人教A版（2019）选择性必修第三册第六章计数原理单元测试word版含答案

人教A版（2019） 选择性必修第三册 第六章计数原理 单元测试
一、单选题
1．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+anxn，若a0+a1+a2+a3+……+an＝64，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．15x2 B．21x3 C．20x3 D．30x3
2．某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是（ ）
A．24 B．16 C．8 D．12
3．已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为，其展开式中的常数项为，则（ ）
A． B． C． D．
4．从7本书中任意选取2本，不同的选法种数为（ ）．A．84 B．42 C．30 D．21
5．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．240 B．360 C．420 D．960
6．数列6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（ ）
A．190 B．276 C．231 D．325
7．一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（　　）
A．至多能剪成19块“L”形骨牌
B．至多能剪成20块“L”形骨牌
C．最多能剪成21块“L”形骨牌
D．前三个答案都不对
8．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（　　）种．
A．8 B．15 C．18 D．30
9．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为（ ）
A． B． C． D．
10．下列问题中属于排列问题的是（ ）．A．从个人中选出人去劳动
B．从个人中选出2人去参加数学竞赛
C．从班级内名男生中选出人组成一个篮球队
D．从数字5、、、中任取2个不同的数做中的底数与真数
二、双空题
11．展开式中的常数项为________；常数项的二项式系数为________．
12．设集合，，则从到的函数共有__________个；其中满足函数个数共有__________个.
13．安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行毕业生实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有_______种；其中学生甲被单独安排去杭州的概率是_________.
14．已知多项式，则___________，___________.
三、填空题
15．某广场中心建造一个花圃，花圃分成5个部分（如图），现有4种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有_____种．（用数字作答）
16．的展开式中项的系数为___________．
17．的展开式中的系数为_____________．（结果用数字表示）
四、解答题
18．已知，，映射满足，求满足条件的映射的个数．
19．已知展开式的二项式系数的和比展开式的二项式系数的和大128.
（1）求n的值.
（2）求展开式中的系数最大的项和系数最小的项
20．有4个不同的小球，四个不同的盒子，把小球全部放入盒内．
(1)恰有一个盒内有2个小球，有多少种放法？
(2)恰有两个盒内不放小球，有多少种放法？
21．设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列,把排在ai的左边且比ai小的数的个数称为ai的顺序数(i=1,2,…,n).如在排列6,4,5,3,2,1中,5的顺序数为1,3的顺序数为0,则在由1,2,3,4,5,6,7,8这八个数字构成的全排列中,同时满足8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为多少 (结果用数字表示)
22．已知A，B，C，D4个点，其中任意3个点不在同一条直线上，从中取出两点作直线，共能作出多少条直线？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
由题意可得 a0+a1+a2+…+an＝（1+1）n＝64，得 n＝6，由此求得展开式中系数最大的项.
【详解】
因为 a0+a1+a2+…+an＝（1+1）n＝64，得 n＝6，故展开式中系数最大的项是第四项；即x3＝20x3；
故选：C.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题.
2．A
【解析】
根据题意，分3步进行分析：①、用捆绑法分析语文与化学，即将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，②、将这个整体与英语全排列，分析排好后的空位数目，③、在3个空位中安排数学、物理，分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分3步进行分析：
①、要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22＝2种情况，
②、将这个整体与英语全排列，有A22＝2种顺序，排好后，有3个空位，
③、数学与物理不相邻，有3个空位可选，有A32=6种情况，
则不同排课法的种数是2×2×6＝24种；
故选：A．
【点睛】
本题考查排列、组合的综合应用，注意特殊问题如相邻问题与不能相邻问题的处理方法．
3．C
【解析】
【分析】
二项展开式的二项式系数和为，可得，使其通项公式为常数项时，求得，从而得到关于的方程.
【详解】
展开式中各项的二项式系数和为，，得，
，
当时，，解得：.
【点睛】
求二项式定理展开式中各项系数和是用赋值法，令字母都为1；而展开式各项的二项式系数和固定为.
4．D
【解析】
【分析】
利用组合数求解即可.
【详解】
从7本书中任意选取2本，不同的选法种数为
故选：D
5．C
【解析】
可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.
【详解】
由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有种染色方法.
设5种颜色为1，2，3，4，5，当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，
若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；
若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法.
可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有（种）.
故选：C
【点睛】
本题考查分类加法原理、分步乘法原理的综合应用，考查学生的分类讨论的思想、逻辑推理能力，是一道中档题.
6．B
【解析】
【分析】
首先求出数列的通项公式，进一步求出结果．
【详解】
因为数列的各项分别为6，15，28，45，…，所以，，，，
所以，故．
故选：B
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
7．C
【解析】
【分析】
由2×3的6块方格10块和一个田字格组成棋盘，只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即可，所以最多能够剪成21块“L”形骨牌.
【详解】
考虑2×3的6块方格，如图：，每一块这样的骨牌含有2块“L”形骨牌
一共可以剪成10块这样的骨牌，和一个田字格，田字格可以剪1块“L”形骨牌，则一共21块“L”形骨牌.
只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即可，所以一定能够剪成21块“L”形骨牌.
如图所示
故选：C
【点睛】
此题考查根据图形特征结合计数原理求解，根据题目要求合理构造图形即可解题.
8．A
【解析】
【分析】
本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果．
【详解】
由题意知本题是一个分类计数问题，
解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，
一是可以用分析法来证明，有3种方法，
根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果，
故选A．
【点睛】
本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果．
9．C
【解析】
【分析】
分步，第一步乙只能是中间名次，第二步甲除第一名剩下的3个名次中的一个，第三步，其他3人全排列，由分步计数原理可得．
【详解】
先看乙，在中间有一个名次中的一个，有种可能，然后是甲除第一名外剩下的3个名次中的一个，有，最后三人名次任意，有种可能，共的种情况．
故选：C．
10．D
【解析】
根据排列的定义判断．
【详解】
A. 从个人中选出人去劳动，与顺序无关，故错误；
B.从个人中选出2人去参加数学竞赛，与顺序无关，故错误；
C.从班级内名男生中选出人组成一个篮球队，与顺序无关，故错误；
D.从数字5、、、中任取2个不同的数做中的底数与真数，底数与真数位置不同，即与顺序有关，故正确；
故选：D
11． 60 15
【解析】
利用二项式展开式的通项可得答案.
【详解】
由知常数项为，
所以展开式中的常数项为60，
而常数项的二项式系数为，
所以常数项的二项式系数为15．
故答案为：①60；②15.
12． 27 10
【解析】
根据集合中，每个元素在集合都有3种对应方式，可得从到的函数个数；由函数的概念，可分自变量取1，2，3对应同一个函数值，自变量有一个值对应函数值是自身，而另两个对应同一函数值及三个自变量对应的函数值个数自身求得所有函数个数．
【详解】
集合中，每个元素在集合都有3种对应方式，
所以从到的函数共有个；
从到的函数满足，可有以下几类：
①（1）（2）（3），
或（1）（2）（3），
或（1）（2）（3），
共3个．
②（1）；（2）（3），
或（1）；（2）（3），
共2个．
（2）；（1）（3），
或（2）；（1）（3），
共2个．
（3）；（1）（2），
或（3）；（1）（2），
共2个．
③（1）；（2）；（3），
共1个．
综上，这样的函数共有10个．
故答案为：27，10．
【点睛】
本题考查了函数的概念，考查了函数的性质，关键是对题意的理解，同时考查了分类讨论思想的应用，是中档题．
13．
【解析】
【分析】
根据题意，先将5人分为三组，每组的人数可能为1,1,3或者1,2,2，对应的可能情况分别为种和种，再将其分配到三个城市，进而根据乘法原理求解即可得不同的安排方式，再讨论学生甲被单独安排去杭州的有种，最后结合古典概型求解即可.
【详解】
解：先把5人分为三组，每组的人数可能为1,1,3或者1,2,2，
当每组的人数为1,1,3时，共有种情况，
当每组的人数为1,2,2时，共有种情况，
所以把5人分为三组共有种情况，
再将三组人员分配到三个城市，有种，
其中男生学生甲被单独安排去杭州的情况为种，
所以学生甲被单独安排去杭州的概率是.
故答案为：；.
14． 4 -81
【解析】
【分析】
结合二项式的展开式的通项公式分别求出和的各项系数进而可以求出结果.
【详解】
结合二项式的展开式的通项公式可知：
的展开式的通项公式为，
则的系数为；
的展开式的通项公式为，
则的系数为；
因此；
则中的系数为；则中的系数为；因此；
则中的系数为；则中的系数为；因此；
则中的系数为；则中的系数为；因此；
则中的系数为；则中的系数为；因此；
则中的系数为 ；因此；
则
故答案为：.
15．72
【解析】
【详解】
试题分析：根据题意，分析可得本题是分类计数问题，分2种情况讨论，当选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色，从4中颜色中选3中，在三个元素上排列；当4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，先选出同色的一对，再用四种颜色全排列，由分类计数原理计算可得答案．
解：由题意，分2种情况讨论：
第一：当选用3种颜色时②④同色，③⑤同色，共有涂色方法C43 A33=24种，
第二：4色全用时涂色方法，即②④或③⑤用一种颜色，共有C21 A44=48种，
根据分类加法原理知不同的着色方法共有24+48=72种．
故答案为72．
考点：计数原理的应用．
16．10
【解析】
【详解】
的展开式中含的项为：，
的展开式中项的系数为10，
故答案为：10
17．-10
【解析】
【分析】
根据二项式展开式的通项公式计算即可得出结果.
【详解】
的展开式的通项公式为，
令r=9，可得的系数为，
故答案为：-10
18．7个.
【解析】
【详解】
试题分析:对映射分三类进行讨论, 当A中三个元素都对应0时,满足题意; 当A中三个元素对应B中两个时，分别有2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2四种情况满足题意;当A中的三个元素对应B中三个元素时，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0两种情况满足题意;最后共有7个.
试题解析: (1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有一个映射；
(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2；
(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.
因此满足条件的映射共有7个．
19．（1）8；（2）系数最大项，，系数最小项和
【解析】
【分析】
（1）展开式的二项式系数和为，展开式的二项式系数和为，根据条件可得到关于的等式求解出的值；
（2）根据二项式系数的性质求得当为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求解出对应的系数最大和最小的项.
【详解】
（1）由条件可知：，所以，所以；
（2）因为的通项为：，
由二项式系数的性质可知：当时，展开式的系数最大，
所以系数最大的项为，
当或时，展开式的系数最小，
所以系数最小的项为和.
【点睛】
本题考查二项式定理的综合运用，难度一般.对于二项式系数，若为偶数时，中间一项取得最大值；当为奇数时，中间两项同时取得最大值.
20．(1)144.(2)84.
【解析】
【分析】
（1）先从4个小球中取两个小球，再将取出的两个小球放入一个盒内，最后在剩下的三个盒子中选两个放剩下的两个小球，利用分步计数原理，即可求解；
（2）先分类，先一个盒子放3个小球，一个盒子放1个小球，再有两个盒子各放2个小球，另两个盒子不放小球，利用分类计数原理，即可求解．
【详解】
(1)可分三个步骤完成这件事情：
第一步，从4个小球中取两个小球，有种方法；
第二步，将取出的两个小球放入一个盒内，有种方法；
第三步，在剩下的三个盒子中选两个放剩下的两个小球，有种方法；
由分步计数原理，共有种方法．
(2)完成这件事情有两类办法：
第一类，一个盒子放3个小球，一个盒子放1个小球，两个盒子不放小球有种方法；
第二类，有两个盒子各放2个小球，另两个盒子不放小球有种方法；
由分类计数原理，共有种放法．
【点睛】
本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答时一定多读题才能挖掘出隐含条件．同时解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．
21．144种.
【解析】
【分析】
8必在第3位，7必在第第5位； 5可以在第6位，5也可以在第7位，分2种情况进行讨论．
【详解】
数字“8”和数字“7”的位置已经固定,分别在从左至右的第三位和第五位.第一类:数字“6”在数字“5”的右边,则数字“5”在从左至右的第六位,数字“6”的位置选择有2种,其他数字做全排列,有种,故当数字“6”在数字“5”的右边时,排列有2=48种.第二类:当数字“6”在数字“5”的左边,则数字“5”在从左至右的第七位,数字“6”的位置选择有4种,其他数字做全排列,有种,故当数字“6”在数字“5”的左边时,排列有4=96种.由分类加法计数原理可得满足题意的排列有48+96=144种.
【点睛】
解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
22．6条
【解析】
【分析】
根据题意，有4个点，其中任意三点不在一条直线上，从中取出两点，即可以确定一条直线，由组合数公式计算可得答案．
【详解】
根据题意，有4个点其中任意三点不在一条直线上，从中取出两点，
有种取法，即可以作出6条直线.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页