人教A版（2019）选择性必修第三册第七章随机变量及其分布列单元测试word版含答案
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第三册第七章随机变量及其分布列单元测试word版含答案 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 468.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-17 00:00:00 | ||
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文档简介
人教A版（2019） 选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布列 单元测试
一、单选题
1．一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和3个红球，从袋中任取2球．已知取出的2球中有黑球，则取出的两个球都是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．一组数据X1，X2，…，Xn的平均数是3，方差是5，则数据3X1+2，3X2+2，…，3Xn+2的平均数和方差分别是
A．11,45 B．5,45 C．3,5 D．5,15
3．已知随机变量X，Y的分布列如下：
X 0 1 2
P a b
Y
P m
则的最小值为（ ）A．1 B． C．2 D．
4．一次考试选择题每题5分，设某学生答对的选择题数为随机变量X，选择题得分为随机变量Y，已知，则的值为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.4
5．设随机变量，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．设在一次试验中事件A出现的概率为p，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为pk，则( )
A．p1＋p2＋…＋pn＝1 B．p0＋p1＋p2＋…＋pn＝1
C．p0＋p1＋p2＋…＋pn＝0 D．p1＋p2＋…＋pn－1＝1
7．设随机变量，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知随机变量服从正态分布，若，则等于
A． B． C． D．
9．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为 ( )．
A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1
10．随机变量的分布列如图所示，则其数学期望（ ）
1 2 3
A． B． C． D．不能确定
二、双空题
11．已知一个袋子中装有1个黑球、2个白球、3个红球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，则摸出白球比黑球多一个的概率为_____，记摸到的白球的个数为，则随机变量的数学期望是_____．
12．一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则____，________.
13．事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且,则_____,______.
14．在一次随机试验中，事件发生的概率为，事件发生的次数为，则期望____，方差的最大值为____．
三、填空题
15．已知随机变量X的分布列如下,若E(X)=3,则D(X)=____.
16．为了解某市高三学生身高情况，对其进行了测量，经分析，全市高三学生身高（单位：）服从正态分布，已知，.现从该市高三学生中随机抽取一名学生，则该学生身高在区间的概率为______.
17．已知随机变量，则的值为__________．
四、解答题
18．甲乙两人进行射击训练，每人射击两次，若甲乙两人一次射击命中目标的概率分别为和，且每次射击是否命中相互之间没有影响.
（I）求两人恰好各命中一次的概率；
（II）求两人击中目标的总次数的分布列和期望.
19．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用80元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）.
20．京西某地到北京西站有阜石和莲石两条路，且到达西站所用时间互不影响.下表是该地区经这两条路抵达西站所用时长的频率分布表：
时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
莲石路的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
阜石路的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
若甲 乙两人分别有40分钟和50分钟的时间赶往西站(将频率视为概率)
（1）甲 乙两人应如何选择各自的路径？
（2）按照（1）的方案，用X表示甲 乙两人按时抵达西站的人数，求X的分布列和数学期望.
21．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为，答错的概率为.
（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为，求的分布列及数学期望；
（2）若甲在回答过程中出现在第个等级的概率为，证明：为等比数列.
22．某高校随机抽取部分男生测试立定跳远，将成绩整理得到频率分布表如表，测试成绩在220厘米以上（含220厘米）的男生定为“合格生”，成绩在260厘米以上（含260厘米）的男生定为“优良生”．
分组（厘米） 频数 频率
[180，200） 0.10
[200，220） 15
[220，240） 0.30
[240，260） 0.30
[260，280） 0.20
合计 1.00
（1）求参加测试的男生中“合格生”的人数．
（2）从参加测试的“合格生”中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取8名男生，再从这8名男生中抽取3名男生，记X表示3人中“优良生”的人数，求X的分布列及数学期望．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
先求出取出的2球中有黑球的基本事件的个数，再求出取出的两个球都是黑球的基本事件个数，最后根据古典概型及条件概率的概率公式解之即可．
【详解】
从袋中任取2球，
取出的2球中有黑球，共有种基本事件，
两个球都是黑球共有种基本事件，
已知取出的2球中有黑球，则取出的两个球都是黑球的概率为
故选：．
2．A
【解析】
【分析】
若X1，X2，…，Xn的平均数是，方差是，则数据的平均数为，方差为．
【详解】
解：∵一组数据X1，X2，…，Xn的平均数是3，方差是5，
∴数据3X1+2，3X2+2，…，3Xn+2的平均数为3×3＋2＝11，
方差为：．
故选A．
【点睛】
本题考查平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差的性质的合理运用．
3．D
【解析】
【分析】
根据分布列的性质可得，，从而得到，，再利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：由分布列的性质知，，，所以，，所以
，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．
故选：D
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质及数学期望的求解，基本不等式的应用等，考查的数学核心素养是数学运算．
4．D
【解析】
【分析】
根据离散型随机变量的性质即可求解
【详解】
根据题意知，，所以．因为，所以，所以．
故选：D．
5．A
【解析】
【分析】
根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于，的方程组，注意两个方程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出的值，再求出的值，得到结果．
【详解】
解：随机变量，
，，
，①
②
把①代入②得，
，
故选：．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二项分布的期望和方差公式，属于基础题．
6．B
【解析】
【详解】
由题意可知ξ～B(n，p)，由分布列的性质可知.
即：p0＋p1＋p2＋…＋pn＝1.
本题选择B选项.
7．C
【解析】
【分析】
利用二项分布的概率公式，结合已知求n、p，由即可求方差.
【详解】
由题意知：且，可得，
∴.
故选：C.
8．B
【解析】
【详解】
根据正态分布密度曲线的对称性可知，若，函数的对称轴是 ，所以，故选B.
9．A
【解析】
【详解】
依题意得，得分之和X的可能取值分别是0、1、2，且P(X＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴得分之和X的分布列为
X 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
∴E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.
10．B
【解析】
【分析】
由分布列可得，进而结合期望的概念即可求出结果.
【详解】
由题意可知，即，
而，
故选：B.
11． 1．
【解析】
【分析】
摸出白球比黑球多一个，则摸出的三球为一个白球和2个红球，或两个白球一个黑球，应用组合数知识即可求解；可能值为分别求出概率，得到分布列，再由期望公式，即可得出结论.
【详解】
从袋中6个球摸出3个球有种方法，
记摸出白球比黑球多一个为事件，
事件包含一个白球2个红球，
或两个白球一个黑球，共有，
所以；
记摸到的白球的个数为，可能值为，
，
，
随机变量的分布列为
.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查概率的求法、离散型随机变量的期望，属于基础题.
12．
【解析】
【分析】
根据题意求得的取值，结合题意，求得其分布列，则，得解.
【详解】
根据题意可知，可取，
；
（此时取球情况是：第一次取红球；第一次取绿球，第二次取红球）
；
（此时取球情况是：第一次取黄球，第二次取红球；
第一次取绿球，第二次取黄球，第三次取红球；
第一次取黄球，第二次取绿球，第三次取红球）
.
故.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查随机变量分布列的求解，以及随机变量数学期望的求解，属综合基础题.
13．
【解析】
根据互斥事件的概率公式求解即可.
【详解】
由题得,因为,所以,,所以,.
故答案为：(1). (2).
【点睛】
本题主要考查了互斥事件的公式计算,属于基础题型.
14．
【解析】
【详解】
记事件发生的次数为可能的值为
期望
方差
故期望，方差的最大值为
15．1
【解析】
【分析】
由题意，根据和分布列的性质，求得的值，再利用方差的公式，即可求解.
【详解】
根据题意,得解得
∴D(X)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1.
【点睛】
本题主要考查了分布列的性质和期望与方差的计算，其中明确分布列的性质和相应的数学期望和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
16．
【解析】
【分析】
利用正态分布的密度曲线的对称性可得出，结合等式可求得，进而得解.
【详解】
，且，所以，
，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.
17．
【解析】
【分析】
根据二项分布的期望公式求解.
【详解】
因为随机变量服从二项分布，
所以.
【点睛】
本题考查二项分布的性质.
18．（I）；（II）分布列见解析；期望
【解析】
【分析】
（I）分别计算出甲和乙各恰好命中一次的概率，利用积事件的概率求解公式可求得结果；（II）确定所有可能的取值，分别计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；利用数学期望计算公式求得期望.
【详解】
（I）甲恰好命中一次的概率为：
乙恰好命中一次的概率为：
两人恰好各命中一次的概率：
（II）由题意可知，所有可能的取值为：
则；
；
；
；
的分布列为：
则数学期望
【点睛】
本题考查积事件概率的求解、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，关键是能够确定随机变量可能的取值，结合概率公式求得每个取值对应的概率，从而得到分布列，属于常考题型.
19．（1）；（2）分布列见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】
(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可；
(2)X的可能取值为:160，240,320，求出对应的概率，得到分布列，然后计算数学期望值.
【详解】
（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则
（2）X的可能取值为160，240，320.
，，
所以X的分布列为:
X 160 240 320
P
数学期望为.
20．（1）甲应选择路径，乙应选择路径；（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）分别求甲，乙两人选择两条路径，能赶到火车站的概率，比较后作出判断；（2）由条件可知，根据（1）的结果，列出分布列，并求数学期望.
【详解】
（1）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“乙选择路径时，50分钟内赶到火车站”，，
用频率估计相应的概率，则有：
，，
，所以甲应选择路径；
，，
，所以乙应选择路径；
（2）用分别表示针对（1）的选择方案，甲，乙在各自的时间内到达火车站，
由（1）知，，且相互独立，
的取值是,
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
0.04 0.43 0.54
【点睛】
关键点点睛：本题考查概率和统计，离散型随机变量的分布列和数学期望，本题的关键是第一问，需读懂题意，并转化为计算概率，比较大小.
21．（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先确定的所有可能取值，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；
（2）根据已知的关系，求出与，的关系式，再通过化简和等比数列的定义求解即可.
【详解】
解：（1）依题意可得，，
，，
，，
，，
则的分布列如表所示.
5 6 7 8 9 10
.
（2）处于第个等级有两种情况：
由第等级到第等级，其概率为；
由第等级到第等级，其概率为；
所以，所以，
即.
所以数列为等比数列.
【点睛】
本题考查概率公式 随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力 数据处理能力，考查数学运算 逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找与，的关系式，即：，进而根据等比数列的定义证明.
22．（1）120人（2）分布列见解析，数学期望．
【解析】
【分析】
（1）利用频率分布直方图求出第2小组的频率，由此能求出总人数和不是“合格生”的人数，从而能求出参加测试的男生中“合格生”的人数；（2）在“合格生”中根据分层抽样，有各组中抽取的人数分别为3人，3人，2人，其中，“优良生”有2人，的可能取值为0，1，2，由此能求出的分布列和数学期望．
【详解】
（1）第2小组的频率为：1-（0.10+0.30+0.30+0.20）＝0.10，
∴总人数为150，
∴不是“合格生”的人数为：0.10×150+0.10×150＝30．
∴参加测试的男生中“合格生”的人数为：150﹣30＝120.
（2）在“合格生”中根据分层抽样，有各组中抽取的人数分别为3人，3人，2人，
其中，“优良生”有2人，∴X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0），
P（X＝1），
P（X＝2），
∴X的分布列为：
X 0 1 3
P
EX．
【点睛】
本题考查频数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立性检验的应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和3个红球，从袋中任取2球．已知取出的2球中有黑球，则取出的两个球都是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．一组数据X1，X2，…，Xn的平均数是3，方差是5，则数据3X1+2，3X2+2，…，3Xn+2的平均数和方差分别是
A．11,45 B．5,45 C．3,5 D．5,15
3．已知随机变量X，Y的分布列如下：
X 0 1 2
P a b
Y
P m
则的最小值为（ ）A．1 B． C．2 D．
4．一次考试选择题每题5分，设某学生答对的选择题数为随机变量X，选择题得分为随机变量Y，已知，则的值为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.4
5．设随机变量，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．设在一次试验中事件A出现的概率为p，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为pk，则( )
A．p1＋p2＋…＋pn＝1 B．p0＋p1＋p2＋…＋pn＝1
C．p0＋p1＋p2＋…＋pn＝0 D．p1＋p2＋…＋pn－1＝1
7．设随机变量，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知随机变量服从正态分布，若，则等于
A． B． C． D．
9．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为 ( )．
A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1
10．随机变量的分布列如图所示，则其数学期望（ ）
1 2 3
A． B． C． D．不能确定
二、双空题
11．已知一个袋子中装有1个黑球、2个白球、3个红球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，则摸出白球比黑球多一个的概率为_____，记摸到的白球的个数为，则随机变量的数学期望是_____．
12．一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则____，________.
13．事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且,则_____,______.
14．在一次随机试验中，事件发生的概率为，事件发生的次数为，则期望____，方差的最大值为____．
三、填空题
15．已知随机变量X的分布列如下,若E(X)=3,则D(X)=____.
16．为了解某市高三学生身高情况，对其进行了测量，经分析，全市高三学生身高（单位：）服从正态分布，已知，.现从该市高三学生中随机抽取一名学生，则该学生身高在区间的概率为______.
17．已知随机变量，则的值为__________．
四、解答题
18．甲乙两人进行射击训练，每人射击两次，若甲乙两人一次射击命中目标的概率分别为和，且每次射击是否命中相互之间没有影响.
（I）求两人恰好各命中一次的概率；
（II）求两人击中目标的总次数的分布列和期望.
19．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用80元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）.
20．京西某地到北京西站有阜石和莲石两条路，且到达西站所用时间互不影响.下表是该地区经这两条路抵达西站所用时长的频率分布表：
时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
莲石路的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
阜石路的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
若甲 乙两人分别有40分钟和50分钟的时间赶往西站(将频率视为概率)
（1）甲 乙两人应如何选择各自的路径？
（2）按照（1）的方案，用X表示甲 乙两人按时抵达西站的人数，求X的分布列和数学期望.
21．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为，答错的概率为.
（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为，求的分布列及数学期望；
（2）若甲在回答过程中出现在第个等级的概率为，证明：为等比数列.
22．某高校随机抽取部分男生测试立定跳远，将成绩整理得到频率分布表如表，测试成绩在220厘米以上（含220厘米）的男生定为“合格生”，成绩在260厘米以上（含260厘米）的男生定为“优良生”．
分组（厘米） 频数 频率
[180，200） 0.10
[200，220） 15
[220，240） 0.30
[240，260） 0.30
[260，280） 0.20
合计 1.00
（1）求参加测试的男生中“合格生”的人数．
（2）从参加测试的“合格生”中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取8名男生，再从这8名男生中抽取3名男生，记X表示3人中“优良生”的人数，求X的分布列及数学期望．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
先求出取出的2球中有黑球的基本事件的个数，再求出取出的两个球都是黑球的基本事件个数，最后根据古典概型及条件概率的概率公式解之即可．
【详解】
从袋中任取2球，
取出的2球中有黑球，共有种基本事件，
两个球都是黑球共有种基本事件，
已知取出的2球中有黑球，则取出的两个球都是黑球的概率为
故选：．
2．A
【解析】
【分析】
若X1，X2，…，Xn的平均数是，方差是，则数据的平均数为，方差为．
【详解】
解：∵一组数据X1，X2，…，Xn的平均数是3，方差是5，
∴数据3X1+2，3X2+2，…，3Xn+2的平均数为3×3＋2＝11，
方差为：．
故选A．
【点睛】
本题考查平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差的性质的合理运用．
3．D
【解析】
【分析】
根据分布列的性质可得，，从而得到，，再利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：由分布列的性质知，，，所以，，所以
，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．
故选：D
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质及数学期望的求解，基本不等式的应用等，考查的数学核心素养是数学运算．
4．D
【解析】
【分析】
根据离散型随机变量的性质即可求解
【详解】
根据题意知，，所以．因为，所以，所以．
故选：D．
5．A
【解析】
【分析】
根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于，的方程组，注意两个方程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出的值，再求出的值，得到结果．
【详解】
解：随机变量，
，，
，①
②
把①代入②得，
，
故选：．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二项分布的期望和方差公式，属于基础题．
6．B
【解析】
【详解】
由题意可知ξ～B(n，p)，由分布列的性质可知.
即：p0＋p1＋p2＋…＋pn＝1.
本题选择B选项.
7．C
【解析】
【分析】
利用二项分布的概率公式，结合已知求n、p，由即可求方差.
【详解】
由题意知：且，可得，
∴.
故选：C.
8．B
【解析】
【详解】
根据正态分布密度曲线的对称性可知，若，函数的对称轴是 ，所以，故选B.
9．A
【解析】
【详解】
依题意得，得分之和X的可能取值分别是0、1、2，且P(X＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴得分之和X的分布列为
X 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
∴E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.
10．B
【解析】
【分析】
由分布列可得，进而结合期望的概念即可求出结果.
【详解】
由题意可知，即，
而，
故选：B.
11． 1．
【解析】
【分析】
摸出白球比黑球多一个，则摸出的三球为一个白球和2个红球，或两个白球一个黑球，应用组合数知识即可求解；可能值为分别求出概率，得到分布列，再由期望公式，即可得出结论.
【详解】
从袋中6个球摸出3个球有种方法，
记摸出白球比黑球多一个为事件，
事件包含一个白球2个红球，
或两个白球一个黑球，共有，
所以；
记摸到的白球的个数为，可能值为，
，
，
随机变量的分布列为
.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查概率的求法、离散型随机变量的期望，属于基础题.
12．
【解析】
【分析】
根据题意求得的取值，结合题意，求得其分布列，则，得解.
【详解】
根据题意可知，可取，
；
（此时取球情况是：第一次取红球；第一次取绿球，第二次取红球）
；
（此时取球情况是：第一次取黄球，第二次取红球；
第一次取绿球，第二次取黄球，第三次取红球；
第一次取黄球，第二次取绿球，第三次取红球）
.
故.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查随机变量分布列的求解，以及随机变量数学期望的求解，属综合基础题.
13．
【解析】
根据互斥事件的概率公式求解即可.
【详解】
由题得,因为,所以,,所以,.
故答案为：(1). (2).
【点睛】
本题主要考查了互斥事件的公式计算,属于基础题型.
14．
【解析】
【详解】
记事件发生的次数为可能的值为
期望
方差
故期望，方差的最大值为
15．1
【解析】
【分析】
由题意，根据和分布列的性质，求得的值，再利用方差的公式，即可求解.
【详解】
根据题意,得解得
∴D(X)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1.
【点睛】
本题主要考查了分布列的性质和期望与方差的计算，其中明确分布列的性质和相应的数学期望和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
16．
【解析】
【分析】
利用正态分布的密度曲线的对称性可得出，结合等式可求得，进而得解.
【详解】
，且，所以，
，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.
17．
【解析】
【分析】
根据二项分布的期望公式求解.
【详解】
因为随机变量服从二项分布，
所以.
【点睛】
本题考查二项分布的性质.
18．（I）；（II）分布列见解析；期望
【解析】
【分析】
（I）分别计算出甲和乙各恰好命中一次的概率，利用积事件的概率求解公式可求得结果；（II）确定所有可能的取值，分别计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；利用数学期望计算公式求得期望.
【详解】
（I）甲恰好命中一次的概率为：
乙恰好命中一次的概率为：
两人恰好各命中一次的概率：
（II）由题意可知，所有可能的取值为：
则；
；
；
；
的分布列为：
则数学期望
【点睛】
本题考查积事件概率的求解、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，关键是能够确定随机变量可能的取值，结合概率公式求得每个取值对应的概率，从而得到分布列，属于常考题型.
19．（1）；（2）分布列见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】
(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可；
(2)X的可能取值为:160，240,320，求出对应的概率，得到分布列，然后计算数学期望值.
【详解】
（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则
（2）X的可能取值为160，240，320.
，，
所以X的分布列为:
X 160 240 320
P
数学期望为.
20．（1）甲应选择路径，乙应选择路径；（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）分别求甲，乙两人选择两条路径，能赶到火车站的概率，比较后作出判断；（2）由条件可知，根据（1）的结果，列出分布列，并求数学期望.
【详解】
（1）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“乙选择路径时，50分钟内赶到火车站”，，
用频率估计相应的概率，则有：
，，
，所以甲应选择路径；
，，
，所以乙应选择路径；
（2）用分别表示针对（1）的选择方案，甲，乙在各自的时间内到达火车站，
由（1）知，，且相互独立，
的取值是,
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
0.04 0.43 0.54
【点睛】
关键点点睛：本题考查概率和统计，离散型随机变量的分布列和数学期望，本题的关键是第一问，需读懂题意，并转化为计算概率，比较大小.
21．（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先确定的所有可能取值，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；
（2）根据已知的关系，求出与，的关系式，再通过化简和等比数列的定义求解即可.
【详解】
解：（1）依题意可得，，
，，
，，
，，
则的分布列如表所示.
5 6 7 8 9 10
.
（2）处于第个等级有两种情况：
由第等级到第等级，其概率为；
由第等级到第等级，其概率为；
所以，所以，
即.
所以数列为等比数列.
【点睛】
本题考查概率公式 随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力 数据处理能力，考查数学运算 逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找与，的关系式，即：，进而根据等比数列的定义证明.
22．（1）120人（2）分布列见解析，数学期望．
【解析】
【分析】
（1）利用频率分布直方图求出第2小组的频率，由此能求出总人数和不是“合格生”的人数，从而能求出参加测试的男生中“合格生”的人数；（2）在“合格生”中根据分层抽样，有各组中抽取的人数分别为3人，3人，2人，其中，“优良生”有2人，的可能取值为0，1，2，由此能求出的分布列和数学期望．
【详解】
（1）第2小组的频率为：1-（0.10+0.30+0.30+0.20）＝0.10，
∴总人数为150，
∴不是“合格生”的人数为：0.10×150+0.10×150＝30．
∴参加测试的男生中“合格生”的人数为：150﹣30＝120.
（2）在“合格生”中根据分层抽样，有各组中抽取的人数分别为3人，3人，2人，
其中，“优良生”有2人，∴X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0），
P（X＝1），
P（X＝2），
∴X的分布列为：
X 0 1 3
P
EX．
【点睛】
本题考查频数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立性检验的应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
答案第1页，共2页
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