2021-2022学年冀教新版九年级下册数学-第30章 二次函数 单元测试卷（Word版含答案）

2021-2022学年冀教新版九年级下册数学《第30章 二次函数》单元测试卷
一．选择题
1．下列关于x的函数一定为二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝﹣5x2﹣3 C．y＝ax2+bx+c D．y＝x3+x+1
2．若抛物线y＝（1+m）的开口向下，则m的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．1
3．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．x2+y﹣2＝0 C．y2﹣ax＝﹣2 D．x2﹣y2+1＝0
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．图象开口向下
B．图象和y轴交点的纵坐标为﹣3
C．x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＞0，b＜0，c＞0
7．已知点（1，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在函数y＝﹣2x2的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
8．抛物线y＝3（x﹣2）2+1图象上平移2个单位，再向左平移2个单位所得的解析式为（　　）
A．y＝3x2+3 B．y＝3x2﹣1
C．y＝3（x﹣4）2+3 D．y＝3（x﹣4）2﹣1
9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝﹣（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
二．填空题
11．关于x的函数y＝（m﹣2）x|m|﹣4是二次函数，则m＝　 　．
12．当m＝　 　时，函数y＝（m﹣1）是关于x的二次函数．
13．如果y＝（m﹣2）是关于x的二次函数，则m＝　 　．
14．若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是　 　．
15．抛物线y＝ax2﹣3x+a2﹣1如图所示，则a＝　 　．
16．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标为　 　．
17．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列4个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的是　 　．
18．将y＝﹣2（x﹣1）2+6的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为 　 　．
19．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则该函数图象的顶点坐标为　 　．
20．如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．
（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为　 　；
（2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为　 　．
三．解答题
21．已知函数y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数．
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
22．已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
23．已知点A（a，7）在抛物线y＝x2+4x+10上．
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
24．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数的三条性质；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
25．已知函数y＝（m2+m）．
（1）当函数是二次函数时，求m的值；　 　；
（2）当函数是一次函数时，求m的值．　 　．
26．抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．
（1）求出m的值并画出这条抛物线；
（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？
（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
27．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …
其中，m＝　 　．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有　 　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有　 　个不相等的实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有　 　个不相等的实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个不相等的实数根时，a的取值范围是　 　．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、是二次函数，故此选项符合题意；
C、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；
D、x的最高次数是3，故不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：B．
2．解：由y＝（1+m）的开口向下，得，
m＝﹣2，m＝2（不符合题意要舍去），
故选：B．
3．解：A、y＝ax2+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误；
B、x2+y﹣2＝0可变为y＝﹣x2+2，是二次函数，故此选项正确；
C、y2﹣ax＝﹣2不是二次函数，故此选项错误；
D、x2﹣y2+1＝0不是二次函数，故此选项错误；
故选：B．
4．解：当m＞0时，函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限，函数y＝﹣mx2+2x+2的图象开口向下，
∴C选项不符合题意；
当m＜0时，﹣＝＜0，
∴函数y＝mx+m的图象经过第二、三、四象限，函数y＝﹣mx2+2x+2的图象开口向上，且对称轴在y轴左侧，D选项符合题意．
故选：D．
5．解：A、y＝2（x﹣1）2﹣3，
∵a＝2＞0，
∴图象的开口向上，故本选项错误；
B、y＝2（x﹣1）2﹣3＝2x2﹣4x﹣1，
即图象和y轴的交点的纵坐标是﹣1，故本选项错误；
C、∵对称轴是直线x＝1，开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减少，故本选项正确；
D、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误；
故选：C．
6．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a与b异号，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
故选：D．
7．解：∵点（1，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在函数y＝﹣2x2的图象上，
∴y1＝﹣2×12＝﹣2，y2＝﹣2×（﹣2）2＝﹣8，y3＝﹣2×32＝﹣18，
∴y3＜y2＜y1，
故选：C．
8．解：y＝3（x﹣2）2+1图象上平移2个单位，再向左平移2个单位得y＝3（x﹣2+2）2+1+2，即y＝3x2+3．
故选：A．
9．解：当k＞0时，反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过二、四象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴右侧，并与y轴交于负半轴，则C选项不符合题意，D选项符合题意；
当k＜0时，反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴左侧，并与y轴交于正半轴，则A、B选项都不符合题意；
故选：D．
10．解：作PM⊥AD与M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
∵S△APF＝AF PM，
∴S△APF＝×2（4﹣x） x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S△APF有最大值4，
故选：C．
二．填空题
11．解：由题意得：|m|＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．解：依题意可知m2+1＝2
得m＝1或m＝﹣1
又因为m﹣1≠0
∴m≠1
∴当m＝﹣1时，这个函数是二次函数．
13．解：根据二次函数的定义：m2﹣m＝2，m﹣2≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．解：如图所示：当x＝2时，y＝2，
故直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，
则常数m的取值范围是：0＜m＜2．
故答案为：0＜m＜2．
15．解：∵二次函数的图象过原点（0，0），
代入抛物线解析式，得a2﹣1＝0，
解得a＝1或a＝﹣1，
又∵抛物线的开口向下，故a＜0，
∴a＝﹣1．
16．解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
17．解：①∵抛物线的开口向下，对称轴为x＝1，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，
∴abc＜0，结论①不符合题意；
②∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，结论②符合题意；
③∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴当x＝0与x＝2时，y值相等．
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴4a+2b+c＝c＞0，结论③符合题意；
④∵抛物线与x轴有两个不相等的实数根，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，结论④符合题意．
故答案为：②③④．
18．解：y＝﹣2（x﹣1）2+6的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1+2）2+6﹣5，即y＝﹣2（x+1）2+1．
故答案是：y＝﹣2（x+1）2+1．
19．解：∵x＝﹣3、x＝﹣1时的函数值都是﹣3，相等，
∴函数图象的对称轴为直线x＝﹣2，
顶点坐标为（﹣2，﹣2）．
故答案为：（﹣2，﹣2）．
20．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，
∵BE＝5，
∴AE＝＝＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，
∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，
∴正方形CEFG的面积＝EC2＝17．
故答案为17．
（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，
∵＞0，
∴x＝2时，△DFG的面积的最小值为6．
故答案为6．
三．解答题
21．解：（1）由y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数，得
m2+1＝2且m﹣1≠0．
解得m＝﹣1；
（2）当m＝﹣1时，二次函数为y＝﹣2x2+4x﹣5，
a＝﹣2，b＝4，c＝﹣5，
对称轴为直线x＝﹣＝1，
顶点坐标为（1，﹣3）．
22．解：（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m＝0，m≠0，
解得：m＝﹣2；
（2））∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
23．解：（1）∵点A（a，7）在抛物线y＝x +4x+10上，
∴a2+4a+10＝7，
解得，a＝﹣1或﹣3，
∴点A的坐标为（﹣1，7）或（﹣3，7）；
（2）y＝x +4x+10＝（x+2）2+6，
抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，6）．
24．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3a+2＝（x﹣2）2+3a﹣2，
∴该二次函数开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3a﹣2），
其性质有：①开口向上，②有最小值3a﹣2，③对称轴为x＝2．
（2）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，
∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1，
整理为：x2﹣6x+3a+3＝0，
∴△＝36﹣4（3a+3）＞0，
解得a＜2，
把x＝4代入y＝2x﹣1，解得y＝2×4﹣1＝7，
把（4，7）代入y＝x2﹣4x+3a+2得7＝16﹣16+3a+2，解得a＝，
故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，a的取值为≤a＜2．
25．解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，
解得m＝2或m＝0；
又因m2+m≠0，
解得m≠0或m≠﹣1；
因此m＝2．
（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1
解得m＝1；
又因m2+m≠0，
解得m≠0或m≠﹣1；
因此m＝1．
26．解：（1）由抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）得：m＝3．
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．
列表得：
X ﹣1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
图象如右．
（2）由﹣x2+2x+3＝0，得：x1＝﹣1，x2＝3．
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线顶点坐标为（1，4）．
（3）由图象可知：
当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．
（4）由图象可知：
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
27．解：（1）把x＝﹣2代入y＝x2﹣2|x|得y＝0，
即m＝0，
故答案为：0；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有3个不相等的实数根；
②如图，∵y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝2有两个交点，
∴x2﹣2|x|＝2有2个不相等的实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个不相等的实数根，
∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，
故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．