣ ＝3，
∵BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x＝1，
∴点E的纵坐标为3，
把y＝3代入y＝﹣ 得：x＝﹣ ，
∴E(﹣ ，3)，
∴EH＝2﹣ ＝ ，
∴DE＝DH﹣HE＝3﹣ ＝ ，
∴S△CDE＝ DE CM＝ × ×3＝ .
故答案为：B.
【分析】过A作GH⊥x轴，过B作BG⊥GH，过C作CM⊥ED于M，设A(x，-)，根据正方形的性质可得AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠ADC＝90°，证明△AHD≌△DMC≌△BGA，得到BG＝AH＝DM＝-1-x，AG＝CM＝DH＝1- ，然后根据AH+AQ＝CM求出x，得到CM、BG的值，进而得到点E的纵坐标为3，把y＝3代入y＝-中可得x的值，进而得到E点的坐标，然后求出EH、DE的值，最后根据三角形的面积公式进行计算.
二、填空题
13．（2021九下·重庆开学考）　 　.
【答案】1
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：
故答案为：1.
【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质及有理数的乘方运算法则分别计算，再根据有理数的加减法法则算出答案.
14．（2021·九龙坡模拟）人的血管首尾相连的长度大约可达96000千米，96000千米用科学记数法表示为 　 　米.
【答案】9.6×107
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：96000千米＝96000000米＝9.6×107米.
故答案为：9.6×107.
【分析】用科学记数法表示绝对值大于等于10的数为a×10n，其中（n等于原数的整数位数减去1，1≤＜10），据此即可得出答案.
15．（2021九下·重庆开学考）若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如 就是一个“中高数”.若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两个不同的数，与7组成“中高数”的概率是　 　.
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表得：
　 3 4 5 6 8 9
3 - 374 375 376 378 379
4 473 - 475 476 478 479
5 573 574 - 576 578 579
6 673 674 675 - 678 679
8 873 874 875 876 - 879
9 973 974 975 976 978 -
∵共有30种等可能的结果，与7组成“中高数”的有12种情况，
∴与7组成“中高数”的概率是： = .
故答案为：.
【分析】列出表格，找出总情况数以及与7组成“中高数”的情况数，然后利用概率公式进行计算.
16．（2021九下·重庆开学考）如图，在 中， ， ， ，以点B为圆心， 的长为半径作弧，交 于点D，则阴影部分的面积是　 　.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵BC=2，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴AB=4，AC=2 ，
∴S=2×2 × .
故答案为： .
【分析】易得AB=4，AC=2，然后根据S阴影=S△ABC-S扇形BCD进行计算.
17．（2021九下·重庆开学考）小蒲家与学校之间是一条笔直的公路，小蒲从家步行前往学校的途中发现忘带作业本，便向路人借了手机打给妈妈，妈妈接到电话后，带上作业本马上赶往学校，同时小蒲沿原路返回，两人相遇后，小蒲立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，小蒲到达学校刚好比妈妈到家晚了2分钟.若小蒲步行的速度始终不变，打电话和交接作业本的时间忽略不计，小蒲和妈妈之间的距离y米与小蒲打完电话后步行的时间x分钟之间的函数关系如图所示；则相遇后妈妈返回家的速度是每分钟　 　米.
【答案】50
【知识点】一次函数的图象；二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设相遇后妈妈返回家的速度是每分钟x米，小蒲的速度为每分钟y米，
由题意得：
解得：
∴相遇后妈妈返回家的速度是每分钟50米.
故答案为：50.
【分析】设相遇后妈妈返回家的速度是每分钟x米，小蒲的速度为每分钟y米，由题意得：16x+10y=2000，16x+18y=2960，联立求解即可.
18．（2019九上·开州月考）蜂蜜具有消食、润肺、安神、美颜之功效，是天然的健康保健佳品.秋天即将来临时，雪宝山土特产公司抓住商机购进甲、乙、丙三种蜂蜜，已知销售每瓶甲蜂蜜的利润率为10%，每瓶乙蜂蜜的利润率为20%，每瓶丙蜂蜜的利润率为30%.当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%.那么当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，该公司得到的总利润率为　 　.
【答案】19%
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲种蜂蜜每瓶x元，乙种蜂蜜每瓶y元，丙种蜂蜜每瓶z元，
当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，设甲种蜂蜜卖出a瓶，
则： ，整理得：4z=3y+6x①，
当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，设丙种蜂蜜卖出b瓶，
则： ，整理得：z=3x②，
由①②可得：y=2x，
∴当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，设丙种蜂蜜卖出c瓶，
则该公司得到的总利润率为： .
故答案为：19%.
【分析】设甲种蜂蜜每瓶x元，乙种蜂蜜每瓶y元，丙种蜂蜜每瓶z元，当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，设甲种蜂蜜卖出a瓶，根据销售甲、乙、丙三种蜂蜜的总利润除以销售三种蜂蜜的总收入等于利润率列出方程，化简得出4z=3y+6x①，同理得出z=3x②，将②代入①得y=2x，进而即可算出当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，该公司的利润率.
三、解答题
19．（2018九上·巴南月考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）有体验吧用平方差和完全平方公式可去括号，在合并同类项即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，再将处发出转化为乘法，然后约分即可求解。
20．（2021九下·重庆开学考）为了解学生在暑假期间手机的使用情况，某学校在秋期开学后开展了“科学合理用手机”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“假期平均每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①、②的统计图，已知“查资料”的人数是36人.请你根据有关信息解答下列问题：
（1）共抽取学生　 　人；
（2）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是　 　；
（3）补全条形统计图；
（4）该校共有学生2300人，估计假期平均每周使用手机的时间在2小时以上（不含2小时）的人数.
【答案】（1）90
（2）126°
（3）解：使用3小时以上的人数为90-32-18-16-2=22，
补全条形统计图如下：
（4）解：使用手机2小时以上人数的百分比为（32+22）÷90×100%=60%，
∴估计每周使用手机的时间在2小时以上的人数人数为：2300×60%=1380（人）.
答：估计假期平均每周使用手机的时间在2小时以上（不含2小时）的有1380人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）∵“查资料”的人数是36人，所占百分比为40%，
∴抽查总人数为36÷40%=90（名），
故答案为：90；
（2）“玩游戏”在扇形图中所占的百分比为：1-40%-18%-7%=35%，
∴“玩游戏”对应的圆心角度数是：360°×35%=126°，
故答案为：126°；
【分析】（1）利用“查资料”的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）利用百分比之和为1求出“玩游戏”在扇形图中所占的百分比，然后乘以360°即可；
（3）根据各组人数之和等于总人数求出使用3小时以上的人数，据此补全条形统计图；
（4）首先求出样本中使用手机2小时以上人数的百分比，然后乘以2300即可.
21．（2019八下·南华期中）如图，已知∠A=∠D=90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF.求证：
（1）AF=DE
（2）若OP⊥EF，求证：OP平分∠EOF.
【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF=DE；
（2）解：∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥EF，
∴OP平分∠EOF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证AF=DE，只需证这两条边所在的两个三角形全等。由题意可用HL定理证 Rt△ABF≌Rt△DCE ，则结论可求解；
（2）由（1）中的全等三角形可得∠AFB=∠DEC，由等角对等边可得OE=OF， 再根据等腰三角形的三线合一即可得证。
22．（2021九下·重庆开学考）小明对函数 的图象和性质进行了探究.已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为-3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0.探究过程如下，请补充完整.
（1）这个函数的表达式为　 　；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质： ；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线 与函数 有三个交点，则 　 　；
②已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式 的解集：　 　.
【答案】（1）
（2）解：作图如下，
这个函数的一条性质：函数的图象关于直线 对称；或：当 或 时，函数有最小值
（3）； 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；数学思想；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）将 ， ； ， ； ， 代入 ，
得到： ，解得
，
故答案为： ；
（2）如图：
函数关于直线 对称，
（3）①当 时， ，
时直线 与函数 有三个交点，
故答案为：1；
② 与 的交点为 或 或x=3，
结合图象， 的解集为 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】（1）将x=0、y=-3；x=4、y=-3；x=1、y=0代入可得a、b、c的值，据此可得函数表达式；
（2）利用描点、连线即可作出函数的图象，根据对称性写出一条性质即可；
（3）①利用数形结合法进行解答；
②y=x-3与y=x2-4x-3的交点为x=0或x=5或x=3，找出函数 的图象在y=x-3的图象的下方部分及交点的自变量的取值范围即可.
23．（2021九下·重庆开学考）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“启航数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数 .把 放在n的后面组成第一个四位数，把n放在 的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为 ，例如： 时， ， .
（1）计算 ；若m为“启航数”， 是一个完全平方数，求 的值；
（2）s、t为“启航数”，其中 （1≤b≤a≤9，1≤x、y≤5，且 为整数）.规定： ，若 能被7整除，且 ，求 的最大值.
【答案】（1）解：162 ；
设m= （1≤q≤9，1≤p≤9，且p、q为整数），
则 ，
∵ 完全平方数，
∴ 为完全平方数，
∴1≤q≤p≤9，且p、q为整数，
∴0＜p-q≤8，
∴ 或4，
当 时， ，
当 时， ，
∴F（m）=81或324；
（2）解：由题意知：s= ，t= （1≤b≤a≤9，1≤x、y≤5，且 为整数），
∴ ， ，
∵ 能被 整除，
∴ 为整数，
又∵1≤b≤a≤9，
∴0＜a-b≤8，
∴ ，
∴ ， ，或 ， ，
∴ 或81.
又∵ ，
∴81（a-b）+81（x-y）-81y=162，即：81×7+81（x-y）-81y=162，
∴2y=x+5，
∵1≤x、y≤5且 ，
∴ ， ，或 ， ，
∴ 或34，
将s、t的值代入 计算可得，
∴ ，K（92，34）= ， ， ，
∵ ，
∴Kmax= .
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1） ，
故答案为：162；
【分析】（1）根据定义的新运算可得F(42)=，计算即可； 设m=（1≤q≤9，1≤p≤9，且p、q为整数），则F(m)=81(p-q)，由题意可得：p-q为完全平方数，则p-q=1或4，据此求解；
（2）由题意知：s=，t=（1≤b≤a≤9，1≤x、y≤5，且a、b、x、y为整数），则F(s)=81(a-b)，F(t)=81(x-y)，由题意可得a-b=7，求出a、b的值，进而可得s，根据F(s)+F(t)-81y=162可得2y=x+5，求出x、y，进而可得t，将s、t的值代入K(s，t)中计算出对应的值，然后进行比较即可得到Kmax.
24．（2019七上·平顶山月考）某校部分师生要去外地参加夏令营活动，车站提出两种车票价格优惠方案供学校选择：第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的75%付款；第二种方案是师生都按原价的80%付款.已知该校有5名教师和x名学生参加此次夏令营活动，车票原价为100元/张.
（1）分别写出两种方案的购票款（列代数式并化简）
（2）如果两种方案的付款相同，那么参加夏令营的学生有多少人？
（3）当参加夏令营的学生人数为 名时，试说明选择哪一种方案购票省钱？
【答案】（1）解：方案一：5×100+100×75%×x=(75x+500)元
方案二：100×80%×（x+5）=(80x+400)元
（2）解：75x+500=80x+400
解方程得x=20
答：如果两种方案的付款相同，那么参加夏令营的学生有20人
（3）解：当x=40时，
方案一：75x+500=75×40+500=3500元
方案二：80x+400=80×40+400=3600元
3500＜3600
所以当参加夏令营的学生人数为 名时，选择方案一购票省钱
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）根据两种不同的付款方案分别列出两种方案的购票款即可；（2）按照（1）中列出的方案分别计算出两种方案的联立方程得出答案即可；（3）根据夏令营的学生人数代入计算，比较选择购票付款的最佳方案.
25．（2021九下·重庆开学考）抛物线 经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，4）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线的一点，分别连接PB、PC，若直线BC恰好平分四边形COBP的面积，求P点坐标；
（3）在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q，该抛物线对称轴上存在一点N，使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把A（-1，0）、B（4，0）、C（0，4）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c得，
，
解得：
故抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4；
（2）解：设P点坐标为（x，-x2+3x+4），如图，
∴四边形COBP的面积=S△COP+ S△BOP= =-2x2+8x+8
∵直线BC平分四边形COBP的面积
∴四边形COBP的面积=2S△COB
即：-2x2+8x+8=
解得x=2
将x=2代入抛物线表达式得y=6
故点P坐标为（2，6）
（3）解：存在
①当AQ为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为 ，
故Q（ ）
②当AN为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为 ，
故Q（ ）
综上所述，Q点坐标为（ )或（ ）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点A、B、C的坐标代入可求出a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）设P（x，-x2+3x+4），则S四边形COBP=S△COP+S△BOP=-2x2+8x+8，根据题意可得S四边形COBP=2S△COB，则-2x2+8x+8=2××4×4，求出x的值，然后将x的值代入抛物线表达式中求出y，据此可得点P的坐标；
（3）①当AQ为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为 ，代入抛物线表达式中求出y，据此可得点Q的坐标；②当AN为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为，代入抛物线表达式中求出y，据此可得点Q的坐标.
26．（2021九下·重庆开学考）如图， 和 中， ， ， ，点 在 边上.
（1）如图1，连接 ，若 ， ，求 的长度；
（2）如图2，将 绕点C逆时针旋转 ，旋转过程中，直线 分别与直线 交于点 ，当 是等腰三角形时，直接写出 的值；
（3）如图3，将 绕点C顺时针旋转，使得点 在同一条直线上，点P为 的中点，连接 .猜想 和 之间的数量关系并证明.
【答案】（1）解： ， ， ，
∴AB= =5，
∴EC=EF=3，
∴FC= = ；
（2）22.5°、112.5°、45°
（3）解：AE+CF=
连接AP，延长AE交CF于点Q，
由题意可得：∠CEB=∠BAC=90°，
∴A、E、C、B四点共圆，
可得：∠AEB=∠ACB=45°，
且∠CEQ=45°，
∴∠EQC=90°，
可知点A在CF的垂直平分线上，
∴AC=AF=AB，
∵点P是BF中点，
∴AP⊥BF，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴AE= ，
又∵△EFC为等腰直角三角形，
∴CF= ，
∴ + = =AE+CF，
∵BP=PF，
∴AE+CF= .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（2）由题意可知△CMN中不会形成MN=MC的等腰三角形，
①当CM=CN时，
∠CNE= （180°-45°）=67.5°，
∵∠NEC=90°，
∴α=∠ACE=22.5°；
②当CM=CN时，α=∠ACE，
∵∠ACB=45°，
∴∠CNM=∠CMN= ×45°=22.5°，
∵∠CEM=90°，
∴∠ECM=67.5°，
∴α=∠ACE=112.5°；
③当CN=MN时，此时CE与BC共线，
α=∠BCA=45°；
综上：当 是等腰三角形时，α的值为：22.5°、112.5°、45°.
【分析】（1）首先在Rt△ABE中，由勾股定理求出AB，进而得到EC=EF=3，然后在Rt△ECF中，由勾股定理求解即可；
（2）由题意可知△CMN中不会形成MN=MC的等腰三角形，①当CM=CN时，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CNE=67.5°，然后根据α=90°-∠CNE进行计算；②当CM=CN时，根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠CNM=∠CMN=22.5°，由内角和定理可得∠ECM=67.5°，然后根据α=∠CEM+∠CMN进行计算；③当CN=MN时，此时CE与BC共线，α=∠BCA=45°，据此解答；
（3）连接AP，延长AE交CF于点Q，由题意可得A、E、C、B四点共圆，则∠AEB=∠ACB=45°，推出点A在CF的垂直平分线上，得到AC=AF=AB，由等腰三角形的性质可得AP⊥BF，根据等腰直角三角形的性质可得AE=PE，CF=EF，然后将两式相加结合BP=PF可得结论.
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重庆市全善中学校2020-2021学年九年级下学期数学开学测试试卷
一、单选题
1．（2021九下·重庆开学考） 的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021九下·重庆开学考）剪纸是中国古老的民间艺术，下列作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021九下·重庆开学考）点P位于x轴上方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2018八上·辽阳月考）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021九下·重庆开学考）在平行四边形中，一定有(　　)
A．两条对角线相等 B．两条对角线垂直
C．两条对角线互相平分 D．一条对角线平分一组对角
6．（2021九下·重庆开学考）下列运算正确的是（　　）
A． B．（-a2b3）3= -a5b6
C．（-a-b）2=a2+2ab+b2 D．
7．（2021九下·重庆开学考）如图，⊙O是 的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧 的长等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2020九上·河北期末）在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，以原点О为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到 ，则点A的对应点C的坐标为（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
9．（2021九下·重庆开学考）2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道S线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的S形曲线契合，被形象地称为“雪如意”.“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台 、中部的大跳台腾空起点C、赛道 、底部的看台区 组成.为有效进行工程施工监测，现在C处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计）， 赛道可近似视作坡度为 的一段坡面，通过 高程测量仪测得A点、E点的海拔高度差（即 ）是160米，从顶峰平台A点俯视C处的标志旗，俯角约为37°.由C处释放的遥控无人机竖直上升到与平台 水平位置D后，遥感测得 之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则 赛道长度约为（　　）米.（参考数据： ， ， ）
A． 116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2
10．（2020·渝中模拟）已知关于 的分式方程 有整数解，且关于 的不等式组 有且只有 个整数解，则符合条件的整数 的个数有（　　）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
11．（2021九下·重庆开学考）如图，矩形纸片 中， ， ，将纸片沿 折叠使点B与点D重合，折痕 与 相交于点O，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
12．（2021九下·重庆开学考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点B（﹣1，﹣1），C在x轴正半轴上，A在第二象限双曲线y＝﹣ 上，过D作DE∥x轴交双曲线于E，连接CE，则△CDE的面积为（　　）
A．3 B． C．4 D．
二、填空题
13．（2021九下·重庆开学考）　 　.
14．（2021·九龙坡模拟）人的血管首尾相连的长度大约可达96000千米，96000千米用科学记数法表示为 　 　米.
15．（2021九下·重庆开学考）若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如 就是一个“中高数”.若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两个不同的数，与7组成“中高数”的概率是　 　.
16．（2021九下·重庆开学考）如图，在 中， ， ， ，以点B为圆心， 的长为半径作弧，交 于点D，则阴影部分的面积是　 　.
17．（2021九下·重庆开学考）小蒲家与学校之间是一条笔直的公路，小蒲从家步行前往学校的途中发现忘带作业本，便向路人借了手机打给妈妈，妈妈接到电话后，带上作业本马上赶往学校，同时小蒲沿原路返回，两人相遇后，小蒲立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，小蒲到达学校刚好比妈妈到家晚了2分钟.若小蒲步行的速度始终不变，打电话和交接作业本的时间忽略不计，小蒲和妈妈之间的距离y米与小蒲打完电话后步行的时间x分钟之间的函数关系如图所示；则相遇后妈妈返回家的速度是每分钟　 　米.
18．（2019九上·开州月考）蜂蜜具有消食、润肺、安神、美颜之功效，是天然的健康保健佳品.秋天即将来临时，雪宝山土特产公司抓住商机购进甲、乙、丙三种蜂蜜，已知销售每瓶甲蜂蜜的利润率为10%，每瓶乙蜂蜜的利润率为20%，每瓶丙蜂蜜的利润率为30%.当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%.那么当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，该公司得到的总利润率为　 　.
三、解答题
19．（2018九上·巴南月考）计算：
（1）
（2）
20．（2021九下·重庆开学考）为了解学生在暑假期间手机的使用情况，某学校在秋期开学后开展了“科学合理用手机”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“假期平均每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①、②的统计图，已知“查资料”的人数是36人.请你根据有关信息解答下列问题：
（1）共抽取学生　 　人；
（2）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是　 　；
（3）补全条形统计图；
（4）该校共有学生2300人，估计假期平均每周使用手机的时间在2小时以上（不含2小时）的人数.
21．（2019八下·南华期中）如图，已知∠A=∠D=90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF.求证：
（1）AF=DE
（2）若OP⊥EF，求证：OP平分∠EOF.
22．（2021九下·重庆开学考）小明对函数 的图象和性质进行了探究.已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为-3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0.探究过程如下，请补充完整.
（1）这个函数的表达式为　 　；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质： ；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线 与函数 有三个交点，则 　 　；
②已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式 的解集：　 　.
23．（2021九下·重庆开学考）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“启航数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数 .把 放在n的后面组成第一个四位数，把n放在 的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为 ，例如： 时， ， .
（1）计算 ；若m为“启航数”， 是一个完全平方数，求 的值；
（2）s、t为“启航数”，其中 （1≤b≤a≤9，1≤x、y≤5，且 为整数）.规定： ，若 能被7整除，且 ，求 的最大值.
24．（2019七上·平顶山月考）某校部分师生要去外地参加夏令营活动，车站提出两种车票价格优惠方案供学校选择：第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的75%付款；第二种方案是师生都按原价的80%付款.已知该校有5名教师和x名学生参加此次夏令营活动，车票原价为100元/张.
（1）分别写出两种方案的购票款（列代数式并化简）
（2）如果两种方案的付款相同，那么参加夏令营的学生有多少人？
（3）当参加夏令营的学生人数为 名时，试说明选择哪一种方案购票省钱？
25．（2021九下·重庆开学考）抛物线 经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，4）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线的一点，分别连接PB、PC，若直线BC恰好平分四边形COBP的面积，求P点坐标；
（3）在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q，该抛物线对称轴上存在一点N，使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.
26．（2021九下·重庆开学考）如图， 和 中， ， ， ，点 在 边上.
（1）如图1，连接 ，若 ， ，求 的长度；
（2）如图2，将 绕点C逆时针旋转 ，旋转过程中，直线 分别与直线 交于点 ，当 是等腰三角形时，直接写出 的值；
（3）如图3，将 绕点C顺时针旋转，使得点 在同一条直线上，点P为 的中点，连接 .猜想 和 之间的数量关系并证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 的绝对值是 .
故答案为：B.
【分析】根据负数的绝对值为其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，进行解答.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、C、D此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故这些选项错误；
B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由点P位于x轴上方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，
得点P的坐标是（-2，4）.
故答案为：B.
【分析】由题意可得点P的横坐标小于0，纵坐标大于0，又一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，据此即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得： .
故答案为：A.
【分析】由题意可得相等关系： 索=竿子+5；索=竿子-5；根据这两个相等关系列方程组即可。
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、两条对角线相等，错误，平行四边形的对角线的具有的特点是互相平分；
B、两条对角线垂直，错误，平行四边形的对角线不具有这条性质，菱形和正方形的对角线才具有这条性质；
D、一条对角线平分一组对角，平行四边形也不具有这条性质，是菱形和正方形具有的性质；平行四边形的对角线的性质是“两条对角线互相平分”.
故答案为：C.
【分析】平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等；平行四边形两条对角线互相平分；平行四边形的对角相等，两邻角互补，据此判断.　 　　
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、左式= 右式，故A运算错误；
B、左式= 右式，故B运算错误；
C、左式=右式，故C运算正确；
D、左式= 右式，故D运算错误.
故答案为：C.
【分析】合并同类项的时候，只需要将同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变，据此可判断A；根据积的乘方法则“积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”及幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可判断B；根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”可判断C；根据同底数幂的除法法则“同底数幂的除法，底数不变，指数相减”可判断D.
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
则 ，
，
，
是等边三角形，
，
则劣弧 的长等于 .
故答案为：A.
【分析】连接OB、OC，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠BOC=2∠BAC=60°，推出△BOC是等边三角形，得到OB=BC=2，然后利用弧长公式“”进行计算.
8．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：把这个三角形放大为原来的2倍，得到 ，
如果两个三角形在原点同侧，则点A的对应点C的坐标为 ，
如果两个三角形在原点异侧，则点A的对应点C的坐标为 ，
故答案为：C．
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应点的坐标等于K或-K即可求得答案。
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，由题意得：
在 中，
在 中，
设 则
经检验： 符合题意，
故答案为：C.
【分析】由题意得：AD=152，AH=DM=160，∠CAD=37°，根据∠CAD的正切函数可得CD，进而求出CM，设CM=5x，则ME=12x，CE=13x，据此可得CE.
10．【答案】C
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： ，
方程两边同乘 ，得
整理得， ，
由题意得， 是整数，且 ，即 ，
解得： ， ，0，2，3；
解不等式组 得： ，
关于 的不等式组 有且只有4个整数解，
，
，
则符合条件的所有整数为： ，0，2，3，
符合条件的整数 的个数有4个，
故选： ．
【分析】解出分式方程，根据题意确定 的范围，解不等式组，根据题意确定 的范围，根据分式不为0的条件得到 ，根据题意计算即可．
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设DF=x，则BF=x，CF=8-x，
在Rt△DFC中，DF2=CF2+DC2，
即x2=（8-x）2+42，
解得：x=5，即DF的长为5.
故答案为：C.
【分析】设DF=x，则BF=x，CF=8-x，然后在Rt△DFC中，利用勾股定理求解即可.
12．【答案】B
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过A作GH⊥x轴，过B作BG⊥GH，过C作CM⊥ED于M，
设A(x，﹣ )，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠BAG=∠ADH=∠DCM，
∴△AHD≌△DMC≌△BGA（AAS），
∴BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x，
∴AG＝CM＝DH＝1﹣ ，
∵AH+AQ＝CM，
∴1﹣ ＝﹣ ﹣1﹣x，
解得：x＝﹣2，
∴A(﹣2，2)，CM＝AG＝DH＝1﹣ ＝3，
∵BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x＝1，
∴点E的纵坐标为3，
把y＝3代入y＝﹣ 得：x＝﹣ ，
∴E(﹣ ，3)，
∴EH＝2﹣ ＝ ，
∴DE＝DH﹣HE＝3﹣ ＝ ，
∴S△CDE＝ DE CM＝ × ×3＝ .
故答案为：B.
【分析】过A作GH⊥x轴，过B作BG⊥GH，过C作CM⊥ED于M，设A(x，-)，根据正方形的性质可得AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠ADC＝90°，证明△AHD≌△DMC≌△BGA，得到BG＝AH＝DM＝-1-x，AG＝CM＝DH＝1- ，然后根据AH+AQ＝CM求出x，得到CM、BG的值，进而得到点E的纵坐标为3，把y＝3代入y＝-中可得x的值，进而得到E点的坐标，然后求出EH、DE的值，最后根据三角形的面积公式进行计算.
13．【答案】1
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：
故答案为：1.
【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质及有理数的乘方运算法则分别计算，再根据有理数的加减法法则算出答案.
14．【答案】9.6×107
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：96000千米＝96000000米＝9.6×107米.
故答案为：9.6×107.
【分析】用科学记数法表示绝对值大于等于10的数为a×10n，其中（n等于原数的整数位数减去1，1≤＜10），据此即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表得：
　 3 4 5 6 8 9
3 - 374 375 376 378 379
4 473 - 475 476 478 479
5 573 574 - 576 578 579
6 673 674 675 - 678 679
8 873 874 875 876 - 879
9 973 974 975 976 978 -
∵共有30种等可能的结果，与7组成“中高数”的有12种情况，
∴与7组成“中高数”的概率是： = .
故答案为：.
【分析】列出表格，找出总情况数以及与7组成“中高数”的情况数，然后利用概率公式进行计算.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵BC=2，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴AB=4，AC=2 ，
∴S=2×2 × .
故答案为： .
【分析】易得AB=4，AC=2，然后根据S阴影=S△ABC-S扇形BCD进行计算.
17．【答案】50
【知识点】一次函数的图象；二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设相遇后妈妈返回家的速度是每分钟x米，小蒲的速度为每分钟y米，
由题意得：
解得：
∴相遇后妈妈返回家的速度是每分钟50米.
故答案为：50.
【分析】设相遇后妈妈返回家的速度是每分钟x米，小蒲的速度为每分钟y米，由题意得：16x+10y=2000，16x+18y=2960，联立求解即可.
18．【答案】19%
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲种蜂蜜每瓶x元，乙种蜂蜜每瓶y元，丙种蜂蜜每瓶z元，
当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，设甲种蜂蜜卖出a瓶，
则： ，整理得：4z=3y+6x①，
当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，设丙种蜂蜜卖出b瓶，
则： ，整理得：z=3x②，
由①②可得：y=2x，
∴当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，设丙种蜂蜜卖出c瓶，
则该公司得到的总利润率为： .
故答案为：19%.
【分析】设甲种蜂蜜每瓶x元，乙种蜂蜜每瓶y元，丙种蜂蜜每瓶z元，当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，设甲种蜂蜜卖出a瓶，根据销售甲、乙、丙三种蜂蜜的总利润除以销售三种蜂蜜的总收入等于利润率列出方程，化简得出4z=3y+6x①，同理得出z=3x②，将②代入①得y=2x，进而即可算出当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，该公司的利润率.
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）有体验吧用平方差和完全平方公式可去括号，在合并同类项即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，再将处发出转化为乘法，然后约分即可求解。
20．【答案】（1）90
（2）126°
（3）解：使用3小时以上的人数为90-32-18-16-2=22，
补全条形统计图如下：
（4）解：使用手机2小时以上人数的百分比为（32+22）÷90×100%=60%，
∴估计每周使用手机的时间在2小时以上的人数人数为：2300×60%=1380（人）.
答：估计假期平均每周使用手机的时间在2小时以上（不含2小时）的有1380人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）∵“查资料”的人数是36人，所占百分比为40%，
∴抽查总人数为36÷40%=90（名），
故答案为：90；
（2）“玩游戏”在扇形图中所占的百分比为：1-40%-18%-7%=35%，
∴“玩游戏”对应的圆心角度数是：360°×35%=126°，
故答案为：126°；
【分析】（1）利用“查资料”的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）利用百分比之和为1求出“玩游戏”在扇形图中所占的百分比，然后乘以360°即可；
（3）根据各组人数之和等于总人数求出使用3小时以上的人数，据此补全条形统计图；
（4）首先求出样本中使用手机2小时以上人数的百分比，然后乘以2300即可.
21．【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF=DE；
（2）解：∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥EF，
∴OP平分∠EOF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证AF=DE，只需证这两条边所在的两个三角形全等。由题意可用HL定理证 Rt△ABF≌Rt△DCE ，则结论可求解；
（2）由（1）中的全等三角形可得∠AFB=∠DEC，由等角对等边可得OE=OF， 再根据等腰三角形的三线合一即可得证。
22．【答案】（1）
（2）解：作图如下，
这个函数的一条性质：函数的图象关于直线 对称；或：当 或 时，函数有最小值
（3）； 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；数学思想；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）将 ， ； ， ； ， 代入 ，
得到： ，解得
，
故答案为： ；
（2）如图：
函数关于直线 对称，
（3）①当 时， ，
时直线 与函数 有三个交点，
故答案为：1；
② 与 的交点为 或 或x=3，
结合图象， 的解集为 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】（1）将x=0、y=-3；x=4、y=-3；x=1、y=0代入可得a、b、c的值，据此可得函数表达式；
（2）利用描点、连线即可作出函数的图象，根据对称性写出一条性质即可；
（3）①利用数形结合法进行解答；
②y=x-3与y=x2-4x-3的交点为x=0或x=5或x=3，找出函数 的图象在y=x-3的图象的下方部分及交点的自变量的取值范围即可.
23．【答案】（1）解：162 ；
设m= （1≤q≤9，1≤p≤9，且p、q为整数），
则 ，
∵ 完全平方数，
∴ 为完全平方数，
∴1≤q≤p≤9，且p、q为整数，
∴0＜p-q≤8，
∴ 或4，
当 时， ，
当 时， ，
∴F（m）=81或324；
（2）解：由题意知：s= ，t= （1≤b≤a≤9，1≤x、y≤5，且 为整数），
∴ ， ，
∵ 能被 整除，
∴ 为整数，
又∵1≤b≤a≤9，
∴0＜a-b≤8，
∴ ，
∴ ， ，或 ， ，
∴ 或81.
又∵ ，
∴81（a-b）+81（x-y）-81y=162，即：81×7+81（x-y）-81y=162，
∴2y=x+5，
∵1≤x、y≤5且 ，
∴ ， ，或 ， ，
∴ 或34，
将s、t的值代入 计算可得，
∴ ，K（92，34）= ， ， ，
∵ ，
∴Kmax= .
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1） ，
故答案为：162；
【分析】（1）根据定义的新运算可得F(42)=，计算即可； 设m=（1≤q≤9，1≤p≤9，且p、q为整数），则F(m)=81(p-q)，由题意可得：p-q为完全平方数，则p-q=1或4，据此求解；
（2）由题意知：s=，t=（1≤b≤a≤9，1≤x、y≤5，且a、b、x、y为整数），则F(s)=81(a-b)，F(t)=81(x-y)，由题意可得a-b=7，求出a、b的值，进而可得s，根据F(s)+F(t)-81y=162可得2y=x+5，求出x、y，进而可得t，将s、t的值代入K(s，t)中计算出对应的值，然后进行比较即可得到Kmax.
24．【答案】（1）解：方案一：5×100+100×75%×x=(75x+500)元
方案二：100×80%×（x+5）=(80x+400)元
（2）解：75x+500=80x+400
解方程得x=20
答：如果两种方案的付款相同，那么参加夏令营的学生有20人
（3）解：当x=40时，
方案一：75x+500=75×40+500=3500元
方案二：80x+400=80×40+400=3600元
3500＜3600
所以当参加夏令营的学生人数为 名时，选择方案一购票省钱
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）根据两种不同的付款方案分别列出两种方案的购票款即可；（2）按照（1）中列出的方案分别计算出两种方案的联立方程得出答案即可；（3）根据夏令营的学生人数代入计算，比较选择购票付款的最佳方案.
25．【答案】（1）解：把A（-1，0）、B（4，0）、C（0，4）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c得，
，
解得：
故抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4；
（2）解：设P点坐标为（x，-x2+3x+4），如图，
∴四边形COBP的面积=S△COP+ S△BOP= =-2x2+8x+8
∵直线BC平分四边形COBP的面积
∴四边形COBP的面积=2S△COB
即：-2x2+8x+8=
解得x=2
将x=2代入抛物线表达式得y=6
故点P坐标为（2，6）
（3）解：存在
①当AQ为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为 ，
故Q（ ）
②当AN为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为 ，
故Q（ ）
综上所述，Q点坐标为（ )或（ ）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点A、B、C的坐标代入可求出a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）设P（x，-x2+3x+4），则S四边形COBP=S△COP+S△BOP=-2x2+8x+8，根据题意可得S四边形COBP=2S△COB，则-2x2+8x+8=2××4×4，求出x的值，然后将x的值代入抛物线表达式中求出y，据此可得点P的坐标；
（3）①当AQ为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为 ，代入抛物线表达式中求出y，据此可得点Q的坐标；②当AN为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为，代入抛物线表达式中求出y，据此可得点Q的坐标.
26．【答案】（1）解： ， ， ，
∴AB= =5，
∴EC=EF=3，
∴FC= = ；
（2）22.5°、112.5°、45°
（3）解：AE+CF=
连接AP，延长AE交CF于点Q，
由题意可得：∠CEB=∠BAC=90°，
∴A、E、C、B四点共圆，
可得：∠AEB=∠ACB=45°，
且∠CEQ=45°，
∴∠EQC=90°，
可知点A在CF的垂直平分线上，
∴AC=AF=AB，
∵点P是BF中点，
∴AP⊥BF，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴AE= ，
又∵△EFC为等腰直角三角形，
∴CF= ，
∴ + = =AE+CF，
∵BP=PF，
∴AE+CF= .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（2）由题意可知△CMN中不会形成MN=MC的等腰三角形，
①当CM=CN时，
∠CNE= （180°-45°）=67.5°，
∵∠NEC=90°，
∴α=∠ACE=22.5°；
②当CM=CN时，α=∠ACE，
∵∠ACB=45°，
∴∠CNM=∠CMN= ×45°=22.5°，
∵∠CEM=90°，
∴∠ECM=67.5°，
∴α=∠ACE=112.5°；
③当CN=MN时，此时CE与BC共线，
α=∠BCA=45°；
综上：当 是等腰三角形时，α的值为：22.5°、112.5°、45°.
【分析】（1）首先在Rt△ABE中，由勾股定理求出AB，进而得到EC=EF=3，然后在Rt△ECF中，由勾股定理求解即可；
（2）由题意可知△CMN中不会形成MN=MC的等腰三角形，①当CM=CN时，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CNE=67.5°，然后根据α=90°-∠CNE进行计算；②当CM=CN时，根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠CNM=∠CMN=22.5°，由内角和定理可得∠ECM=67.5°，然后根据α=∠CEM+∠CMN进行计算；③当CN=MN时，此时CE与BC共线，α=∠BCA=45°，据此解答；
（3）连接AP，延长AE交CF于点Q，由题意可得A、E、C、B四点共圆，则∠AEB=∠ACB=45°，推出点A在CF的垂直平分线上，得到AC=AF=AB，由等腰三角形的性质可得AP⊥BF，根据等腰直角三角形的性质可得AE=PE，CF=EF，然后将两式相加结合BP=PF可得结论.
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