冀教版七年级数学下册11.3.1 公式法 课件 (共23张PPT)

(共23张PPT)
11.3.1公式法
能说出平方差公式的结构特征.
能较熟练地应用平方差公式分解因式.
经历用乘法公式探索分解因式方法的过程，体会从正反两方面认识和研究事物的方法.
学习目标
1
2
3
掌握用平方差公式分解因式的方法.
能综合运用提取公因式法、平方差公式法分解因式.
学习重难点
重点:
难点:
情景导入
观察下图中图形的构成，试着表示出图形的面积.
a2＋b(a－b)=a2－b2＋ab
ab＋(a＋b)(a－b)
方法一：
方法二：
a2－b2＋ab
=ab＋(a＋b)(a－b)
(a＋b)(a－b)=a2－b2
事实上，把乘法公式(平方差公式) =(a+b)(a－b)= a -b ，
反过来，就得到因式分解的(平方差公式)：a -b =(a+b)(a－b)
探究新知
填空:
(1)(x＋5)(x－5)=　　　　;
(2)(3x＋y)(3x－y)=　　　　;
(3)(3m＋2n)(3m－2n)=　　　　.
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:
(1)x2－25=　　 　　;
(2)9x2－y2=　 　 ;
(3)9m2－4n2=　　 .
x2－25
9x2－y2
9m2－4n2
(x＋5)(x－5)
(3x＋y)(3x－y)
(3m＋2n)(3m－2n)
探究新知
多项式a2－b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
已知
(a＋b)(a－b)= a2－b2
可得
a2－b2= (a＋b)(a－b)
因式分解
整式乘法
x2 - 25 = x2 - 52 = ( x+5 )( x-5 ).
a2 - b2
( a+b )( a-b )
例如：
【问题】：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式.
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
平方差公式：
探究新知
归纳
如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式的和与差的积.
典例精析
【例1】把下列各式分解因式.
解:4x2－9y2
=(2x) －(3y) 2
=(2x＋3y) (2x－3y) .
(1)4x2－9y2;
(2)(3m－1)2－9.
解：(3m－1) －9
=(3m－1) －32
=(3m－1＋3)(3m－1－3)
=(3m＋2)(3m－4) .
即学即练
分解因式：x4-y4
解：x4-y4
= (x2+y2)(x2-y2)
= (x2+y2)(x+y)(x-y).
方法归纳：分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
归纳
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
因式分解—平方差公式的逆用
判断能否用平方差公式应过几关？
三关：
（1）项数关：
（2）符号关：
（3）平方关：
2项
相反
每一项的绝对值都可化为某个整式的平方.
观察公式有何特征？
合作探究
即学即练
下列各式能用平方差公式因式分解吗？为什么？
A．m +n B．-m -n C．-m +n D． m -tn
解：A．m +n 的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
B．-m -n 的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C．-m +n 符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
D． m -tn 不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解．
问题：
【例2】把下列各式分解因式.
(2)2ab3－2ab
=2ab(b2－1)
=2ab(b＋1)(b－1).
典例精析
(1)a3－16a;
(2)2ab3－2ab.
解:(1) a3－16a
=a(a2－16)
=a(a－4)(a＋4) .
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.
即学即练
把x3－9x分解因式，结果正确的是( )
A.x(x2－9) B.x(x－3)2
C.x(x＋3)2 D.x(x＋3)(x－3)
D
归纳：因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
课堂练习
1. 将下列多项式分解因式：
① a2- 25 = ___________________
② 9a2-b2= ___________________
③ (a+b)2-9a2 = ________________
④ -a4+16 = ___________________
(a+5)(a–5)
(3a+b)(3a-b)
(4a+b)(b-2a)
(4+a2)(2+a)(2-a)
课堂练习
2. 因式分解的结果是（x+y﹣z）（x﹣y+z）的多项式是（　）
A．x2﹣（y+z）2 B．（x﹣y）2﹣z 2
C．﹣（x﹣y）2+z2 D．x2﹣（y﹣z）2
A
3.因式分解x2－4y2的结果是( )
A.(x＋4y)(x－4y) B.(x＋2y)(x－2y)
C.(x－4y)2 D.(x－2y)2
B
4.（1）9y2=( )2； （2） =( )2；
3y
5.把下列多项式因式分解：
（1）9y2-4x2； （2）( x+y )2-( y-x )2；
（3）x4-16； （4）a3-ab2.
答案：（1）( 3y+2x )( 3y-2x )；（2）4xy；（3）( x2+4 )( x+2 )( x-2 )；（4）a( a+b )( a-b ).
课堂练习
6.把( x+y )2 - ( x-y )2因式分解.
解：( x+y )2 - ( x-y )2
= [( x+y )+( x-y )][( x+y ) - ( x-y )]
= 2x·2y
= 4xy.
课堂练习
6.把x3y2 - x5因式分解.
解：x3y2 - x5
=x3( y2 - x2 )
=x3( y + x )( y - x ).
7.把x4-y4因式分解.
在因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.
8.把25x2-4y2因式分解.
解：25x2-4y2
=( 5x )2 - ( 2y )2
=( 5x+2y )( 5x-2y ).
解
：
x4-y4
=
(
x2
)
2
-
(
y2
)
2
=
(
x2
+
y2
)(
x2
-
y2
)
=
(
x2
+
y2
)
(
x
+
y
)
(
x
-
y
).
课堂练习
课堂练习
9. 已知：a2-b2=21, a-b=3，求代数式(a-3b)2的值.
解： 因为 a-b=3，
所以(a+b)(a-b)=21，
所以 a+b=7
由 a-b=3和a+b=7解得
a=5,b=2
所以(a-3b)2
=(5-3×2)2 =1.
总结
用平方差公式因式分解
依据
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
a2-b2=(a+b)(a-b)
与提公因式法综合运用
①提取公因式；
②运用平方差公式；
③检查多项式的因式分解是否完全，有没有分解到不能再分解为止.
谢谢听讲！