中小学教育资源及组卷应用平台
2.1 多边形(2)教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：2
课 题 多边形的外角和 课型 新授课
教学目标 1. 理解多边形的外角、外角和概念； 2. 能通过探索得出任意多边形的外角和等于360°； 3. 能利用n边形的内角和公式、外角和解答有关多边形的角和边数问题； 4. 了解四边形的不稳定性及其在生活中的应用.
教学重点 1. 探索任意多边形的外角和等于360°； 2. 利用n边形的内角和公式、外角和解答有关多边形的角和边数问题。
教学难点 1. 探索任意多边形的外角和等于360°； 2. 综合运用n边形的内角和公式、外角和求多边形的角和边数。
教 学 活 动
一、温故知新 师问生答，PPT展示 1、 从n边形的一个顶点出发，可以作多少条对角线？这些对角线把n边形分成多少个三角形？ PPT：可以作(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)个三角形。 2、 n边形的内角和公式是什么？ PPT：n边形的内角和公式是(n-2)·180°. 3、 什么叫作三角形的外角？ PPT：三角形的一个角的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角. 4、 三角形的内角和、外角和分别是多少？ PPT：三角形的内角和等于180°，外角和等于360°. 5、 如图，∠ACD和∠1分别是△ABC的顶点C处的外角和内角，你能说出∠ACD=∠A+∠B的道理吗？ PPT： ∵ ∠ACD+∠1=180°， ∠A+∠B+∠1=180°， ∴ ∠ACD-∠A-∠B=0. ∴ ∠ACD=∠A+∠B. 指出：八数上册，我们就这样利用三角形一个顶点处内角与外角互补及三角形的内角和定理，推出了三角形的外角定理.今天的学习我们也可以利用这个知识点。 二、教学新知 （一）教学外角与外角和的概念 什么叫作多边形的外角呢？什么是多边形的外角和呢？ 师：多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角. 教师展示图形，指出：如右图，∠EDF是五边形ABCDE的一个外角 师：在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和. （二）探索多边形的外角和 【问题1】我们已经知道三角形的外角和为360°，那么四边形的外角和为多少度呢？ 1、 教师启发：能不能利用多边形的顶点处的外角与内角互补进行探究呢？ 2、 学生讨论，并指名阐述想法。 3、 教师讲解(同时用PPT展示)： 如图，在四边形每个顶点处的取一个外角，如∠1，∠2，∠3，∠4. ∵ ∠1+∠DAB=180°，∠2+∠ABC=180°， ∠3+∠BCD=180°，∠4+∠ADC=180°， 又 ∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360， ∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°-360°=360°. ∴ 四边形的外角和为360°. 【问题2】三角形的外角和是360°，四边形的外角和是360°，n边形(n为不小于3的任意整数)的外角和都是360°吗？n边形的外角和与边数有关系吗？ 1、 学生分组讨论 类似于求四边形外角和的思路，在n边形的每一个顶点处取一个外角，则每一个外角与它相邻的内角之和为180°. 因此，这n个外角与跟它相邻的内角之和加起来是n·180°. 将这个总和减去n边形的内角和(n-2)×180°所得的差即为n边形的外角和. 2、 教师边讲解边用PPT展示 因此，n边形的外角和为： n·180°-(n-2)·180° =[n-(n-2)]·180° =2×180° =360°. 从计算结果可以看出，n边形的外角和与边数无关，总是等于360°. 3、 展示结论： 任意多边形的外角和等于360°. 三、讲解例题 例2 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？ 解：设多边形的边数为n，则它的内角和等于(n-2)·180°. 由题意得 (n-2)×180°=360°×5， 解得 n = 12. 所以这个多边形是一个十二边形. 四、合作探究 观察：三角形具有稳定性，那么四边形呢？用4根木条钉成如图的木框，随意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？ 生：我们发现四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形具有不稳定性. 师：在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如图(a)中的电动伸缩门、图(b)中的升降器. 有时又要克服四边形的不稳定性，例如在下图中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了利用三角形的稳定性. 五、巩固练习 1、 (临沂中考)一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） A. 108° B. 90° C. 72° D. 60° 【答案】C 【解析】设正多边形的边数为n，则(n-2)×180°=540°，解得，n=5，则这个多边形是五边形，它的每一个外角为360÷5=72°，故选C. 2、 (莱芜中考)一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】设该多边形的边数为n，则(n-2)×180=360×2+180，解得n=7.该多边形的对角线的条数为，故选C。 六、课堂总结 教师提问，学生回答，并展示下面知识要点 1、 n边形的的内角和公式是什么？任意多边形的外角和都是多少度？ n边形的内角和公式是(n-2)×180°，任意多边形的外角和都等于360°. 2、 正n边形的每一个外角等于多少度？每一个内角呢？ 正n边形的每一个外角等于度，每一个内角等于×180°· 七、作业布置 第38页课后练习第1、2题： 1、 一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？ 解：360÷45=8， 180°-45°=135°. 答：这个多边形是八边形，每个内角是135°. 2、 如图，求图中x的值. 解：由多边形的外角和得， 3x+90×2=360， 解得 x=60. 第39页习题2.1第6、7题： 6、 (1)如果两个多边形的边数相差1，那么两个多边形的内角和相差多少？ (2)如果两个多边形的边数相差1，那么两个多边形的外角和有什么关系？ 解 (1)相差180°，因为边数相差1，则从一个顶点出发所作的对角线把多边形分成的三角形相差1. (2)两个多边形的外角和相等.因为多边形的外角和与边数无关，都等于360°. 7、 如图为正n边形的一部分，AB和DC延长后相交于点P，若∠BPC=120°，求n. 解 ∵ 正n边形的每一个外角相等， ∴ ∠PBC=∠PCB. 又∵ ∠BPC=120°， ∠BPC∠PBC+∠PCB=180°， ∴ ∠PBC=∠PCB=30°. ∵ 正n边形的外角和等于360°， ∴ n=360÷30=12.
板书设计 多边形的外角和 1、 多边形的外角及外角和概念 2、 任意多边形的外角和等于360°.
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共26张PPT)
2.1 多边形(2)
湘教版 八年级下
教学目标
1. 理解多边形的外角、外角和概念；
2. 能通过探索得出任意多边形的外角和等于360°；
3. 能利用n边形的内角和公式与外角和解答问题；
4. 了解四边形的不稳定性及其在生活中的应用.
新知导入
1.从n边形的一个顶点出发，可以作多少条对角线？这些对角线把n边形分成多少个三角形？
可以作(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)个三角形。
2.n边形的内角和公式是什么？
n边形的内角和公式是(n-2)·180°.
新知导入
3.什么叫作三角形的外角？
三角形的一个角的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.
4.三角形的内角和、外角和分别是多少？
三角形的内角和等于180°，外角和等于360°.
新知导入
5. 如图，∠ACD和∠1分别是△ABC的顶点C处的外角和内角，你能说出∠ACD=∠A+∠B的道理吗？
∵ ∠ACD+∠1=180°，
∠A+∠B+∠1=180°，
∴ ∠ACD-∠A-∠B=0.
∴ ∠ACD=∠A+∠B.
八数上册，我们就这样利用三角形一个顶点处内角与外角互补及三角形的内角和定理，推出了三角形的外角定理.
新知讲解
什么叫作多边形的外角呢？什么是多边形的外角和呢？
多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角.
如右图，∠EDF是五边形ABCDE的一个外角.
在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和.
我们已经知道三角形的外角和为360°，那么四边形的外角和为多少度呢？
动脑筋
新知讲解
如图，在四边形每个顶点处的取一个外角，如∠1，∠2，∠3，∠4.
∵ ∠1+∠DAB=180°，∠2+∠ABC=180°，
∠3+∠BCD=180°，∠4+∠ADC=180°，
又 ∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360，
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°-360°=360°.
∴ 四边形的外角和为360°.
新知讲解
三角形的外角和是360°，四边形的外角和是360°，n边形(n为不小于3的任意整数)的外角和都是360°吗？
n边形的外角和与边数有关系吗？
探究
新知讲解
因此，这n个外角与跟它相邻的内角之和加起来是n·180°.
类似于求四边形外角和的思路，在n边形的每一个顶点处取一个外角，则每一个外角与它相邻的内角之和为180°.
将这个总和减去n边形的内角和(n-2)×180°所得的差即为n边形的外角和.
新知讲解
n·180°-(n-2)·180°
=[n-(n-2)]·180°
=2×180°
=360°.
因此，n边形的外角和为：
从计算结果可以看出，n边形的外角和与边数无关，总是等于360°.
新知讲解
由此得到：
任意多边形的外角和等于360°.
新知讲解
例题讲解
例2 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？
解 设多边形的边数为n，则它的内角和等于(n-2)·180°.
由题意得
(n-2)×180°=360°×5，
解得 n = 12.
所以这个多边形是一个十二边形.
合作探究
三角形具有稳定性，那么四边形呢？用4根木条钉成如图的木框，随意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？
观察
合作探究
我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形具有不稳定性.
在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如图(a)中的电动伸缩门、图(b)中的升降器.
合作探究
有时又要克服四边形的不稳定性，例如在下图中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了利用三角形的稳定性.
合作探究
巩固练习
C
1. (临沂中考)一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A. 108° B. 90°
C. 72° D. 60°
解析 设多边形的边数为n，则(n-2)×180°=540°，解得，n=5，则这个多边形是五边形，它的每一个外角为360÷5=72°，故选C.
巩固练习
2. (莱芜中考)一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ）
A. 12 B. 13
C. 14 D. 15
C
解析 设该多边形的边数为n，则(n-2)×180=360×2+180，解得n=7.该多边形的对角线的条数为=14，选
C.
课堂总结
1.n边形的的内角和公式是什么？任意多边形的外角和都是多少度？
n边形的内角和公式是(n-2)×180°，任意多边形的外角和都等于360°.
2.正n边形的每一个外角等于多少度？每一个内角呢？
正n边形的每一个外角等于度，
每一个内角等于×180°·
作业布置
第38页课后练习第1、2题：
1. 一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？
解：360÷45=8，
180°-45°=135°.
答：这个多边形是八边形，每个内角是135°.
作业布置
2. 如图，求图中x的值.
解 由多边形的外角和得，
3x+90×2=360，
解得 x=60.
作业布置
第39页习题2.1第6、7题：
6. (1)如果两个多边形的边数相差1，那么两个多边形的内角和相差多少？
(2)如果两个多边形的边数相差1，那么两个多边形的外角和有什么关系？
解 (1)相差180°，因为边数相差1，则从一个顶点出发所作的对角线把多边形分成的三角形相差1.
(2)两个多边形的外角和相等.因为多边形的外角和与边数无关，都等于360°.
作业布置
7. 如图为正n边形的一部分，AB和DC延长后相交于点P，若∠BPC=120°，求n.
解 ∵ 正n边形的每一个外角相等，
∴ ∠PBC=∠PCB.
又∵ ∠BPC=120°，
∠BPC∠PBC+∠PCB=180°，
∴ ∠PBC=∠PCB=30°.
∵ 正n边形的外角和等于360°，
∴ n=360÷30=12.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
