冀教版七年级数学下册11.1 因式分解 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
11.1因式分解
解掌握因式分解的意义.
会判断一个变形是否为因式分解.
理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.
学习目标
1
2
3
解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.
理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.
学习重难点
重点:
难点:
复习导入
1，3，7，21.
问题2：你是怎样想到的？
因为21=1×21=3×7.
【思考】：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？
可以.
问题1：21能被哪些数整除？
探究新知
x(x-2)=_______
(x+y)(x-y)=_______
(x+1)2=________
x2-2x
x2-y2
x2+2x+1
x2-2x=( )( )
x2-y2=( )( )
x2+2x+1=( )2
x
x-2
x+y
x-y
x+1
完成下列题目：
根据左空，解决下列问题：
探究新知
联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式.
观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？
区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.
问题思考
观察下面几个多项式的乘法算式(教材章前内容):
思考:多项式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式.反过来,你能将一个多项式分解成几个整式乘积的形式吗
探究新知
ma+mb=m(a+b)
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
活动1　感知因式分解
1.观察下面计算20112-2011×2010和372-362的过程,哪种更简便
合作探究
(根据乘方的意义直接进行计算.)
(乘法对加法的分配律的逆用.)
(平方差公式.)
合作探究
问题:
(1)小明用的什么方法
(2)小亮的第一个算式用了什么方法
(3)小亮的第二个算式用了什么方法
(2)上面三个算式能反过来,写成整式乘积的形式吗
可以.x2-2x=x(x-2),x2-y2=(x+y)(x-y),x2+2x+1=(x+1)2.
2.多项式的因式分解.
(1)观察下面三个算式:
x(x-2)=x2-2x,(x+y)(x-y)=x2-y2,(x+1) =x2+2x+1..
探究新知
探究新知
像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式.其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
练一练
1.判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(5).2πR+ 2πr= 2π(R+r)
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
因式分解
活动2　整式的乘法与因式分解的关系
提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式．(2)右边是积的形式. (3)右边的因式全是整式.
做题技巧
计算下列式子.
(1)3x(x-1)=　　　　　　　　;
(2)m(a+b-1)=　　　　　　　　;
(3)(m+4)(m-4)=　　　　　　　　;
(4)(y-3)2=　　　　　　　　;
根据上面的算式填空.
(1)3x2-3x=　　　　　　　　　;
(2)ma+mb-m=　　　　　　　　;
(3)m2-16=　　　　　　　　;
(4)y2-6y+9=　　　　　　　　.
思考:因式分解与整式的乘法有什么关系 举例说明.
2.感知整式的乘法和因式分解的关系.
练一练
(1)多项式相乘的结果是什么
(两个多项式相乘的结果是一个多项式,相乘的过程是多项式中的单项式与单项式相乘.)
(将一个多项式进行因式分解的结果是若干个整式的乘积,因式分解的过程是这个多项式分解成若干个整式乘积的形式.)
归纳总结
(2)一个多项式进行因式分解的结果是什么
(3)因式分解和整式的乘法之间是什么关系
多项式的因式分解与乘法运算是不同的.多项式的因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积,而多项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.可见,多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程,如图所示.
归纳总结
想一想
多项式 (整式)×(整式)×…×(整式)
因式分解
整式乘法
两者互为逆运算.
典例精析
【例】检验下列因式分解是否正确？
(1) x2 y-xy 2=xy(x-y)
(2) 2x2-1=(2x+1)(2x-1)
(3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)
看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等
用什么方法检验因式分解是否正确呢？
解：(1) xy(x-y)=
左边=右边，所以是因式分解
(2) (2x+1)(2x-1)=
左边≠右边，所以不是因式分解
(3) (x+1)(x+2)=
左边＝右边，所以是因式分解
典例精析
1.下列各式中,从等号左边到右边的变形,哪些是多项式的因式分解
(1)(2)(3)是,(4)不是.
即学即练
(1)x2-4=(x+2)(x-2); (2)x2+4x+4=(x+2)2;
(3)7m+14n=7(m+2n); (4)x(y+1)=xy+x.
(1)x2-x=x(x-1); (2)10x+5y=5(2x+y);
(3)a2-1=(a+1)(a-1); (4)x2-2x+1=(x-1)2.
(1)(2)(3)(4)都是.
(1)中的因式为x,x-1;(2)中的因式为5,2x+y;(3)中的因式为a+1,a-1;(4)中的因式为x-1,x-1.
2.下列对多项式的变形,哪些是因式分解 是因式分解的,指出它的各因式.
即学即练
3.各式从左到右的变形中,是因式分解的为 (　　)
A.x(a-b)=ax-bx
B.x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2
C.x2-1=(x-1)(x+1)
D.ax+bx+c=x(a+b)+c
解析:由因式分解的定义知,左边是多项式,右边是因式分解乘积的形式.故选C.
C
即学即练
解析:根据因式分解与整式乘法是互逆运算的关系,本题可先将(3x+2)(2x+5)展开,得到一个二次多项式,再与6x2+ax+10比较可得a的值,(3x+2)(2x+5)=6x2+4x+15x+10=6x2+19x+10,因为6x2+ax+10=(3x+2)(2x+5),所以a=19.
4.若6x2+ax+10=(3x+2)(2x+5),则a=　　　　.
19
即学即练
对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.
方法归纳
课堂练习
2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有______ .　
①24x2y=4x 6xy ②（x+5）（x﹣5）=x2﹣25 ③x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1）
④9x2﹣6x+1=3x（x﹣2）+1 ⑤x2+1=x（x+ ）
⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（　　）
A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2
C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x+1=x(2+)
C
③⑥
课堂练习
3. 把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m+n的值为　 ．
4.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m=____,n=____.
8
-7
-10
8
5.若x2-6x+m=(x-4)( x-2),则m=____.
知识拓展
1.若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），求a，b的值.
解：∵x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)
=ax2+ax-6a
∴a=1，b=﹣6a=﹣6，
知识拓展
2.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)， 求mn的值.
解：因为x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4，
所以可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，
则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b
比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.
所以mn=﹣5×20=﹣100．
3.若42x2-31x+2能分解成两个因式的乘积且有一个因式为6x-4,设另一个因式为mx-n,其中m,n为常数,请你求出m,n的值.
解:(6x-4)(mx-n)=6mx2-4mx-6nx+4n=6mx2-(4m+6n)x+4n,
由题意可得42x2-31x+2=6mx2-(4m+6n)x+4n,
知识拓展
4. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值.
知识拓展
解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，
其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，
所以a=6，
同理，乙看错了a，但b是正确的，
分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，
所以b=9，
因此a+b=15．
总结
因式分解
定义：把一个多项式分解成几个整式_____的形式，叫做多项式的因式分解，也叫将多项式___________.
其中，每个整式叫做这个多项式的_______.
与多项式乘法运算的关系
的变形过程.
前者是把一个多项式化为几个整式的_____.，后者是把几个整式的______化为一个_________.
分解因式
因式
相反
多项式
乘积
乘积
乘积
谢谢听讲！