人教A版（2019）选修第三册第七章第五节正态分布word版含答案
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选修第三册第七章第五节正态分布word版含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 295.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-17 17:56:12 | ||
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文档简介
人教A版（2019） 选修第三册 第七章 第五节 正态分布
一、单选题
1．设随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数是正态分布密度函数的是（ ）
A．f(x)=，μ，σ(σ>0)都是实数
B．f(x)=
C．f(x)=
D．f(x)=
3．已知随机变量且，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列是关于正态曲线性质的说法：
①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方；
②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方；
③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称；
④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定.
其中说法正确的是（ ）
A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤
5．设随机变量，若，则
A． B． C． D．
6．设随机变量服从正态分布，函数没有零点的概率是，则等于
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
7．随机变量，则
（参考数据：，，）
A．0．0215 B．0．1359
C．0．1574 D．0．2718
二、多选题
8．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中正确的是（ ）
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学标准差为100
9．下列说法中，正确的命题有（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，，则
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和0.3
C．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
D．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为16
10．设随机变量X~N(0，1)，，其中x>0，则下列等式成立的有（ ）
A．f(-x)=1-f(x) B．
C．f(x)在(0，+∞)上是单调增函数 D．
三、填空题
11．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
四、解答题
12．正态总体当μ=0,σ=1时的概率密度函数是φμ,σ(x)=,x∈R.
(1)证明φμ,σ(x)是偶函数;
(2)求φμ,σ(x)的最大值;
(3)利用指数函数的性质说明φμ,σ(x)的增减性.
13．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）的影响，对近六年的年宣传费和年销售量()的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份（） 2012 2013 2014 2015 2016 2017
年宣传费（万元） 23 25 27 29 32 35
年销售量（吨） 11 21 24 66 115 325
（1）根据散点图判断与，哪一个更适合作为年销售量（吨）与关于宣传费（万元）的回归方程类型；
（2）规定当产品的年销售量（吨）与年宣传费（万元）的比值大于1时，认为该年效益良好，现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好的数量为，试求的所有取值情况及对应的概率；
（3）根据频率分布直方图中求出样本数据平均数的思想方法，求的平均数.
14．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用50元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和数学期望.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据正态分布曲线的对称性计算．
【详解】
由已知，所以．
故选：B．
2．B
【解析】
【分析】
根据正态分布密度函数：f(x)=()，对照式子即可得出结果.
【详解】
对照正态分布密度函数：f(x)=(x∈R)，
指数中的σ和系数的分母中的σ要一致，以及指数部分是一个负数.
故选：B
3．B
【解析】
【分析】
利用正态曲线的对称性直接求解即可
【详解】
由正态曲线的对称性可知且，又，所以．
故选：B
4．A
【解析】
【分析】
根据正态密度曲线的特点和性质逐一判断①②③④⑤的正确性，即可得正确选项.
【详解】
正态曲线关于直线对称，该曲线总是位于轴上方，故①正确；②不正确；
只有当时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于轴对称；此时为标准正态分布，当时，不是偶函数，故③不正确；
正态曲线是一条关于直线对称，在处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，故④正确；
曲线的位置由对称轴确定，曲线的形状由确定，越大，图象越矮胖，越小，图象越瘦高，故⑤正确；
故①④⑤说法正确.
故选：A.
5．A
【解析】
【详解】
由题设可知随机变量服从正太分布的图像关于对称，且，则根据对称性可得，所以，应选答案A．
点睛：正太分布是典型的随机变量的概率分布之一，求解这类问题时先搞清楚其对称性，然后再依据题设条件解答所要解决的问题．求解本题时先依据其对称性求出，然后再运用对立事件的概率公式求出．
6．C
【解析】
【分析】
由二次函数的性质，可得，再根据正态曲线的对称性，即可求解.
【详解】
由题意，当函数没有零点时，，解得，
根据正态曲线的对称性，当函数没有零点的概率是时，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了正态分布的概率的计算，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
7．B
【解析】
【详解】
试题分析：根据正态分布的对称性，有．
考点：正态分布．
8．AC
【解析】
【分析】
首先由正态密度函数的表达式，确定，，判断AD；再结合函数的对称性，判断BC.
【详解】
利用正态密度函数的表达式知，．故A正确，D不正确；利用正态曲线关于直线对称，根据对称性可知，，所以分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数不相同，故B不正确，知，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确．
故选：AC
9．BC
【解析】
【分析】
对于A，利用正态分布的对称性计算判断；对于B，对给定模型取对数比对即得；
对于C，利用残差图的意义即可判断；对于D，利用新数据方差计算公式判断作答.
【详解】
对于A，因，且，于是得
，A不正确；
对于B，由得，依题意得，，即，B正确；
对于C，在做回归分析时，由残差图表达的意义知，C正确；
对于D，依题意，，，，的方差为，D不正确．
故选：BC．
10．ACD
【解析】
【分析】
由正态分布的对称性可知A正确；对于B取特殊值验证即可，由正态曲线及可知C的正误，根据正态分布的对称性判断D.
【详解】
因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称.
对于，因为，所以，故正确；
对于，当时，，而，故错误：
对于，结合正态曲线，易得在上是单调增函数，故正确；
对于，故正确.
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：本题是一道正态分布的概率与函数简单综合题，四个选项利用正态曲线以及函数的定义进行判断是解题的关键，体现数形结合 等价转化的思想，属于中档题.
11．②④##④②
【解析】
【分析】
随机变量服从正态分布，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.
【详解】
因为，所以①不正确；
因为
，
所以②正确，③不正确；
因为，所以，所以④正确.
故答案为：②④.
12．（1）偶函数；（2）1；（3）减函数
【解析】
【详解】
【试题分析】（1）根据奇偶性的定义，，易证得结论成立.（2）当时，函数取得最大值.（3）根据复合函数同增异减可知，在递增，在上递减.
【试题解析】
(1)证明:对于任意的x∈R,φμ,σ(-x)==φμ,σ(x),
所以φμ,σ(x)是偶函数.
(2)解:令z=,当x=0时,z=0,e-z=1;
当x≠0时,>0,ez>1,由于y=ez是关于z的增函数,
所以当x=0(即z=0)时,=e0取得最大值.
这时φμ,σ(x)的最大值为e0=1 .
(3)任取x1<0,x2<0且x1所以,即φμ,σ(x1)<φμ,σ(x2).
它表明当x<0时,φμ,σ(x)是递增的.
又因为φμ,σ(x)是偶函数,所以φμ,σ(x)在(0,+∞)上是减函数.
13．（1）散点图见解析；（2），，，；（3）.
【解析】
【详解】
分析：（1）根据散点图，即可判断出.
（2）由表中数据可知，效益良好有3年，设效益良好年为A、B和C，其他年份为1、2和3，枚举法列出全部可能结果共20种，再分别确定其中满足效益良好的数量为年的种类，进而求出对应的概率；
（3）根据频率分布直方图求样本数据平均数的方法得：，即可求出的平均数.
详解：解：（1）画出散点图易知，方程比较适宜；
（2）易得即6年中有3年是“效益良好年”,
设6年中效益好年份分别为：A,B,C，其他年份为1,2,3则6年中选3年的不同结果有：
ABC,AB1,AB2,AB3,AC1,AC2,AC3,BC1,BC2,BC3,A12,A13,A23,B12,B13,B23,C12,C13,C23，123共20种；
其中有1种，所以，
其中有9种，所以,
其中有9种，所以,
其中有1种，所以,
（3）根据频率分布直方图求样本数据平均数的方法得：
，
答：的平均数.
点睛：本题考查了可线性化回归方程和散点图的关系，考查概率的计算方法和离散型随机变量的平均数的求法，知识跨度较大，解题时要认真审题，主要掌握从已知问题到新领域问题的知识迁移和方法总结.
14．（1）（2）详见解析
【解析】
（1）事件总数是，第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品有 （2）当检验的2件都是次品，则检验2次即结束检验，检验费用为100元；当检验到的3件都是正品时，检验费用是150元，前两次检验到的是一件次品一件正品时，还需进行第三次检验，这时费用也是150元；最多检验4次，费用200元，用即可.
【详解】
解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，
则；
（2）的可能取值为100，150，200，
所以的分布为：
100 150 200
∴
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列、期望，中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．设随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数是正态分布密度函数的是（ ）
A．f(x)=，μ，σ(σ>0)都是实数
B．f(x)=
C．f(x)=
D．f(x)=
3．已知随机变量且，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列是关于正态曲线性质的说法：
①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方；
②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方；
③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称；
④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定.
其中说法正确的是（ ）
A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤
5．设随机变量，若，则
A． B． C． D．
6．设随机变量服从正态分布，函数没有零点的概率是，则等于
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
7．随机变量，则
（参考数据：，，）
A．0．0215 B．0．1359
C．0．1574 D．0．2718
二、多选题
8．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中正确的是（ ）
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学标准差为100
9．下列说法中，正确的命题有（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，，则
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和0.3
C．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
D．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为16
10．设随机变量X~N(0，1)，，其中x>0，则下列等式成立的有（ ）
A．f(-x)=1-f(x) B．
C．f(x)在(0，+∞)上是单调增函数 D．
三、填空题
11．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
四、解答题
12．正态总体当μ=0,σ=1时的概率密度函数是φμ,σ(x)=,x∈R.
(1)证明φμ,σ(x)是偶函数;
(2)求φμ,σ(x)的最大值;
(3)利用指数函数的性质说明φμ,σ(x)的增减性.
13．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）的影响，对近六年的年宣传费和年销售量()的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份（） 2012 2013 2014 2015 2016 2017
年宣传费（万元） 23 25 27 29 32 35
年销售量（吨） 11 21 24 66 115 325
（1）根据散点图判断与，哪一个更适合作为年销售量（吨）与关于宣传费（万元）的回归方程类型；
（2）规定当产品的年销售量（吨）与年宣传费（万元）的比值大于1时，认为该年效益良好，现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好的数量为，试求的所有取值情况及对应的概率；
（3）根据频率分布直方图中求出样本数据平均数的思想方法，求的平均数.
14．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用50元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和数学期望.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据正态分布曲线的对称性计算．
【详解】
由已知，所以．
故选：B．
2．B
【解析】
【分析】
根据正态分布密度函数：f(x)=()，对照式子即可得出结果.
【详解】
对照正态分布密度函数：f(x)=(x∈R)，
指数中的σ和系数的分母中的σ要一致，以及指数部分是一个负数.
故选：B
3．B
【解析】
【分析】
利用正态曲线的对称性直接求解即可
【详解】
由正态曲线的对称性可知且，又，所以．
故选：B
4．A
【解析】
【分析】
根据正态密度曲线的特点和性质逐一判断①②③④⑤的正确性，即可得正确选项.
【详解】
正态曲线关于直线对称，该曲线总是位于轴上方，故①正确；②不正确；
只有当时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于轴对称；此时为标准正态分布，当时，不是偶函数，故③不正确；
正态曲线是一条关于直线对称，在处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，故④正确；
曲线的位置由对称轴确定，曲线的形状由确定，越大，图象越矮胖，越小，图象越瘦高，故⑤正确；
故①④⑤说法正确.
故选：A.
5．A
【解析】
【详解】
由题设可知随机变量服从正太分布的图像关于对称，且，则根据对称性可得，所以，应选答案A．
点睛：正太分布是典型的随机变量的概率分布之一，求解这类问题时先搞清楚其对称性，然后再依据题设条件解答所要解决的问题．求解本题时先依据其对称性求出，然后再运用对立事件的概率公式求出．
6．C
【解析】
【分析】
由二次函数的性质，可得，再根据正态曲线的对称性，即可求解.
【详解】
由题意，当函数没有零点时，，解得，
根据正态曲线的对称性，当函数没有零点的概率是时，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了正态分布的概率的计算，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
7．B
【解析】
【详解】
试题分析：根据正态分布的对称性，有．
考点：正态分布．
8．AC
【解析】
【分析】
首先由正态密度函数的表达式，确定，，判断AD；再结合函数的对称性，判断BC.
【详解】
利用正态密度函数的表达式知，．故A正确，D不正确；利用正态曲线关于直线对称，根据对称性可知，，所以分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数不相同，故B不正确，知，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确．
故选：AC
9．BC
【解析】
【分析】
对于A，利用正态分布的对称性计算判断；对于B，对给定模型取对数比对即得；
对于C，利用残差图的意义即可判断；对于D，利用新数据方差计算公式判断作答.
【详解】
对于A，因，且，于是得
，A不正确；
对于B，由得，依题意得，，即，B正确；
对于C，在做回归分析时，由残差图表达的意义知，C正确；
对于D，依题意，，，，的方差为，D不正确．
故选：BC．
10．ACD
【解析】
【分析】
由正态分布的对称性可知A正确；对于B取特殊值验证即可，由正态曲线及可知C的正误，根据正态分布的对称性判断D.
【详解】
因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称.
对于，因为，所以，故正确；
对于，当时，，而，故错误：
对于，结合正态曲线，易得在上是单调增函数，故正确；
对于，故正确.
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：本题是一道正态分布的概率与函数简单综合题，四个选项利用正态曲线以及函数的定义进行判断是解题的关键，体现数形结合 等价转化的思想，属于中档题.
11．②④##④②
【解析】
【分析】
随机变量服从正态分布，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.
【详解】
因为，所以①不正确；
因为
，
所以②正确，③不正确；
因为，所以，所以④正确.
故答案为：②④.
12．（1）偶函数；（2）1；（3）减函数
【解析】
【详解】
【试题分析】（1）根据奇偶性的定义，，易证得结论成立.（2）当时，函数取得最大值.（3）根据复合函数同增异减可知，在递增，在上递减.
【试题解析】
(1)证明:对于任意的x∈R,φμ,σ(-x)==φμ,σ(x),
所以φμ,σ(x)是偶函数.
(2)解:令z=,当x=0时,z=0,e-z=1;
当x≠0时,>0,ez>1,由于y=ez是关于z的增函数,
所以当x=0(即z=0)时,=e0取得最大值.
这时φμ,σ(x)的最大值为e0=1 .
(3)任取x1<0,x2<0且x1
它表明当x<0时,φμ,σ(x)是递增的.
又因为φμ,σ(x)是偶函数,所以φμ,σ(x)在(0,+∞)上是减函数.
13．（1）散点图见解析；（2），，，；（3）.
【解析】
【详解】
分析：（1）根据散点图，即可判断出.
（2）由表中数据可知，效益良好有3年，设效益良好年为A、B和C，其他年份为1、2和3，枚举法列出全部可能结果共20种，再分别确定其中满足效益良好的数量为年的种类，进而求出对应的概率；
（3）根据频率分布直方图求样本数据平均数的方法得：，即可求出的平均数.
详解：解：（1）画出散点图易知，方程比较适宜；
（2）易得即6年中有3年是“效益良好年”,
设6年中效益好年份分别为：A,B,C，其他年份为1,2,3则6年中选3年的不同结果有：
ABC,AB1,AB2,AB3,AC1,AC2,AC3,BC1,BC2,BC3,A12,A13,A23,B12,B13,B23,C12,C13,C23，123共20种；
其中有1种，所以，
其中有9种，所以,
其中有9种，所以,
其中有1种，所以,
（3）根据频率分布直方图求样本数据平均数的方法得：
，
答：的平均数.
点睛：本题考查了可线性化回归方程和散点图的关系，考查概率的计算方法和离散型随机变量的平均数的求法，知识跨度较大，解题时要认真审题，主要掌握从已知问题到新领域问题的知识迁移和方法总结.
14．（1）（2）详见解析
【解析】
（1）事件总数是，第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品有 （2）当检验的2件都是次品，则检验2次即结束检验，检验费用为100元；当检验到的3件都是正品时，检验费用是150元，前两次检验到的是一件次品一件正品时，还需进行第三次检验，这时费用也是150元；最多检验4次，费用200元，用即可.
【详解】
解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，
则；
（2）的可能取值为100，150，200，
所以的分布为：
100 150 200
∴
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列、期望，中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页