2021-2022学年鲁教版（五四制） 八年级数学下册 6.1 菱形的性质与判定 同步练习题（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制） 八年级数学下册 6.1 菱形的性质与判定 同步练习题（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 242.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-17 11:00:55 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》同步练习题（附答案）
1．已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（ ）
A．20cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．100cm2
2．如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（ ）
A．24 B．10 C． D．
3．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
4．菱形的一个性质是（ ）
A．四个角相等 B．四条边相等 C．对角线相等 D．对角互补
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6．AE⊥CD于点E，则AE的长是（ ）
A．4 B． C． D．5
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（ ）
A．4 B．4 C．3 D．3
7．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．2
8．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对边平行且相等
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB于点E，若∠ADC＝110°，则∠AOE的大小为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
10．在 ABCD中，添加以下哪个条件能判断其为菱形（ ）
A．AB⊥BC B．BC⊥CD C．CD⊥AC D．AC⊥BD
11．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形（ ）
A．AB＝CD B．AB∥CD C．AC＝BD D．AD＝BC
12．下列说法中，正确的是（ ）
A．两邻边相等的四边形是菱形 B．一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形
C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线垂直的四边形是菱形
13．已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．其中能使平行四边形ABCD是菱形的有（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
14．下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形
B．一条对角线平分一组对角的四边形
C．四条边都相等的四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形
15．顺次连接矩形ABCD各边中点所得四边形必定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
16．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的平行四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．无法确定
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AB中点，若OA＝8，OE＝5，则菱形ABCD的面积为 ．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，下列条件①AC⊥BD；②OA＝OC；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC，能判定四边形ABCD是菱形的有 ．（填写序号）
19．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，
（1）求证：∠DHO＝∠DCO．
（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．
20．如图，E为菱形ABCD的对角线BD延长线上一点，连接AE，CE．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若BC＝10，AE＝13，∠ABC＝60°，求BE的长．
21．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF．
（1）求证：AF＝DF；
（2）若∠BAD＝70°，求∠FDC的度数．
22．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，FC与对角线BD交于点G，过G作GE⊥BC于点E，∠ADB＝∠FCB．
（1）求证：AB＝2BE；
（2）求证：DG＝CF+GE．
23．如图，在 ABCD中，G为BC边上一点，DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
24．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．
（1）求证：OE＝AC；
（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．
25．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝BD．
（2）求证：四边形ADCF是菱形．
26．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．
27．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB＝BF，AD、BE相交于M，BC、DF相交于N．求证：四边形BMDN是菱形．
28．如图，已知△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线，交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若四边形AFBD要为菱形，则需要添加什么条件？证明你的结论．
29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，BE＝2EC，AC平分∠EAD．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若BC＝6，∠ADC＝120°，求△ABE的面积．
30．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，△ADF≌△ABC，AD⊥AC，连接BD、CF交于点E．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）求CE的长．
31．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，作DE∥BC交AC于点E，连接BE．
（1）求证：四边形DEBC是菱形；
（2）若∠CDE＝2∠EDA，CE＝2，求AD的长．
参考答案
1．解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，
∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2），
故选：B．
2．解：如图，对角线AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴BC＝＝＝5，
∵菱形ABCD的面积＝×6×8＝24，
∴AH＝，
故选：C．
3．解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为24，面积为24，
∴BA＝BC＝6，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×6×PE+×6×PF＝12，
∴PE+PF＝4，
故选：A．
4．解：菱形的一个性质是四条边相等，
故选项A、C、D错误，B 正确，
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝AC＝6＝3，OB＝BD，AC⊥BD，
∵AB＝5，
∴BO＝＝＝4，
∴BD＝8，
S菱形ABCD＝AC BD＝CD AE，
∴×6×8＝5AE，
∴AE＝，
故选：C．
6．解：连接AC，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC、△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
过A作AH⊥BC于H，则BH＝BC＝2，
∴AH＝＝＝2，
S四边形AECF＝S△ABC＝BC AH＝×4×2＝4，
故选：A．
7．解：如图连结BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD＝4，
∵点E，F分别是DP，BP的中点，
∴EF为△PBD的中位线，
∴EF＝BD＝2，
故选：A．
8．解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABC＝∠ADC＝110°，
∴∠ABO＝∠ABC＝55°，
∵OE⊥AB，
∴∠OEB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠AOE＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
10．解：A、∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；
B、∵BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；故选项B不符合题意；
C、CD⊥AC，不能判定ABCD是菱形；故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；
故选：D．
11．解：当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．理由如下：
∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG∥AB，EG＝AB，
同理HF∥AB，HF＝AB，EH∥CD，EH＝CD，
∴EG∥HF，EG＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵AB＝CD，
∴EG＝EH，
∴平行四边形EGFH是菱形．
故选：A．
12．解：A、∵两邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线垂直的平行四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
13．解：① ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故①正确；
② ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故②错误；
③ ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故③正确；
D、 ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故④错误．
故选：A．
14．解：A、∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵四边相等的四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
15．解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG＝DG，
在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG，
∴△AEH≌△DGH，
∴EH＝HG，
同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，
∴EH＝HE＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：D．
16．解：过A作AF⊥DC于F，过B作BE⊥AD，交DA的延长线于E，
∵两张等宽的纸条交叉叠放在一起，
∴AF＝BE，
∵平行四边形ABCD的面积S＝DC×AF＝AD×BE，
∴DC＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：C．
17．解：∵四边形ABCD为菱形，OA＝8，
∴AC⊥BD，AC＝2OA＝16，
∴∠AOB＝90°，
∵E是AB的中点，
∴AB＝2OE＝2×5＝10，
∴OB＝＝＝6，
∴BD＝2OB＝12，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝×16×12＝96，
故答案为：96．
18．解：①∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
又∵∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故①能判定四边形ABCD是菱形；
②∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故②能判定四边形ABCD是菱形；
③∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA＝∠BCA，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形；
④∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故④能判定四边形ABCD是菱形；
故答案为：①②④．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，
∴∠DHB＝90°，
∴OH＝BD＝OD＝OB，
∴∠ODH＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠ODH+∠ODC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC+∠DCO＝90°，
∴∠ODH＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCO；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC＝4，BD⊥AC，
∴AC＝2OC＝4，∠COD＝90°，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝20，
菱形ABCD的面积＝BD×AC＝×6×8＝24．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE；
（2）解：连接AC交BD于O，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，AB＝BC＝10，
∴∠AOC＝∠AOD＝90°，
∴OA＝AB＝5，
∴OB＝＝＝5，
∴OE＝＝＝12，
∴BE＝OB+OE＝5+12．
21．（1）证明：连接BF，如图所示：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，∠BCF＝∠DCF，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴BF＝DF，
∴AF＝DF；
（2）解：由（1）得：△BCF≌△DCF，
∴∠FDC＝∠FBC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，AD∥BC，
∴∠BCF＝∠DCF＝∠BAC，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FBA＝∠BAC＝35°，
∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝110°﹣35°＝75°，
∴∠FDC＝∠FBC＝75°．
22．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠FCB，
∴∠FCB＝∠DBC，
∴GB＝GC，
又∵GE⊥BC，
∴BC＝2BE，
∴AB＝2BE；
（2）如图，延长CF，DA交于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠H＝∠FCB，
∴∠H＝∠ADB，
∴DG＝HG，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝BF，AB＝2BF，
∴BF＝BE，
在△AFH和△BFC中，
，
∴△AFH≌△BFC（AAS），
∴CF＝FH，
在△BGF和△BGE中，
，
∴△BGF≌△BGE（SAS），
∴FG＝GE，
∴DG＝HG＝HF+FG＝FC+GE．
23．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，AD∥BC，AB∥CD，
∵AF∥ED，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠DGC＝∠ADE，
∵DG＝DC，
∴∠DGC＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形．
24．证明：（1）过O作OF⊥CE于F，如图所示：
∵OC＝OE，
∴CF＝EF，
∵OF⊥CE，CE⊥CD，
∴OF∥CD，
∵AB∥DC，
∴OF∥AB，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC；
（2）∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△OCD中，
，
∴△AOB≌△OCD（ASA），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
25．证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE
∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴AE＝DE，BD＝CD
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS））
∴AF＝BD
（2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD，
∴AF＝CD，且AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴
∴四边形ADCF是菱形
26．证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°
∵在△AEO和△AFO中
，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO＝FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
27．证明：∵四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB＝BF，
∴∠ABC＝∠MBF＝90°，
∴∠ABM＝∠FBN，
∴△ABM≌△FBN≌△EDM，
∴BN＝DM，
∴四边形BMDN是平行四边形，
同理△ABM≌△FBN，则BM＝BN，
∴四边形BMDN是菱形．
28．解：（1）∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠CDE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（ASA），
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD．
（2）需要添加∠BAC＝90°．
证明：∵∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD＝BC＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
又∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是菱形．
29．（1）证明：∵BE＝2EC，
∴BC＝3EC，
又∵BC＝3AD，
∴AD＝EC，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠ECD，
∴∠ACD＝∠ACE，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACE＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：如图，取BE的中点H，连接AH，
∵BC＝6，BE＝2EC，
∴EC＝2，BE＝4，
∵四边形AECD是菱形，
∴AE＝CE＝2，∠ADC＝∠AEC＝120°，
∴∠AEB＝60°，
∵点H是BE中点，
∴BH＝EH＝2，
∴AE＝HE，
∴△AEH是等边三角形，
∴AH＝HE＝2＝BH，∠AHE＝60°，
∴∠BAE＝90°，∠ABE＝30°，
∴AB＝AE＝2，
∴△ABE的面积＝×AB×AE＝×2×2＝2．
30．证明：（1）∵△ADF≌△ABC，
∴AB＝AD＝AF＝AC，BC＝DF，∠BAC＝∠DAF＝30°，
∴∠BAD＝∠CAF＝120°，
∴∠ABD＝∠ADB＝30°，∠ACF＝∠AFC＝30°，
∴∠DAF＝∠ADB＝30°，∠ACF＝∠BAC＝30°，
∴AF∥BD，AB∥CF，
∴四边形ABEF平行四边形，
又∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）如图，过点A作AH⊥CF于H，
∵AC＝AF，∠AFC＝30°，AH⊥CF，
∴CH＝FH，AH＝AF＝1，
∴FH＝＝＝，
∴CF＝2，
∵四边形ABEF是菱形，
∴EF＝AF＝2，
∴CE＝2﹣2．
31．（1）证明：连接BD交AC于点F，如图1所示：
∵AB＝AD，∠DAB＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴F是BD的中点，
∴BF＝DF，
在△AED和△AEB中，
，
∴△AED≌△AEB（SAS），
∴DE＝BE，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠EDF，
在△BCF和△DEF中，
，
∴△BCF≌△DEF（ASA），
∴BC＝DE，
∵BC∥DE，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∵BE＝DE，
∴平行四边形DEBC是菱形；
（2）解：过点E作EH⊥AD于点H，如图2所示：
∵四边形DEBC是菱形，
∴∠CDB＝∠EDB＝∠CDE，
∵∠CDE＝2∠EDA，
∴∠BDE＝∠ADE，
∵BD⊥CE，EH⊥AD，
∴EF＝EH＝CE＝1，
∴AH＝EH＝1，
∴AE＝＝＝，
∴AF＝AE+EF＝+1，
∴DF＝AF＝+1，
∴AD＝AF＝（+1）＝2+．
1．已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（ ）
A．20cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．100cm2
2．如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（ ）
A．24 B．10 C． D．
3．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
4．菱形的一个性质是（ ）
A．四个角相等 B．四条边相等 C．对角线相等 D．对角互补
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6．AE⊥CD于点E，则AE的长是（ ）
A．4 B． C． D．5
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（ ）
A．4 B．4 C．3 D．3
7．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．2
8．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对边平行且相等
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB于点E，若∠ADC＝110°，则∠AOE的大小为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
10．在 ABCD中，添加以下哪个条件能判断其为菱形（ ）
A．AB⊥BC B．BC⊥CD C．CD⊥AC D．AC⊥BD
11．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形（ ）
A．AB＝CD B．AB∥CD C．AC＝BD D．AD＝BC
12．下列说法中，正确的是（ ）
A．两邻边相等的四边形是菱形 B．一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形
C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线垂直的四边形是菱形
13．已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．其中能使平行四边形ABCD是菱形的有（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
14．下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形
B．一条对角线平分一组对角的四边形
C．四条边都相等的四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形
15．顺次连接矩形ABCD各边中点所得四边形必定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
16．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的平行四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．无法确定
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AB中点，若OA＝8，OE＝5，则菱形ABCD的面积为 ．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，下列条件①AC⊥BD；②OA＝OC；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC，能判定四边形ABCD是菱形的有 ．（填写序号）
19．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，
（1）求证：∠DHO＝∠DCO．
（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．
20．如图，E为菱形ABCD的对角线BD延长线上一点，连接AE，CE．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若BC＝10，AE＝13，∠ABC＝60°，求BE的长．
21．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF．
（1）求证：AF＝DF；
（2）若∠BAD＝70°，求∠FDC的度数．
22．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，FC与对角线BD交于点G，过G作GE⊥BC于点E，∠ADB＝∠FCB．
（1）求证：AB＝2BE；
（2）求证：DG＝CF+GE．
23．如图，在 ABCD中，G为BC边上一点，DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
24．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．
（1）求证：OE＝AC；
（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．
25．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝BD．
（2）求证：四边形ADCF是菱形．
26．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．
27．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB＝BF，AD、BE相交于M，BC、DF相交于N．求证：四边形BMDN是菱形．
28．如图，已知△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线，交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若四边形AFBD要为菱形，则需要添加什么条件？证明你的结论．
29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，BE＝2EC，AC平分∠EAD．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若BC＝6，∠ADC＝120°，求△ABE的面积．
30．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，△ADF≌△ABC，AD⊥AC，连接BD、CF交于点E．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）求CE的长．
31．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，作DE∥BC交AC于点E，连接BE．
（1）求证：四边形DEBC是菱形；
（2）若∠CDE＝2∠EDA，CE＝2，求AD的长．
参考答案
1．解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，
∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2），
故选：B．
2．解：如图，对角线AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴BC＝＝＝5，
∵菱形ABCD的面积＝×6×8＝24，
∴AH＝，
故选：C．
3．解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为24，面积为24，
∴BA＝BC＝6，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×6×PE+×6×PF＝12，
∴PE+PF＝4，
故选：A．
4．解：菱形的一个性质是四条边相等，
故选项A、C、D错误，B 正确，
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝AC＝6＝3，OB＝BD，AC⊥BD，
∵AB＝5，
∴BO＝＝＝4，
∴BD＝8，
S菱形ABCD＝AC BD＝CD AE，
∴×6×8＝5AE，
∴AE＝，
故选：C．
6．解：连接AC，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC、△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
过A作AH⊥BC于H，则BH＝BC＝2，
∴AH＝＝＝2，
S四边形AECF＝S△ABC＝BC AH＝×4×2＝4，
故选：A．
7．解：如图连结BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD＝4，
∵点E，F分别是DP，BP的中点，
∴EF为△PBD的中位线，
∴EF＝BD＝2，
故选：A．
8．解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABC＝∠ADC＝110°，
∴∠ABO＝∠ABC＝55°，
∵OE⊥AB，
∴∠OEB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠AOE＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
10．解：A、∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；
B、∵BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；故选项B不符合题意；
C、CD⊥AC，不能判定ABCD是菱形；故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；
故选：D．
11．解：当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．理由如下：
∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG∥AB，EG＝AB，
同理HF∥AB，HF＝AB，EH∥CD，EH＝CD，
∴EG∥HF，EG＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵AB＝CD，
∴EG＝EH，
∴平行四边形EGFH是菱形．
故选：A．
12．解：A、∵两邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线垂直的平行四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
13．解：① ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故①正确；
② ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故②错误；
③ ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故③正确；
D、 ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故④错误．
故选：A．
14．解：A、∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵四边相等的四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
15．解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG＝DG，
在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG，
∴△AEH≌△DGH，
∴EH＝HG，
同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，
∴EH＝HE＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：D．
16．解：过A作AF⊥DC于F，过B作BE⊥AD，交DA的延长线于E，
∵两张等宽的纸条交叉叠放在一起，
∴AF＝BE，
∵平行四边形ABCD的面积S＝DC×AF＝AD×BE，
∴DC＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：C．
17．解：∵四边形ABCD为菱形，OA＝8，
∴AC⊥BD，AC＝2OA＝16，
∴∠AOB＝90°，
∵E是AB的中点，
∴AB＝2OE＝2×5＝10，
∴OB＝＝＝6，
∴BD＝2OB＝12，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝×16×12＝96，
故答案为：96．
18．解：①∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
又∵∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故①能判定四边形ABCD是菱形；
②∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故②能判定四边形ABCD是菱形；
③∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA＝∠BCA，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形；
④∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故④能判定四边形ABCD是菱形；
故答案为：①②④．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，
∴∠DHB＝90°，
∴OH＝BD＝OD＝OB，
∴∠ODH＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠ODH+∠ODC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC+∠DCO＝90°，
∴∠ODH＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCO；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC＝4，BD⊥AC，
∴AC＝2OC＝4，∠COD＝90°，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝20，
菱形ABCD的面积＝BD×AC＝×6×8＝24．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE；
（2）解：连接AC交BD于O，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，AB＝BC＝10，
∴∠AOC＝∠AOD＝90°，
∴OA＝AB＝5，
∴OB＝＝＝5，
∴OE＝＝＝12，
∴BE＝OB+OE＝5+12．
21．（1）证明：连接BF，如图所示：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，∠BCF＝∠DCF，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴BF＝DF，
∴AF＝DF；
（2）解：由（1）得：△BCF≌△DCF，
∴∠FDC＝∠FBC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，AD∥BC，
∴∠BCF＝∠DCF＝∠BAC，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FBA＝∠BAC＝35°，
∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝110°﹣35°＝75°，
∴∠FDC＝∠FBC＝75°．
22．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠FCB，
∴∠FCB＝∠DBC，
∴GB＝GC，
又∵GE⊥BC，
∴BC＝2BE，
∴AB＝2BE；
（2）如图，延长CF，DA交于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠H＝∠FCB，
∴∠H＝∠ADB，
∴DG＝HG，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝BF，AB＝2BF，
∴BF＝BE，
在△AFH和△BFC中，
，
∴△AFH≌△BFC（AAS），
∴CF＝FH，
在△BGF和△BGE中，
，
∴△BGF≌△BGE（SAS），
∴FG＝GE，
∴DG＝HG＝HF+FG＝FC+GE．
23．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，AD∥BC，AB∥CD，
∵AF∥ED，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠DGC＝∠ADE，
∵DG＝DC，
∴∠DGC＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形．
24．证明：（1）过O作OF⊥CE于F，如图所示：
∵OC＝OE，
∴CF＝EF，
∵OF⊥CE，CE⊥CD，
∴OF∥CD，
∵AB∥DC，
∴OF∥AB，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC；
（2）∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△OCD中，
，
∴△AOB≌△OCD（ASA），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
25．证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE
∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴AE＝DE，BD＝CD
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS））
∴AF＝BD
（2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD，
∴AF＝CD，且AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴
∴四边形ADCF是菱形
26．证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°
∵在△AEO和△AFO中
，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO＝FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
27．证明：∵四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB＝BF，
∴∠ABC＝∠MBF＝90°，
∴∠ABM＝∠FBN，
∴△ABM≌△FBN≌△EDM，
∴BN＝DM，
∴四边形BMDN是平行四边形，
同理△ABM≌△FBN，则BM＝BN，
∴四边形BMDN是菱形．
28．解：（1）∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠CDE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（ASA），
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD．
（2）需要添加∠BAC＝90°．
证明：∵∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD＝BC＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
又∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是菱形．
29．（1）证明：∵BE＝2EC，
∴BC＝3EC，
又∵BC＝3AD，
∴AD＝EC，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠ECD，
∴∠ACD＝∠ACE，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACE＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：如图，取BE的中点H，连接AH，
∵BC＝6，BE＝2EC，
∴EC＝2，BE＝4，
∵四边形AECD是菱形，
∴AE＝CE＝2，∠ADC＝∠AEC＝120°，
∴∠AEB＝60°，
∵点H是BE中点，
∴BH＝EH＝2，
∴AE＝HE，
∴△AEH是等边三角形，
∴AH＝HE＝2＝BH，∠AHE＝60°，
∴∠BAE＝90°，∠ABE＝30°，
∴AB＝AE＝2，
∴△ABE的面积＝×AB×AE＝×2×2＝2．
30．证明：（1）∵△ADF≌△ABC，
∴AB＝AD＝AF＝AC，BC＝DF，∠BAC＝∠DAF＝30°，
∴∠BAD＝∠CAF＝120°，
∴∠ABD＝∠ADB＝30°，∠ACF＝∠AFC＝30°，
∴∠DAF＝∠ADB＝30°，∠ACF＝∠BAC＝30°，
∴AF∥BD，AB∥CF，
∴四边形ABEF平行四边形，
又∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）如图，过点A作AH⊥CF于H，
∵AC＝AF，∠AFC＝30°，AH⊥CF，
∴CH＝FH，AH＝AF＝1，
∴FH＝＝＝，
∴CF＝2，
∵四边形ABEF是菱形，
∴EF＝AF＝2，
∴CE＝2﹣2．
31．（1）证明：连接BD交AC于点F，如图1所示：
∵AB＝AD，∠DAB＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴F是BD的中点，
∴BF＝DF，
在△AED和△AEB中，
，
∴△AED≌△AEB（SAS），
∴DE＝BE，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠EDF，
在△BCF和△DEF中，
，
∴△BCF≌△DEF（ASA），
∴BC＝DE，
∵BC∥DE，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∵BE＝DE，
∴平行四边形DEBC是菱形；
（2）解：过点E作EH⊥AD于点H，如图2所示：
∵四边形DEBC是菱形，
∴∠CDB＝∠EDB＝∠CDE，
∵∠CDE＝2∠EDA，
∴∠BDE＝∠ADE，
∵BD⊥CE，EH⊥AD，
∴EF＝EH＝CE＝1，
∴AH＝EH＝1，
∴AE＝＝＝，
∴AF＝AE+EF＝+1，
∴DF＝AF＝+1，
∴AD＝AF＝（+1）＝2+．