2022年苏科版九年级数学下册第5章 二次函数单元测试（Word版含答案）

二次函数单元测试
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________
一、单选题（共9小题）
1.对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．顶点坐标是（1，﹣2）
C．对称轴是直线 x＝﹣1 D．函数有最小值为 2
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（　　）
A．S＝ B．S＝ C．S＝ D．S＝
3.将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式是（　　）
A．y＝2（x+3）2+2 B．y＝2（x﹣3）2+2
C．y＝2（x+3）2﹣2 D．y＝2（x﹣3）2﹣2
4.据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝7.9（1+2x）
B．y＝7.9（1﹣x）2
C．y＝7.9（1+x）2
D．y＝7.9+7.9（1+x）+7.9（1+x）2
5.已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝﹣1 C．x＝﹣3 D．x1＝﹣3，x2＝1
6.关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（　　）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5
B．当x＝12时，y有最小值a﹣9
C．x＝2对应的函数值比最小值大7
D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点
7.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（　　）
A．abc＜0 B．4a+c＞0 C．﹣1＜a＜﹣ D．4a+2b+c＞0
8.已知点A（a﹣m，y1），B（a﹣n，y2），C（a+b，y3）都在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，若0＜m＜b＜n，则y1、y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
9.如图，抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（　　）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC＝∠BAE
C．∠ACB﹣∠ANM＝∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
二、填空题（共7小题）
10.如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，则k的值是　　．
11.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则y＞0时，对应的x的取值范围为　　．
12.如果二次函数y＝﹣3x2+x﹣m+1的图象经过原点，那么m的值为　　．
13.如果二次函数y＝（x﹣1）2的图象上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1　　y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为　　．
15.如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．
现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为　　．
16.已知抛物线y＝ax2+bx+c在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息给出以下结论：①2a+b＝0；②x＝3是ax2+bx+c＝0的一个根；③若PA＝PB，PA⊥PB，则a+b+c＝4．其中正确的有　　个．
三、解答题（共9小题）
17.已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，﹣2），且经过点（0，﹣）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）结合函数图象，当二次函数的图象位于x轴下方时，求自变量x的取值范围．
18.如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B，且当x＝4时，二次函数的值为6．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．
19.如图，直线y＝x+n与抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）相交于A（1，2）和B（4，m）两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
20.在平面直角坐标系中，记函数y＝的图象为G，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（2，2），点B在第四象限．
（1）当n＝1时．
①求G的最低点的纵坐标；
②求图象G上所有到x轴的距离为2的点的横坐标之和．
（2）当图象G与正方形ABCD的边恰好有两个公共点时，直接写出n的取值范围．
21.某水果商店以5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量耗5%，运输费用是0.7元/千克，假设不计其他费用
（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？
（2）在销售过科中，商店发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系m＝﹣10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？
（3）该商店决定每销售一千克水果就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销侮价格大于每千克11元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．
22.如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；
（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．
23.如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0），B（4，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标．
24.定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．
（1）已知M（p，2p）在反比例函数y＝的图象上，且[M]＝3，求反比例函数的解析式；
（2）已知点A是直线y＝x+2上的点，且[A]＝4，求点A的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，求t的取值范围．
25.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO＝∠BAO时，求点P的坐标；
（3）点N（n，0）（0＜n＜）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC＝90°．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
二次函数单元测试
参考答案
一、单选题（共9小题）
1.【答案】 D
【解答】 解；A、由于a＝1＞0，所以开口向上，故A错误．
B、由二次函数y＝（x﹣1）2+2可知顶点为（1，2），故B错误．
C、由二次函数y＝（x﹣1）2+2可知对称轴为x＝1，故C错误．
D、当x＝1时，函数有最小值2，故D正确．
故选：D．
2.【答案】 A
【解答】 解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∴a2+b2＝c2，
∵Rt△ABC的面积S，
∴S＝ab，
∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
∴c2+4S＝25，
∴S＝．
故选：A．
3.【答案】 A
【解答】 解：抛物线y＝2x2先向左平移3个单位得到解析式：y＝2（x+3）2，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝2（x+3）2+2．
故选：A．
4.【答案】 C
【解答】 解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y＝7.9（1+x）2．
故选：C．
5.【答案】 D
【解答】 解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点坐标为[﹣1×2﹣（﹣3），0]，即（1，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．
故选：D．
6.【答案】 C
【解答】 解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：，
若过点（4，5），
则，解得：a＝﹣5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当x＝12 时，y有最小值a﹣9，故选项正确；
C、当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，
即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选：C．
7.【答案】 B
【解答】 解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，
∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
而a＜0，故4a+c＜0，故B错误，符合题意；
C．④∵﹣＝1，故b＝﹣2a，
∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，故C正确，不符合题意；
D．从图象看，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，
故D正确，不符合题意；
故选：B．
8.【答案】 B
【解答】 解：抛物线开口向上，对称轴为x＝a，
点A、B的情况：n＞m，故点B比点A离对称轴远，故y2＞y1；
点A、C的情况：m＜b，故点C比点A离对称轴远，故y3＞y1；
点B、C的情况：b＜n，故点B比点C离对称轴远，故y2＞y3；
故y1＜y3＜y2，
故选：B．
9.【答案】 C
【解答】 解：将点A（2，0）代入抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b
解得：a＝，b＝﹣，
设：M点横坐标为m，则M（m，m2﹣m+4）、N（m，m﹣），
其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），
则AB＝BC＝5，则∠CAB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，﹣）、（，），
由勾股定理得：BN＝，而MN＝，
BN+MN＝5＝AB，
故本选项错误；
B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），
∴∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，
∠CBA≠∠BCA，
∴∠BAC＝∠BAE不成立，
故本选项错误；
C、如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴EB是∠ABC的平分线，
易证：∠CAD＝∠ABE＝ABC，
而∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD＝ABC，
故本选项正确；
D、S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM，
S△ABC＝10，
S△ABM＝MN （xB﹣xA）＝﹣m2+7m﹣10，其最大值为，
故S四边形ACBM的最大值为10+＝12.25，
故本选项错误．
故选：C．
二、填空题（共7小题）
10.【答案】 0
【解答】 解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，
解得：k＝0，
故答案为：0．
11.【答案】 x＜-1或x＞2
【解答】 解：由图象可知，
当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2，
故答案是：x＜﹣1或x＞2．
12.【答案】 1
【解答】 解：把原点（0，0）代入解析式，得1﹣m＝0，
解得，m＝1，
故答案为：1．
13.【答案】 ＜
【解答】 解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵2＜4，
∴y1＜y2．
故选：＜．
14.【答案】 6
【解答】 解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．
由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，
∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．
故答案为：6．
15.【答案】 y=（x-3）2-1或y=（x-7）2-1
【解答】 解：设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣1﹣m）2﹣1，
将（3，3）代入，得（3﹣1﹣m）2﹣1＝3．
整理，得4﹣m＝±2
解得m1＝2，m2＝6．
故新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．
故答案是：y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．
16.【答案】 3
【解答】 解：①因为抛物线的对称轴x＝1，
所以﹣＝1，即b+2a＝0，
所以①正确；
②因为A（﹣1，0），对称轴x＝1，
所以设抛物线与x轴的另一个交点为E，
所以E（3，0），
所以x＝3时，y＝0，即x＝3是ax2+bx+c＝0的一个根．
所以②正确；
③如图：
过点B作BD⊥对称轴于点D，设对称轴交x轴于点C，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝90°，
∴∠APC+∠BPD＝90°，
∵∠BPD+∠PBD＝90°，
∴∠PBD＝∠APC，
∵AP＝BP，
∴Rt△APC≌Rt△PBD（AAS）
∴PC＝BD＝1，DP＝AC＝2，
∴DC＝3，
∴OB＝3，
∴B（0，3）．又E（3，0），A（﹣1，0）．
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把B（0，3）代入，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为﹣x2+2x+3，
当x＝1时，y＝4，
即a+b+c＝4．
所以③正确．
故答案为3．
三、解答题（共9小题）
17.【解答】 解：（1）设该抛物线解析式是：y＝a（x+1）2﹣2（a≠0）．
把点（0，﹣）代入，得
a（0+1）2﹣2＝﹣，
解得a＝．
故该抛物线解析式是y＝（x+1）2﹣2．
（2）由（1）知，抛物线解析式是y＝（x+1）2﹣2．
由y＝（x+1）2﹣2＝（x﹣1）（x+3）＝0知，抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（﹣3，0），且抛物线开口向上，
如图，
所以，当二次函数的图象位于x轴下方时，自变量x的取值范围是：﹣3＜x＜1．
18.【解答】 解：（1）∵直线y＝x+m和经过点A（1，0），
∴1+m＝0，解得m＝﹣1；
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），且当x＝4时，二次函数的值为6，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2；
（2）∵由（1）知m＝﹣1，抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2，
∴直线的解析式为y＝x﹣1，
∴，解得或，
∴B（3，2）．
∵由函数图象可知，当x＜1或x＞3时，二次函数的值大于一次函数的值，
∴不等式x2+bx+c＞x+m的解集为x＜1或x＞3．
19.【解答】 解：（1）把A（1，2）代入y＝x+n得1+n＝2，解得n＝1，
∴一次函数解析式为y＝x+1；
把B（4，m）代入y＝x+1得m＝4+1＝5，
即B（4，5），
把A（1，2），B（4，5）代入y＝ax2+bx+5得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+5；
（2）存在．
设P（t，t+1）（1≤t≤4），
∵PC⊥x轴，
∴C（t，t2﹣4t+5），
∴PC＝t+1﹣（t2﹣4t+5）
＝﹣t2+5t﹣4
＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，PC的长有最大值，最大值为．
20.【解答】 解：（1）①y＝，
函数图象如图所示：
函数最低点的坐标（3，﹣9），
∴图象G的最低点的纵坐标为﹣9．
②当y＝2时，x2+2x+2＝2，解得x＝﹣2或0（舍弃）
x2﹣6x＝2时，解得x＝3+或3﹣（舍弃），
当y＝﹣2时，x2﹣6x＝﹣2，解得x＝3+或3﹣，
∴图象G上所有到x轴的距离为2的横坐标之和＝﹣2+3++3++3﹣＝7+．
（2）当y＝x2+2nx+2n2的顶点落在AD边上时，n2＝2，解得n＝或﹣（舍弃）
当n＝时，y＝x2+2nx+2n2（x＜0）与边AD有一个交点，y＝x2﹣6nx与边BC有一个交点，符合题意．
当2n2≤2，解得n≤1或n≥﹣1，
当y＝x2﹣6nx经过（2，﹣2）时，n＝，
观察图象可知当＜n≤1时，满足条件，
当y＝x2﹣6nx的顶点在BC边上时，﹣9n2＝﹣2，
解得n＝或﹣（舍弃），
当n＝﹣1时，y＝x2+2nx+2n2（x＜0）与正方形的边没有交点，
观察图象可知当﹣1＜n＜时，满足条件，
综上所述，满足条件的n的值为﹣1＜n＜或＜n≤1或n＝．
21.【解答】 解：（1）设购进水果k千克，水果售价定为y元/千克时，水果商才不会亏本，由题意得
y k（1﹣5%）≥（5+0.7）k，
由k＞0可解得：y≥6，
所以，水果商要把水果售价至少定为6元/千克才不会亏本．
（2）由（1）可知，每千克水果的平均成本为6元，由题意得
w＝（x﹣6））m
＝（x﹣6）（﹣10x+120）
＝﹣10（x﹣9）2+90
因此，当x＝9时，w有最大值．
所以，当销售单价定为9元/千克时，每天可获利润w最大．
（3）设扣除捐赠后的利润为P，
则P＝（x﹣6﹣a）（﹣10x+120）＝﹣10x2+（10a+180）x﹣120（a+6），
抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝，
∵销售价格大于每千克11元时，扣除捐赠后每天的利润P随x增大而减小，
∴≤11，解得：a≤4，
故1≤a≤4．
22.【解答】 解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（﹣x2+2x+3），
即3a＝3，解得：a＝1，
抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），
∴，解得，
∴y＝﹣x+3，
设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），
∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值；
（3）设点M（1，m），
则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；
①当MC是斜边时，
1+（m﹣3）2＝m2+4+18；
解得：m＝﹣2；
②当MB是斜边时，
同理可得：m＝4，
故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．
23.【解答】 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）
∴将A与B两点坐标代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣3x．
（2）设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B（4，4），
得：4＝4k1，解得：k1＝1
∴直线OB的解析式为y＝x，
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x﹣m，
∵点D在抛物线y＝x2﹣3x上，
∴可设D（x，x2﹣3x），
又∵点D在直线y＝x﹣m上，
∴x2﹣3x＝x﹣m，即x2﹣4x+m＝0，
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△＝16﹣4m＝0，
解得：m＝4，
此时x1＝x2＝2，y＝x2﹣3x＝﹣2，
∴D点的坐标为（2，﹣2）．
24.【解答】 解：（1）由题意|p|+|2p|＝3，
∴p＝±1，
∴M（1，2）或（﹣1，﹣2），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）设点A（m，m+2）
由题意可得：|m|+|m+2|＝4，
当m≤﹣2时，﹣m﹣m﹣2＝4，
∴m＝﹣3，
∴点A（﹣3，﹣1）；
当﹣2＜m＜0时，﹣m+m+2＝4，
∴方程无解；
当m≥0时，m+m+2＝4，
∴m＝1，
∴点A坐标（1，3）；
（3）由题意方程组只有一组实数解，
消去y得ax2+（b﹣1）x+1＝0，
由题意△＝0，
∴（b﹣1）2﹣4a＝0，
∴4a＝（b﹣1）2，
∴原方程可以化为（b﹣1）x2+4（b﹣1）x+4＝0，
∴x1＝x2＝，
∴C（，），
∵2≤[C]≤4，
∴1≤≤2或﹣2≤≤﹣1，
解得：﹣1≤b≤0或2≤b≤3，
∵点C在第一象限，
∴﹣1≤b≤0，
∵t＝2b2﹣4a+2020，
∴t＝2b2﹣4a+2020＝2b2﹣（b﹣1）2+2020＝b2+2b+2019＝（b+1）2+2018，
∵﹣1≤b≤0
∴2018≤t≤2019．
25.【解答】 解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①；
（2）如图1，作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′交抛物线于点P（P′），则∠PAO＝∠BAO，
设直线AB'的解析式为y＝kx+m，
∴，
∴，
直线AB′的表达式为：y＝x﹣2②，
联立①②并解得：x＝3或﹣2，
故点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3），
当点P与B，C重合时，也满足条件，此时P（0，2）或（，），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（，）．
（3）①过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠MNC＝90°，
∴∠MNO+∠CNH＝90°，
又∵∠CNH+∠NCH＝90°，
∴∠MNO＝∠NCH，
∴tan∠MNO＝tan∠NCH，即，即，
解得：m＝﹣n2+n；
②m＝﹣n2+n，
∵＜0，故m有最大值，当n＝时，m的最大值为，
而m＞0，
故0＜m＜时，符合条件的N点的个数有2个．