5.1.2垂线 课件(共26张PPT)
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(共26张PPT)
人教版 七年级数学下册
第5章 相交线与平行线
5.1.2 垂线
学习目标
1. 理解垂线的有关概念、性质及画法.
2. 知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用解决问题.
日常生活中，如下图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？
引入新课
活动：在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，
当b的位置变化时，a、b所成的角α也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
当角α为90度时，我们就称a与b互相垂直
新知探究
问题：如图，当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 等于多少度？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角和邻补角的性质，知当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
1. 垂线的定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
2. 垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”.
如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.
O
A
B
C
D
3. 交点O叫做垂足.
4. 垂直是相交的特殊情况.
一、垂线的概念
新课讲解
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
①判定：∵∠AOD=90°,（已知）
∴AB⊥CD.（垂直的定义）
垂线的符号语言
符号语言：
②性质：∵ AB⊥CD ，（已知）
∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
A
B
C
D
O
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么∠AOD=90°.
例1：(1)如图1，若直线m、n相交于点 O ，∠1＝90°， ；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD =______；
(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____，∠BOC的补角为 .
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
图1
图2
典例分析
问题:
(1)画已知直线 l 的垂线能画几条
(2)过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
(3)过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
A
.B
l
.
二、垂线的画法及基本事实
新知探究
问题：像这样画l的垂线可以画几条？
1.放
2.靠
3.画
l
O
如图，已知直线 l ，作 l 的垂线.
A
无数条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和 l 上的一点A ，作 l 的垂线.
问题：这样画l的垂线可以画几条？
一条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操作，你能得出什么结论
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
注意：
总结归纳
C
D
E
l
1. 线段AB, AC, AD , AE谁最短？
2. 你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
B
A
三、垂线段及点到直线的距离
新知探究
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.
简单说成：垂线段最短
线段 AD 的长度叫做点 A 到直线 l 的距离.
特别规定：
D
l
A
总结归纳
例2：在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
典例分析
1. 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( )
A. 有两个角相等 B.有两对角相等
C. 有三个角相等 D.有四对邻补角
C
2. 如图, AB⊥CD, ∠ACB=90° ，线段AC、BC、CD中最短的是 ( )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
当堂巩固
3. 过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
A B C D
C
5. 如图，已知直线AB、CD都经过O 点，OE为射线，若∠1＝35°, ∠2＝ 55°，则OE与AB的位置关系是 .
垂直
D
C
A
B
O
E
1
2
4. 下列说法正确的是（ ）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
B.线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
C.线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
D.线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
A
B
C
D
D
6. 已知：如图， AB⊥CD ,垂足为 O , EF 为过点 O 的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A. 相等 B. 互余
C. 互补 D. 互为对顶角
A
B
C
D
E
F
O
1
2
B
1.（2分）（2021 北京3/28）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
又∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
故选：A．
感受中考
2.（3分）（2020 河北1/26）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【解答】解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，
所以作已知直线m的垂线，可作无数条．
故选：D．
感受中考
3.（3分）（2020 吉林11/26）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．
他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 ．
垂线段最短
感受中考
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1. 垂线的定义
2. 垂线的画法
3. 垂线的性质
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
一、放；二、靠；三、移 ；四、画.
4. 点到直线的距离
(2)垂线段最短
课堂小结
A层作业：数学书第5页练习，第8页3、4题.
B层作业：数学书第8页第5、6 题.
布置作业
人教版 七年级数学下册
第5章 相交线与平行线
5.1.2 垂线
学习目标
1. 理解垂线的有关概念、性质及画法.
2. 知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用解决问题.
日常生活中，如下图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？
引入新课
活动：在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，
当b的位置变化时，a、b所成的角α也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
当角α为90度时，我们就称a与b互相垂直
新知探究
问题：如图，当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 等于多少度？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角和邻补角的性质，知当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
1. 垂线的定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
2. 垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”.
如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.
O
A
B
C
D
3. 交点O叫做垂足.
4. 垂直是相交的特殊情况.
一、垂线的概念
新课讲解
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
①判定：∵∠AOD=90°,（已知）
∴AB⊥CD.（垂直的定义）
垂线的符号语言
符号语言：
②性质：∵ AB⊥CD ，（已知）
∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
A
B
C
D
O
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么∠AOD=90°.
例1：(1)如图1，若直线m、n相交于点 O ，∠1＝90°， ；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD =______；
(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____，∠BOC的补角为 .
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
图1
图2
典例分析
问题:
(1)画已知直线 l 的垂线能画几条
(2)过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
(3)过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
A
.B
l
.
二、垂线的画法及基本事实
新知探究
问题：像这样画l的垂线可以画几条？
1.放
2.靠
3.画
l
O
如图，已知直线 l ，作 l 的垂线.
A
无数条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和 l 上的一点A ，作 l 的垂线.
问题：这样画l的垂线可以画几条？
一条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操作，你能得出什么结论
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
注意：
总结归纳
C
D
E
l
1. 线段AB, AC, AD , AE谁最短？
2. 你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
B
A
三、垂线段及点到直线的距离
新知探究
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.
简单说成：垂线段最短
线段 AD 的长度叫做点 A 到直线 l 的距离.
特别规定：
D
l
A
总结归纳
例2：在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
典例分析
1. 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( )
A. 有两个角相等 B.有两对角相等
C. 有三个角相等 D.有四对邻补角
C
2. 如图, AB⊥CD, ∠ACB=90° ，线段AC、BC、CD中最短的是 ( )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
当堂巩固
3. 过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
A B C D
C
5. 如图，已知直线AB、CD都经过O 点，OE为射线，若∠1＝35°, ∠2＝ 55°，则OE与AB的位置关系是 .
垂直
D
C
A
B
O
E
1
2
4. 下列说法正确的是（ ）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
B.线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
C.线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
D.线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
A
B
C
D
D
6. 已知：如图， AB⊥CD ,垂足为 O , EF 为过点 O 的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A. 相等 B. 互余
C. 互补 D. 互为对顶角
A
B
C
D
E
F
O
1
2
B
1.（2分）（2021 北京3/28）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
又∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
故选：A．
感受中考
2.（3分）（2020 河北1/26）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【解答】解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，
所以作已知直线m的垂线，可作无数条．
故选：D．
感受中考
3.（3分）（2020 吉林11/26）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．
他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 ．
垂线段最短
感受中考
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1. 垂线的定义
2. 垂线的画法
3. 垂线的性质
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
一、放；二、靠；三、移 ；四、画.
4. 点到直线的距离
(2)垂线段最短
课堂小结
A层作业：数学书第5页练习，第8页3、4题.
B层作业：数学书第8页第5、6 题.
布置作业