梅州市高三总复习质检试卷（2022.2）
数学参考答案与评分意见
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求．
1 2 3 4 5 6 7 8
B B C A D A D A
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9 10 11 12
BCD AB AD ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
1
13. 1 14. ,
15. 1560 6.
4 3
4 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分 10 分）
解:（1） 2sin B 3 cosC a 3ccos A，
由正弦定理可得
2sin B 3 cosC sin A 3 sinC cos A ， ...................1 分
化简得
2sin Asin B 3 sin A C ， ...................2 分
因为 sin B sin - A C sin A C ，
即 2sin Asin B 3 sin B，因为 B 0， ，sin B 0， ...................3 分
2
1
解得 sin A 3 . ...................4分
2
因为 A锐角，所以 A . ...................5分
3
1
（2）由 A ，得 cos A . ...................6分
3 2
2 2
cos A b c a
2 (b c)2 2bc a2
由余弦定理可知 ...................7分
2bc 2bc
1 82 2bc 42
代入得 , ...................8分
2 2bc
解得bc 16 . ...................9分
由三角形面积公式得
S 1 1 3 ABC bc sin A 16 4 3 . ...................10分2 2 2
18．（本小题满分 12 分）
2
解：（1）由a1,a2 ,a5 成等比数列可得a2 a1a5 ， ...................1分
即 (a1 2)
2 a1 (a1 8)，解得a1 1， ...................2分
所以an 2n 1(n N
*)， ...................3分
2
又 Sn n 2n，
则有b1 S1 1 2 3， ...................4分
n 2 b S S n2当 时， n n n 1 +2n (n 1)
2 2(n 1) 2n 1，
所以bn 2n 1 . ...................5分
（2）因为 an , bn 分别表示 an ,bn的个位数，因此 an , bn 均为周期数列，且周期
为 5. ...................7分
1
将数列 中每 5个一组，前 20项和可分为 4组， ...................8分
an bn
其前 20项的和T20为
2
T 4 1 1 1 1 1 20 ...................10分 1 3 3 5 5 7 7 9 9 1
4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...................11分
2 3 3 5 5 7 7 9
9
4 1 1 1 20 1
. ...................12分
2 9 9 9
19.（本小题满分 12 分）
解：（1）补全 2 2列联表
物理（人） 历史（人） 合计
男 50 5 55
女 25 20 45
合计 75 25 100
...................2分
2 100 50 20 25 5
2
16.50>6.635 ...................3分
75 25 55 45 ，
所以有99%的把握认为选科与性别有关． ...................4分
3
（a）由题可知， ~ B(3, )4
又P( 0) (1)3 1 ; ...................5分
4 64
P( 1) C1( 3)( 1)2 9 3 ; ...................6分4 4 64
P( 3 1 27 2) C 23 ( )
2( ) ; ...................7分
4 4 64
P( 3 3) ( )3 27 ;
4 64
所以 的分布列如下： ...................8分
0 1 2 3
1 9 27 27
P 64 64 64 64
3
的数学期望是 E( )=3 3 9 . ...................9分
4 4
3
（b）该学校高一学生选科人数 ~ B(930, ) ,
4
P( k) C k ( 3)k ( 1) 930 k930 ; ...................10分4 4
P ( = k ) 1, ...................11分
P ( = k 1)P ( = k )
1 .P ( = k 1)
解得 k 698 . ...................12分
20.（本小题满分 12 分）
BAD 3 ABC （1）因为 ，所以 .
4 4
在 ABC中， AB 1， BC AD 2 ，
则 AC 1， ...................1分
所以 AB2 AC 2 BC 2，
即 AB AC . ...................2分
因为平面 ACEF 平面 ABCD，平面 ACEF 平面 ABCD AC，AB 平面 ABCD，
所以 AB 平面 ACEF ， ...................3分
又 AB 平面 ABF ，所以平面 ABF 平面 ACEF . ...................4分
（2）因为四边形 ACEF 为矩形，所以 FA AC，
因为平面 ACEF 平面 ABCD，平面 ACEF 平面 ABCD AC， FA 平面 ACEF，
所以 FA 平面 ABCD . ...................5 分
以点 A为坐标原点，分别以直线 AB， AC ， AF 为 x， y ， z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系． ...................6 分
则 B 1,0,0 ，C 0,1,0 ， E 0,1,1 ，F 0,0,1 ，
BC 1,1,0 . ...................7 分
CM CE EM CE EF 0,0,1 0, 1,0 0, ,1 . ..............8 分
4
n2 BC
设平面MBC的法向量 n2 x, y, z ，则 ，
n2 CM
x y 0,
即 ...................9 分
y z 0.
所以平面MBC的一个法向量 n2 1,1, . ...................10 分
由题意可知，平面 ECD的一个法向量 n1 0,1,0 ， ...................11 分
1 2 2 1
因为0 ，所以 cos cos n1,n2 = 3，解得 = ,2 2 2 4
因为 0 1，所以 = 1 . ...................12 分
2
21.（本小题满分 12 分）
解:（1）因为 MF 1N 的周长为 8，依据椭圆定义可知
MN MF1 NF1 4a 8 , ...................1分
则 a 2 .
3
因为椭圆C的离心率 ，所以 c 3 ， ...................2分
2
再由b2 c2 a2 ，可得b 1， ...................3分
x2
因此椭圆C方程为： y2 1 . ...................4分
4
（2）设M (x1, y1)， N (x2 , y2 )，因为 MF 1N 的周长为 8．所以 DHG的周长为 4
S 1 1 1 1 DHG 4 r 2r，即 r S DHG，又 S2 2 DHG
S
4 MF N
，故 r S ，
1 8 MF1N
所以 DHG内切圆半径 r最大，即 S MF N 最大. ...................5分1
设直线 l方程为 x my 3， ...................6分
5
x my 3
由 x2 ，
y2 1
4
得 m2 4 y2 2 3my 1 0， ...................7分
0显然成立，
1
y y 2 3m1 2 ， y1y2 2 ， ...................8分m2 4 m 4
2
S 1 2
2 3m 4
则 F MN F1F2 y1 y2 3 y1 y1 2 2 4y1y2 3 m2 4 m2 4
4 3 m2 1
， ...................9分
m2 4
令 t m2 1(t 1)，则m2 t 2 1，
S 4 3t 4 3 4 3 F1MN 2 2t 3 3 2 3 ， ...................10分t
t
3
当且仅当 t ，即 t 3 t 1 时等号成立，此时m 2，..................11分t
k 1 2所以 . ...................12分
m 2
22.（本小题满分 12 分）
（1）解： f (x) x ln x ax，可得 f (x) ln x 1 a，
所以 f (e) ln e 1 a 2 a， ...................1分
因为 y f (x)在点 (e, f (e))处的切线与直线 x 3y 2 0相互垂直，
1
所以 f (e) 1得 f (e) 2 a 3，
3
所以 a 1 . ...................2分
所以 f (x) x ln x x， x 0 ,
6
可得 f (x) ln x 2 ,
令 f (x) ln x 2 0 ,得 x e 2 ...................3分
所以当 x e 2时， f (x) 0 ,
当0 x e 2时， f (x) 0 .
所以 f (x) 2的单调递增区间为： e , , ...................4分
f (x) 2的单调递减区间为： 0,e . ...................5分
k x ln x x（2）当 x 2时，即有： ...................6分
x 2
x ln x x
设 g x ， x 2，等价于 k g x
x 2 min
1
ln x 2 x 2 x ln x xg x 2ln x x 4
ln x x 2
2 2 2
2 ,
x 2 x 2 x 2 2
...................7分
令 h(x) ln x 1 x 2 2 x， h (x) ，
2 2x
因为 x 2，所以h (x) 0， h(x)在 (2，+ )单调递减， ...................8分
令 g x 0， x x0，即 ln x
1
0 x0 2 0
1
等价于 ln x0 x0 2，2 2
因为 h(8) ln 8 4 2=3ln 2 2 0，
h(9) ln 9 9 2 2ln3 5 = 0 ，
2 2
可得8 x0 9， ..................9分
当 x 2, x0 时， g x 0；当 x x0 , 时， g x 0 .
g x g x x0 ln x0 x0所以 min 0 ， ..................10分x0 2
ln x 1又 0 x 2，2 0
7
x 10 x0 2
x 1 x 2 2x x 1 20 0 0 0 x0 x0
g x 10
2 2 2 x . ............11分
x 00 2 x0 2 x0 2 2
因为8 x0 9，
g x 4, 9 所以 0 .
2
因为 k Z 且 k g x min，
所以 k 4 . ..................12分
所以 k的最大值为 4 .
8试卷类
型
梅州市高三总复习质检试卷
(2022.2)
,多,产的(0<6<)=3面
数学
8这
本试卷共6页,满分150分,考试用时120分钟。
圆(
注意事项
1、答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等
填写在答题卡和试卷指定位置上
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需要改动用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答颳
卡上。写在本试卷上无效。
3、考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项符合题目要求
已知集合A=(2-123,B=∈R2-x-6<0则A∩B=
A.{2,-1}
B.{-1,
C.{-2,-12}D.{2,-13
2.已知i是虚数单位,2(1-)=2,则复数z所对应的点位于=()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.如图,三条曲线分别是甲、乙、丙三个模具厂家生产某种零件尺寸误差分布的正态分布密度
曲线,则下列说法不正确的是
A.三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的均值相等
甲
B.P(x21)
t Oi. Epi ea. c
C.三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的方差从小到大依
次为丙、乙,甲
D.生产这种零件时,甲厂的生产质量最好
4.双曲线C
=1(a>0,b>0)的渐近线方程为x±22y=0,且焦点恰为抛物线
y2=12x的焦点,则双曲线方程为
A
y2=1B.x2-=
C
y
8
D
98
梅州市高三总复习数学质检试卷第1页共6页
类
2
函数(x)
个1小)
A
+e
CoSx的图象大致形状是
知
可人
A
B
(
A
B
C
在答题
6.如图△ABC中,AB=4,∠ABC=2
,∠BAC=-,DE∥CA,且DE:CA=2:3,
D
则AD.DE
C
已知
中
A
只有
B
,学个
10
10
A
E
B
D
3
连接
7.已知a,b,C∈(0,1),且a-1na+1=e,b-lnb+2=e2,c-lnc+3=e3,其中e是
A
自然对数的底数,则
010.0
020.0
001
B
Ac>b>a
Bc>a>b 1+8E C a>csb
D. a>b>c
C
密度
8.已知集合M={xeN|lxs9,集合A,2,A3满足:①每个集合都恰有3个元素:
D
4∪A∪A=M.集合A中元素的最大值与最小值之和称为集合A的特征数,记为
12.设
x(=12,3),则x1+X2+X3的最大值与最小值的和为
点
Cv=ah ia
中R
A.60
B.63
C.56
D.57
A
、多项选择题;本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项C
合要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分
填
9.设实数ab满足a>b,则下列不等式不,定成立的是
l3
若
式面余的俄面二的虫
④A
A a>b
B. In |> In /bl
C.=+=>2
D.a+b+2√ab<0
若
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