人教A版（2019）选修第三册第六章第三节二项式定理word版含答案

人教A版（2019） 选修第三册 第六章 第三节 二项式定理
一、单选题
1．设函数，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数
2．设，则二项式的展开式中含项的系数为
A．160 B． C．80 D．
3．已知的展开式的常数项是第七项，则正整数的值为
A．7 B．8 C．9 D．10
4．设n∈N*，则1n80+1n﹣181+1n﹣282+1n﹣383+……+118n﹣1+108n除以9的余数为（ ）
A．0 B．8 C．7 D．2
5．的计算结果精确到个位的近似值为
A．106 B．107 C．108 D．109
6．若的展开式中二项式系数最大的项只有第6项，则展开式的各项系数的绝对值之和为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则的展开式中的常数项是（ ）
A．15 B．-15 C． D．
8．已知，若，则（ ）
A．1 B．-1 C．-81 D．81
9．在的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．第3项和第4项 B．第4项和第5项 C．第3项 D．第4项
10．若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为
A． B．1 C．27 D．
11．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．若能被13整除，则实数的值可以为（ ）
A．0 B．11 C．12 D．25
13．对任意实数，有.则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．(多选题)若二项式展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为（ ）
A．1 B．－1
C．2 D．－2
15．的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
三、双空题
16．已知，得___________若，则a=___________.
四、填空题
17．已知的展开式中第3项为常数项，则这个展开式中各项系数的绝对值之和为_________．（用数字作答）
18．若，，则______．
19．若的展开式中常数项为－12，则a=____．
20．数列中，，（），则________
21．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则项的系数等于 __________．
22．已知关于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为_________.
23．已知正整数，若的展开式中不含项，则的值为_________．
五、解答题
24．在二项式的展开式中，______给出下列条件：
①若展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为7：2；
②所有偶数项的二项式系数的和为256；
③若展开式前三项的二项式系数的和等于46．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式的常数项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
25．已知各项均为不为零的数列满足，前项的和为，且，，，数列满足，.
（1）求，；
（2）求；
（3）设有穷数列，的前项和为，是否存在，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
26．己知多项式的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5.
（1）求n的值；
（2）求的展开式中含项的系数.
27．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等．
（1）求的值；
（2）求第4项与第8项的系数之和．
28．在二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且展开式中的前三项的系数成等差数列．
（1）求出展开式中的项；
（2）求出展开式中系数最大的项．
29．已知（常数，且）.
（1）若，，，记，
求：①；②.
（2）若展开式中不含的项的系数的绝对值之和为729，不含的项的系数的绝对值之和为64，求的所有可能值.
30．已知展开式中，第5，6，7项的二项式系数成等差数列．求展开式中系数最大的项．
31．有些家用电器（如冰箱等）使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量.
（1）随时间t的增加，臭氧的含量是增加还是减少？
（2）试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失.（用计算器计算）
32．已知的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小，求展开式中奇数项的二项式系数的和．
33．已知(3x－1)7＝a0x7＋a1x6＋a2x5＋a3x4＋a4x3＋a5x2＋a6x＋a7.
(1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7的值；
(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＋|a7|的值；
(3)求a1＋a3＋a5＋a7的值．
34．设，，.
（1）化简：；
（2）已知.记.证明：能被整除.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
根据即可根据基本不等式得出，从而可得出，并且时取等号，从而得出有最大值，由对勾函数的图象知在没有单调性，从而得出正确的选项.
【详解】
，，当且仅当，即
时取等号，有最大值，又由对勾函数的图象可知在上不具
单调性.
故选：A.
【点睛】
本题考查对勾型函数的性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.
2．A
【解析】
先由微积分基本定理求出，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.
【详解】
因为，
所以展开式的通项公式为，
令得，
所以含项的系数为.
故选A
【点睛】
本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理以及微积分基本定理即可，属于常考题型.
3．B
【解析】
【详解】
第七项为，故.
4．A
【解析】
【分析】
直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论.
【详解】
解：因为C1n80+C1n﹣181+C1n﹣282+C1n﹣383+……+C118n﹣1+C108n＝（1+8）n＝9n；
故除以9的余数为0；
故选：A.
【点睛】
本题考查二项式定理及应用，解题时需注意组合数性质及二项式定理的合理运用，属于基础题.
5．B
【解析】
【分析】
由题得，再利用二项式定理求解即可.
【详解】
∵，
∴.
故选B
【点睛】
本题主要考查利用二项式定理求近似值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．C
【解析】
【分析】
由的展开式中二项式系数最大的项只有第6项，求得，结合二项展开式的通项，合理赋值，即可求解.
【详解】
由的展开式中二项式系数最大的项只有第6项，可得，
即二项式，则展开式的通项为，
令，可得
即展开式的各项系数的绝对值之和为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中根据二项展开式的性质，求得的值，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
7．A
【解析】
设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，根据球、圆柱的体积与表面积公式求出，，从而得到，再
【详解】
解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的体积，球的体积，所以.又圆柱的表面积为，球的表面积为，所以，，，展开式的通项，令，解得，其常数项为.
故选：A
【点睛】
(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
8．B
【解析】
【分析】
先令，求得，再令求得，然后令求得所求表达式的值.
【详解】
令，得；令，得，所以，即；令，得.故选B.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力.属于基础题.
9．D
【解析】
【分析】
根据二项式系数的定义计算二项式展开式中各项的二项式系数，进而确定二项式系数最大的项
【详解】
二项式展开式中第项的二项式系数为
所以题中二项式展开式的第项的二项式系数为
时，；时，；时，；
时，；时，；
时，；时，.
所以时二项式系数最大，即第四项的二次项系数最大，答案D正确.
故选：D.
10．A
【解析】
【详解】
依题意二项式系数和为.故二项式为，令，可求得系数和为.
11．D
【解析】
【分析】
计算6位选手演讲的排法有，然后计算甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为，最后简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：6位选手演讲的排法有
甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为
所以所求概率为
故选：D
【点睛】
本题主要考查排列、组合的应用，重在审清题意，排列、组合方法：特殊元素法，特殊位置法，捆绑法，插空法等，熟练使用，属基础题.
12．CD
【解析】
【分析】
利用二项式展开可判断.
【详解】
∵
，
又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除，
∴，，结合选项可知CD满足．
故选：CD.
13．ACD
【解析】
【分析】
令，将原式化为，再利用赋值法计算A、C、D，由展开式的通项计算B；
【详解】
解：因为
令，则，所以，
其中展开式的通项为，令，即，所以，所以，故B错误；
令，则，故A正确；
令，则，故C正确；
因为，所以
，故D正确；
故选：ACD
14．AB
【解析】
先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于0，求出的值，即可求得展开式中的常数项，结合常数项为列方程求解即可.
【详解】
二项式展开式的通项为，
，
令，得，
常数项为，
，得，故答案为.
故选：AB
【点睛】
关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
15．BC
【解析】
根据n＝11为奇数，由展开式中第项和第项相等且最大求解.
【详解】
因为n＝11为奇数，
所以展开式中第项和第项，
即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.
故选：BC
16．
【解析】
【分析】
令得，
用赋值法求得展开式中奇数项与偶数项的系数和及所有项的系数和，代入后可求得．
【详解】
，
在中
令得（1），
令得（2）．
所以
，，又，所以．
故答案为：；．
17．
【解析】
【分析】
根据第三项为常数可知该项得指数为0，解得，的展开式中各项系数的绝对值之和与的展开式中各项系数之和相等故可得答案.
【详解】
解：由题意得：
，
又的展开式中各项系数的绝对值之和与的展开式中各项系数之和相等
当取，得的展开式中各项系数之和为．
故答案为：
18．或
【解析】
【分析】
直接根据三角函数值求角即可
【详解】
解：若，，
则，或者.
故答案为：或
19．-1
【解析】
【分析】
由的展开式通项为：，可得的展开式中常数项为：=-12，计算可得答案.
【详解】
解：的展开式通项为：，
的展开式中常数项为：，
a=-1.
故答案：-1.
【点睛】
本题主要考查二项式的通项的应用，考查学生的运算求解能力，需注意运算的准确性.
20．454
【解析】
由，结合等比数列的定义和通项公式可求出，结合二项式定理可求出的值.
【详解】
解：因为，所以以为首项，
为公比的等比数列，所以，所以，
则
又
，
，所以原式，
故答案为：454.
【点睛】
关键点睛：本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量.
21．112
【解析】
【分析】
首先确定的值，然后结合二项式定理展开式的通项公式可确定项的系数.
【详解】
由题意可得：，解得：，
故所给的二项式展开式的通项公式为：
，
令可得，
故项的系数等于.
故答案为．
【点睛】
二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
22．
【解析】
【详解】
【分析】
试题分析：因为只有第项的二项式系数最大，所以 ，
因此展开式的系数之和为
考点：二项式系数性质
23．8
【解析】
【分析】
利用二项式定理展开求系数即可.
【详解】
，且的展开式的通项为
中的系数为，中的系数为
故的展开式中的项系数为
故，解得：
故答案为：8
【点睛】
方法点睛：本题考查求二项式定理展开式项的系数，解题的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
24．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
根据所选的项，结合所给条件分别有①，②，③，求n值，均为.
（1）将代入二项式确定展开式通项，令的指数为0时求，进而求出常数项；
（2）将代入并写出展开式通项，利用不等式法求出系数绝对值最大项对应的值，即可确定系数绝对值最大的项．
【详解】
由二项式知：展开式通项为，
①第5项与第3项的二项式系分别为、，故，
∴，整理得，又，解得.
②所有偶数项的二项式系数的和为，可得.
③前三项的二项式系数为，解得.
（1）由上知：展开式通项为，
当，有时，常数项为.
（2）由上知：的展开项通项为，
∴故展开式中系数绝对值为，由题设，解得，
∴，即第7项系数绝对值最大，.
25．（1）2、3；（2）；（3）不存在，理由见解析.
【解析】
（1）由数列与的关系化简可得，进而可得、，即可得解；
（2）由可得，利用累加法可得当为奇数时，，进而可得；
（3）由组合数的知识可得，再由分组求和法结合二项式系数的性质可得，即可得解.
【详解】
（1）由题意，，
又数列各项均为不为零，所以，
因为，所以，；
所以，；
（2）由（1）得，
所以，即，
当且为奇数时，
，
满足上式，
当为偶数时，为奇数，则；
所以；
（3）由（2）知，
，符合上式，
因为，
所以
，
则，所以为奇数，
所以不存在，使得成立.
【点睛】
本题考查了数列与关系的应用，考查了组合数的计算及二项式系数性质的应用，属于中档题.
26．（1）8；（2）.
【解析】
【分析】
（1）写出展开式中第3项 第5项二项式系数分别为，再根据比值得到方程，即可得到答案；
（2）写出展开式通项，再令或，即可得到答案；
【详解】
（1）因为多项式的展开式中第3项 第5项二项式系数分别为
又第3项与第5项的二项式系数之比为2：5.所以，
即
化简得，解得或(舍去)：
故n的值为8.
（2）因为展开式通项，
当时，解得；当时，解得(舍).
所以展开式中含项的系数为.
27．（1）10；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据二项式系数可得，根据组合数的性质即可求出结果；
（2）根据二项式的展开式的通项公式以及（1）的结果，分别求出第4项与第8项的系数，即可求出结果.
【详解】
解：
（1）由题意可得：
（2）第4项的系数为：，第8项的系数为：，
∴两项的系数之和为．
28．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据仅有第5项的二项式系数最大求出，根据前三项的系数成等差数列求出；
（2）设第项系数最大，则，解不等式组即可得解.
【详解】
（1）二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且展开式中的前三项的系数成等差数列，
仅有第5项的二项式系数最大，所以，
二项式的展开式中，通项，
前三项系数成等差数列，所以，
解得：或（舍去）
通项：，，
所以展开式中的项；
（2）设第项系数最大，则解得：，
所以展开式中系数最大的项.
29．（1）①，②；（2）2，3，6
【解析】
【分析】
（1）①根据二项式定理，令，分别求得以及，即可得到结果；
②对求导，令，即可求得结果；
（2）令，以及，再根据可拆分为，，，即可求得结果.
【详解】
（1）当，，，
，
①令，得，
令，得，
所以.
②在中，两边同时对求导，
可得，
令，得.
（2）令得，则，
令得，则，
因为64所有的底数与指数均为正整数的指数式拆分为：，，，
所以当时，，；
当时，，，
当时，，，
故的所有的可能值为2，3，6.
【点睛】
本题考查利用二项式定理求系数和，以及多项式求导，属综合中档题.
30．，
【解析】
【分析】
先根据第5，6，7三项二项式系数之间的关系求出n的值，然后根据二项式定理求出展开式中二项式系数最大的项.
【详解】
因为第5，6，7项的二项式系数成等差数列
所以，
∴
∴或14
当时，的展开式中系数最大的项是第5项，
即
当时，的展开式中系数最大的项是第7项和第9项，
即： ，.
31．（1）随时间t的增加，臭氧的含量是减少．（2）估计278年以后将会有一半的臭氧消失．
【解析】
【分析】
（1）判断函数的单调性可得；
（2）令解得即可得．
【详解】
（1）畎是减函数，是增函数，
所以是减函数，
所以随时间t的增加，臭氧的含量是减少．
（2）令，，，，
，．
估计278年以后将会有一半的臭氧消失
32．
【解析】
【分析】
赋值可得偶次项系数奇次项系数，可解得，再利用奇数项的二项式系数和公式，即得解
【详解】
设，且奇次项系数的和为，偶次项系数的和为，则依题意，可得．
令，得，所以．
所以展开式中奇数项的二项式系数的和为．
33．(1)128;(2)-8128.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）令x＝1，即可得到和；（2）令x=-1即可得到和；（3）分别求出f(1)和f(－1)的值，两式作和即可.
解析：
(1)令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(3×1－1)7＝27＝128.
(2)易得a1，a3，a5，a7为负值，|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝－(－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7)＝－[3×(－1)－1]7＝47.
(3)令f(x)＝(3x－1)7，
则f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7，
f(－1)＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7，
∴2(a1＋a3＋a5＋a7)＝f(1)＋f(－1)＝27－47，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝26－213＝－8 128.
点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数和问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.
34．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用组合排列数的计算公式即可得出.
（2）由（1）得，.由，可得，求和即可得出.
【详解】
（1）解：.
（2）证明：由（1）得，.
因为，
所以，
因为
设，
则，
所以.
所以能被整除.
【点睛】
本题考查了组合排列数的计算公式、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
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