人教A版（2019）选修第三册第八章第二节一元线性回归模型及其应用word版含答案

人教A版（2019） 选修第三册 第八章 第二节 一元线性回归模型及其应用
一、单选题
1．对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，y的估计值为（ ）
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 80
A．210 B．210.5 C．211.5 D．212.5
2．已知x与y之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
则y与x的线性回归方程必过（ ）A． B． C． D．
3．如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）
A．相关系数r变大 B．残差平方和变大
C．R2变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
4．用模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性方程为，则（ ）
A． B． C． D．
5．某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表所示：根据表中的数据可得回归直线方程，，以下说法正确的是（ ）
广告支出费用 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9
销售量 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2
A．第三个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果一般
B．第三个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果较好
C．销售量的多少有96%是由广告支出费用引起的
D．销售量的多少有4%是由广告支出费用引起的
6．工人月工资(元)关于劳动生产率x(千元)的回归方程为，下列说法中正确的个数是(　　)
①劳动生产率为1000元时，工资为730元；
②劳动生产率提高1000元，则工资提高80元；
③劳动生产率提高1000元，则工资提高730元；
④当月工资为810元时，劳动生产率约为2000元．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．某大型电子商务平台每年都会举行“双11”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2010年到2018年共9年“双11”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x（2010年作为第1年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法错误的是（ ）
A．销售额y与年份序号x呈正相关关系
B．根据三次多项式函数可以预测2019年“双11”当天的销售额约为2684.54亿元
C．三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
D．销售额y与年份序号x线性相关不显著
8．下列有关线性回归分析的六个命题：
①线性回归直线必过样本数据的中心点；
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③当相关性系数时，两个变量正相关；
④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1；
⑤残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；
⑥甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好.
其中真命题的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）
A．在对分类变量和进行独立性检验时，随机变量的值越大，则“与有关”可信程度越小
B．在经验回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，响应变量增加0.1个单位
C．两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
D．在回归分析模型中，若越大，则模型的拟合效果越好
三、解答题
10．如图甲是某商店2018年（按360天计算）的日盈利额（单位：万元）的统计图.
（1）请计算出该商店2018年日盈利额的平均值（精确到0.1，单位：万元）：
（2）为了刺激消费者，该商店于2019年1月举行有奖促销活动，顾客凡购买一定金额的高品后均可参加抽奖.随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店对前5天抽奖活动的人数进行统计如下表：（表示第天参加抽奖活动的人数）
1 2 3 4 5
50 60 70 80 100
经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系.
（ⅰ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程：
（ⅱ）该商店采取转盘方式进行抽奖（如图乙），其中转盘是个八等分的圆.每位顾客最多两次抽奖机会，若第一次抽到奖，则抽奖终止，若第一次未抽到奖，则再提供一次抽奖机会.抽到一等奖的奖品价值128元，抽到二等奖的奖品价值32元.若该商店此次抽奖活动持续7天，试估计该商店在此次抽奖活动结束时共送出价值为多少元的奖品（精确到0.1，单位：万元）？
（3）用（1）中的2018年日盈利额的平均值去估计当月（共31天）每天的日盈利额.若商店每天的固定支出约为1000元，促销活动日的日盈利额比平常增加20%，则该商店当月的纯利润约为多少万元？（精确到0.1，纯利润=盈利额-固定支出-抽奖总奖金数）
参考公式及数据：，，，.
11．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组对应数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)请画出表中数据的散点图，并求出y关于x的线性回归方程；
(2)已知该厂技术改造前产品的生产能耗为标准煤，试根据（1）中求出的线性回归方程，预测该厂技术改造后产品的生产能耗比技术改造前降低了多少t标准煤．
12．已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于不重合的A、B两点，O是坐标原点，且三点A、B、O构成三角形．
（1）求k的取值范围；
（2）三角形ABO的面积为S，试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；
（3）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．
13．中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油田区块的开采权，集团在某些区块随机初步勘探了部分旧井，取得了地质资料． 进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井．以节约勘探费用．勘探初期数据资料见下表：
井号 1 2 3 4 5 6
坐标
钻探深度 2 4 5 6 8 10
出油量 40 70 110 90 160 205
（1）号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为，求，并估计的预报值；
（2）现准备勘探新井7，若通过1、3、5、7号井计算出的的值与（1）中的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？
（3）设井出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探并称为优质井，那么在原有的出油量不低于的
井中任意勘察3口井，求恰有2口是优质井的概率．
14．已知x∈R，a=x2-1，b=2x+2．
（1）求a+b的取值范围；
（2）用反证法证明：a，b中至少有一个大于等于0．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
求出样本中心，然后确定回归直线方程，即可求解预测当时，的估计值．
【详解】
由题意可知：，
．
∵回归直线方程经过样本中心，∴，，
回归直线方程为：，
当时，的估计值为：．
故选：C．
2．D
【解析】
【分析】
利用线性回归方程必过样本中心点即可判断.
【详解】
因为，，
所以y与x的线性回归方程必过.
故选：D
3．B
【解析】
【分析】
根据图中的点，计算去掉前后的相关系数、残差平方和、，即可判断各选项的正误.
【详解】
由图，，，则，，，
∴相关系数.
令回归方程，则，
∴，即回归方程为，可得为，，，，，
∴残差平方和，故，
去掉后，
，，则，，，
∴相关系数.
∴，A、D正确；
令回归方程，则，
∴，即回归方程为，可得为，，，，
∴残差平方和，故，
∴，B错误，C正确；
故选：B
4．C
【解析】
【分析】
两边同时取对数后可得，结合题意即可得解.
【详解】
，两边同时取对数得，
令，则，，.
故选：C.
【点睛】
本题考查了非线性回归方程和对数的运算性质，属于基础题.
5．C
【解析】
【分析】
利用回归模型可计算残差，结合相关指数可判断AB的正误，根据相关指数的意义可判断CD的正误.
【详解】
时，残差为，而，故拟合效果较好，故AB错误.
因为，故销售量的多少有96%是由广告支出费用引起的，故C正确，D错误.
故选：C.
6．C
【解析】
【详解】
对于①当劳动生产率为1000元时，工资为元，故①正确；对于②劳动生产率提高1000元，则工资提高80元正确；故③错误；对于④当月工资为810元时，由得，即劳动生产率约为2000元，故④正确；故选C.
7．D
【解析】
【分析】
采用注意验证法，通过散点图，根据相关系数以及图形的增长情况，简单判断即可.
【详解】
散点从左下到右上分布，所以销售额y与序号x呈正相关关系，故A正确；
令，由三次多项式函数得2684.54，
所以2019年“双11”当天的销售额约为2684.54亿元，故B正确；
用三次多项式曲线拟合的相关指数，而一次归直线拟合的相关指数，相关指数越大拟合效果越好，故C正确；
因为相关系数非常接近1，
故销售额y与年份序号x线性相关显著，故D错误，
故选：D.
【点睛】
本题考查散点图的应用以及相关系数的应用，识记概念，考查观察能力，属基础题.
8．B
【解析】
【详解】
分析：根据线性回归方程的几何体特征及残差，相关指数的概论，逐一分析四个选项的正误，可得结论.
详解：①线性回归直线必过样本数据中心点，故①正确；
②回归直线方程在散点图中可能不经过任意样本数据点，故②错误；
③当相关性系数时，则两个变量正相关，故③正确；
④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1或，故④错误；
⑤残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，故⑤错误；
⑥甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好，故⑥错误，
真命题的个数为，故选B.
点睛：本题以命题的真假判断为截体，考查了相关关系，回归分析、残差、相关指数等知识点，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，难度不大，属于基础题.
9．CD
【解析】
【分析】
根据独立检验，回归直线，线性相关系数等知识依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
由题意得，根据的值越大，分类变量的有关联的可信度就越大，所以A是错误的；
根据线性回归方程中回归系数的含义，可知在线性回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，响应变量平均增加0.1个单位，B是错误的；
根据相关系数的计算公式可知，相关系数的绝对值越接近1，两个变量的相关性就越强，所以C是正确的；
根据回归分析的基本思想可知越大，则模型的拟合效果越好，D是正确的．
故选：CD．
10．（1）1.3（万元）；（2）（ⅰ），（ⅱ）2.3万元；(3)36.7万元
【解析】
【分析】
（1）由总天数360列方程，求出统计图中的值，然后计算日盈利额的平均值即可；（2）（ⅰ）算出，结合参考公式和数据，即可求出线性回归方程；（ⅱ）由转盘分布可知，顾客每次抽到一二三等奖的概率均为，无奖的概率为，设一位参加抽奖的顾客获得的奖品价值元，则的取值可能为128、32、0，然后分别求出其概率，列出分布列求出方程，由线性回归方程估算出第6、7两天的人数，然后加上前5天人数得到抽奖总人数，再乘以每位顾客中奖奖品价值的期望值即可；（3）由（1）中的日盈利额的平均值乘以天数31，再加上促销日额外多出的盈利额即为总盈利额，再减去固定总支出，以及（2）中得出的抽奖总奖金数即可.
【详解】
（1）由题意可知：，解得.
所以日盈利额的平均值为
（万元）.
（2）（ⅰ），
，
，
所以.
（ⅱ）由转盘分布可知，顾客每次抽到一二三等奖的概率均为，无奖的概率为
设一位参加抽奖的顾客获得的奖品价值元，则的分布列为：
，，，
128 32 0
故（元）
由于关于的线性回归方程为，得时，时，则此次活动参加抽奖的总人数约为，
该商店在此次抽奖活动结束时共送出的奖品总价值为万元
（3）当月的纯利润约为（万元），故该商店当月的纯利润约为36.7万元.
【点睛】
本题考查了最小二乘法求线性回归方程，离散型随机变量的期望，用统计知识分析估算实际问题，属于中档题.
11．(1)散点图见解析，回归直线方程为.
(2)
【解析】
【分析】
（1）画出散点图，利用回归直线方程计算公式计算出回归直线方程.
（2）结合回归直线方程计算出降低的数值.
(1)
散点图如下图：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
，
，
，
所以.
(2)
改造后能耗为，
故减少了.
12．（1）且；（2）S=（且）； （3）S的最大值为2，取得最大值时.
【解析】
【分析】
（1）解不等式(2)先求出dOM=和|AB|，再将S表示成k的函数，并求出它的定义域.(3) 设k2+1=t（t≥1），则,再利用二次函数的图像和性质求函数的最大值和k的值.
【详解】
（1）由题意，dOM= ，
∵三点A、B、O构成三角形，
∴，
∴﹣1＜k＜1且k≠0.
（2）直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0，
∴dOM=，
∴|AB|=，
∴S=dOM= = （且）；
（3）设k2+1=t（t≥1），则 ，
∴，即t=时，， ，
∴S的最大值为2，取得最大值时．
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角形面积的计算和最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
13．（1）；（2）使用位置最接近的已有旧井；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由回归直线必过平衡点求出回归方程，再令即可预估；（2）先求出的值，验证的值与（1）中的值差是否超过即可；
（3）口井取三口共有取法，其中恰由口是优质井的种，根据古典概型概率公式可求.
【详解】
（1）因为，回归直线必过平衡点，
则，
故回归直线方程为，
当时，，
即的预报值为．
（2）因为，，
所以，
，
即，
均不超过10%，因此使用位置最接近的已有旧井．
（3）易知原有的出油量不低于的井中，
3，5，6这3口井是优质井，2、4这2口井为非优质井，
由题意从这5口井中随机选取3口井的可能情况有：
共10种，
其中恰有2口是优质井的有6种，所以所求概率是．
14．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用配方法，即可求的取值范围；
（2）假设中没有一个不小于0，即 ，所以，与 矛盾，即可得出结论．
【详解】
（1）；
（2）证明：假设中没有一个不小于0，即，所以．
又，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，a，b中至少有一个大于等于0．
【点睛】
本题考查利用配方法求取值范围以及路反证法证明有关命题，属基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页