2021-2022学年湖南省怀化市通道县九年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年湖南省怀化市通道县九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．在比例尺为1：100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（　　）
A．100km B．2000m C．10km D．20km
2．若函数的图象经过点A（2，），则k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
3．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．x2+y+3＝0
C．x（x﹣1）＝x2﹣2 D．x2＝1
4．如果ab＝cd，则下列正确的是（　　）
A．a：b＝c：d B．a：b＝d：c C．a：c＝b：d D．a：c＝d：b
5．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝30°，∠E＝50°，则∠F的度数为（　　）
A．110° B．100° C．90° D．80°
6．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．养殖户老杨为了估计自己鱼塘1斤以上的鱼有多少条，老杨先从鱼塘里捞出了100条1斤以上的鱼做上标记，然后放回鱼塘里．经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，老杨又从鱼塘捞出200条1斤以上的鱼，其中20条有标记，那么估计鱼塘里有1斤以上的鱼（　　）
A．1000条 B．2000条 C．3000条 D．4000条
9．已知点P1（﹣3，y1），P2（﹣2，y2），P3（1，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
10．如图，△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝4cm，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形边长x为（　　）
A．6cm B．5cm C．3cm D．4cm
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．设2a﹣3b＝0，则＝　 　．
12．已知△ABC∽△DEF，相似比是1：3，则面积比S△ABC：S△DEF＝　 　．
13．已知方程（k﹣3）x|k﹣1|+3x+2＝0．当k＝　 　时，为一元二次方程．
14．如图，一斜坡AB的坡度是，将重物从坡底A推到坡上20米的M处停下，则停止地点M的高度为 　 　米．
15．某校甲乙两个舞蹈队队员的平均身高相等，甲队队员身高的方差是S甲2＝3.2，乙队队员身高的方差是S乙2＝1.5，那么两队中队员身高更整齐的是 　 　队． （填“甲”或“乙”）
16．如图，△OAB，△BA1B1都是等边三角形，顶点A，A1在反比例函数的图象上，则B、B1的坐标分别是 　 　、　 　．
三、解答题（共86分）
17．计算：4cos30°﹣2sin60°+（tan45°﹣）2．
18．解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣9＝0；
（2）（x﹣2）（x﹣1）＝2x﹣4．
19．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE＝90°．
求证：△ACD∽△BEC．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1 x2＝4，求m的值．
21．数学知识来源于生活，并服务于生活实践．小明去测量某广场上矗立的古塔的高度：小明在广场上的A点测得仰望古塔C点的仰角是30°，向前行进30m到B处，此时测得C点的仰角是60°，请你计算出古塔CD的高．（A、B、D在同一直线上，≈1.732，结果保留一位小数）
22．对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了调查同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试，把测试成绩分成“优、良、中、差”四个等级，绘制了不完整的统计图：
根据以上统计信息，解答下列问题：
（1）求成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比；
（2）求本次随机抽取问卷测试的人数；
（3）请把条形统计图补充完整；
（4）若该校学生人数为4000人，请估计成绩是“优”和“良”的学生共有多少人？
23．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克128元，连续两次降价后每千克98元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率；
（2）若该水果每千克盈利20元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证销售该水果每天盈利9000元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？
24．如图，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，tan∠BAO＝．
（1）求一次函数系数a的值；
（2）求双曲线的解析式；
（3）若点Q为双曲线上点P右侧一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．在比例尺为1：100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（　　）
A．100km B．2000m C．10km D．20km
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺列出算式，再进行计算即可．
解：2÷＝200000（厘米）＝2（千米），
答：甲、乙两地的实际距离是2千米．
故选：B．
2．若函数的图象经过点A（2，），则k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
【分析】把点A（2，）代入解析式，解之即可求得k．
解：∵函数的图象经过点A（2，），
∴＝，
解得：k＝1．
故选：A．
3．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．x2+y+3＝0
C．x（x﹣1）＝x2﹣2 D．x2＝1
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
解：A．不是整式方程，故本选项不合题意；
B．含有两个未知数，故本选项不合题意；
C．方程整理得﹣x+2＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
4．如果ab＝cd，则下列正确的是（　　）
A．a：b＝c：d B．a：b＝d：c C．a：c＝b：d D．a：c＝d：b
【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据成比例线段的定义解答即可．
解：∵ab＝cd，
∴a：c＝d：b，
故选：D．
5．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝30°，∠E＝50°，则∠F的度数为（　　）
A．110° B．100° C．90° D．80°
【分析】要求∠F的大小，利用△ABC∽△DEF，得到对应角相等，然后在△DEF中依据三角形内角和定理，求出∠F的大小．
解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠D＝∠A＝30°，
∴∠F＝180﹣∠D﹣∠E＝100°，
故选：B．
6．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
解：A、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确；
B、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故B选项错误；
C、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故C选项错误；
D、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误．
故选：A．
7．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用平行线分线段成比例和相似三角形的性质可逐一判断．
解：∵DE∥BC，
∴＝，故C错误；
∴＝，故D错误；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，故B正确，A错误，
∴下列比例式成立的是B．
故选：B．
8．养殖户老杨为了估计自己鱼塘1斤以上的鱼有多少条，老杨先从鱼塘里捞出了100条1斤以上的鱼做上标记，然后放回鱼塘里．经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，老杨又从鱼塘捞出200条1斤以上的鱼，其中20条有标记，那么估计鱼塘里有1斤以上的鱼（　　）
A．1000条 B．2000条 C．3000条 D．4000条
【分析】用先从鱼塘里捞出的100条1斤以上的鱼的数量除以所抽样本中1斤以上的鱼所占比例即可．
解：估计鱼塘里有1斤以上的鱼有100÷＝1000（条），
故选：A．
9．已知点P1（﹣3，y1），P2（﹣2，y2），P3（1，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】根据函数的解析式得出函数y＝的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再比较即可．
解：∵函数y＝中k＝4＞0，
∴函数y＝的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点P1（﹣3，y1），P2（﹣2，y2），P3（1，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴点P1、P2在第三象限，点P3在第一象限，
∴y2＜y1＜y3，
故选：C．
10．如图，△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝4cm，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形边长x为（　　）
A．6cm B．5cm C．3cm D．4cm
【分析】由正方形的性质得出PN∥BC，可证明△APN∽△ABC，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求x的值．
解：如图，AD与PN交于点I，则PN＝xcm，AI＝（4﹣x）（cm），
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，
即，
解得x＝3．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．设2a﹣3b＝0，则＝　　．
【分析】利用比例的基本性质进行计算即可解答．
解：∵2a﹣3b＝0，
∴2a＝3b，
∴＝，
∴＝＝，
故答案为：．
12．已知△ABC∽△DEF，相似比是1：3，则面积比S△ABC：S△DEF＝　1：9　．
【分析】由△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴S△ABC：S△DEF＝1：9．
故答案为：1：9．
13．已知方程（k﹣3）x|k﹣1|+3x+2＝0．当k＝　﹣1　时，为一元二次方程．
【分析】根据一元二次方程的定义得到k﹣3≠0且|k﹣1|＝2，据此可得k的值．
解：根据题意得k﹣3≠0且|k﹣1|＝2，
解得k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．如图，一斜坡AB的坡度是，将重物从坡底A推到坡上20米的M处停下，则停止地点M的高度为 　12　米．
【分析】过点M作MN⊥AC于N，根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案．
解：过点M作MN⊥AC于N，
设MN＝3x米，
∵斜坡AB的坡度是，
∴AN＝4x米，
在Rt△AMN中，AM2＝AN2+MN2，即202＝（4x）2+（3x）2，
解得：x1＝4，x2＝﹣4（舍去），
则MN＝3x＝12（米），
故答案为：12．
15．某校甲乙两个舞蹈队队员的平均身高相等，甲队队员身高的方差是S甲2＝3.2，乙队队员身高的方差是S乙2＝1.5，那么两队中队员身高更整齐的是 　乙　队． （填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义求解即可．
解：∵S甲2＝3.2，S乙2＝1.5，
∴S乙2＜S甲2，
∴两队中队员身高更整齐的是乙队，
故答案为：乙．
16．如图，△OAB，△BA1B1都是等边三角形，顶点A，A1在反比例函数的图象上，则B、B1的坐标分别是 　（2，0）　、　（2，0）　．
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，先在△OCA中，表示出OC和AC的长度，表示出A1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA的长度，表示出B的坐标，同理可求得B1的坐标．
解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，
∵△OAB为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝BC，
∴AC＝OC，
设OC的长度为t，则A的坐标为（t，t），
把A（t，t）代入得t t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），
∴OB＝2OC＝2，
∴B（2，0），
设BD的长度为m，同理得到A1D＝m，则A1的坐标表示为（2+m，m），
把A1（2+m，m）代入得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），
∴BD＝﹣1，BB1＝2﹣2，OB1＝2+2﹣2＝2，
∴B1（2，0），
故答案为：（2，0），（2，0）．
三、解答题（共86分）
17．计算：4cos30°﹣2sin60°+（tan45°﹣）2．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而利用乘法公式以及二次根式的乘法运算法则分别化简，进而合并得出答案．
解：原式＝4×﹣2×+（1﹣）2
＝2﹣+1+3﹣2
＝4﹣．
18．解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣9＝0；
（2）（x﹣2）（x﹣1）＝2x﹣4．
【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；
（4）提取公因式分解因式求解可得．
解：（1）（x﹣2）2﹣9＝0，
（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝±3，
∴x1＝5，x2＝﹣1；
（2）（x﹣2）（x﹣1）＝2x﹣4，
（x﹣2）（x﹣1）﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3．
19．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE＝90°．
求证：△ACD∽△BEC．
【分析】证出∠BCE＝∠ADC，根据相似三角形的判定可得出结论．
【解答】证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠DAC＝∠CBE＝90°，
∴∠ADC+∠DCA＝90°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DCA+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ADC，
∴△ACD∽△BEC．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1 x2＝4，求m的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝4m2﹣4（m2+m）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，则2m+m2+m＝4，然后解关于m的方程，再利用m的范围确定m的值．
解：（1）根据题意得Δ＝4m2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，
∵x1+x2+x1 x2＝4，
∴2m+m2+m＝4，
整理得m2+3m﹣4＝0，解得m1＝﹣4，m2＝1，
∵m≤0，
∴m的值为﹣4．
21．数学知识来源于生活，并服务于生活实践．小明去测量某广场上矗立的古塔的高度：小明在广场上的A点测得仰望古塔C点的仰角是30°，向前行进30m到B处，此时测得C点的仰角是60°，请你计算出古塔CD的高．（A、B、D在同一直线上，≈1.732，结果保留一位小数）
【分析】先证CB＝AB＝30m，再由锐角三角函数定义求出CD的长即可．
解：由题意得：∠A＝30°，AB＝30m，∠CBD＝60°，
∵∠CBD＝∠A+∠BCA，
∴∠BCA＝∠CBD﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠BCA，
∴CB＝AB＝30m，
在Rt△BCD中，sin∠CBD＝，
∴CD＝CB×sin∠CBD＝CB×sin60°＝30×＝15≈26.0（m），
答：古塔CD的高约为26.0m．
22．对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了调查同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试，把测试成绩分成“优、良、中、差”四个等级，绘制了不完整的统计图：
根据以上统计信息，解答下列问题：
（1）求成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比；
（2）求本次随机抽取问卷测试的人数；
（3）请把条形统计图补充完整；
（4）若该校学生人数为4000人，请估计成绩是“优”和“良”的学生共有多少人？
【分析】（1）用成绩是“优”所在扇形圆心角的度数除以360°即可；
（2）用成绩是“优”的人数除以所占的百分比即可；
（3）利用总人数减去其它组的人数即可求得成绩是“中”的人数，从而补全条形图；
（4）利用总人数4000乘以成绩是“优”和“良”的学生所占的百分比即可．
解：（1）成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比是：＝20%；
（2）本次随机抽取问卷测试的人数是：40÷20%＝200（人）；
（3）成绩是“中”的人数是200﹣（40+70+30）＝60（人），
条形统计图补充如下：
（4）4000×＝2200（人），
答：成绩是“优”和“良”的学生共有2200人．
23．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克128元，连续两次降价后每千克98元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率；
（2）若该水果每千克盈利20元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证销售该水果每天盈利9000元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为a，（1﹣a）2为两次降价的百分率，可列出方程，求解即可；
（2）根据总盈利＝每千克盈利×数量，列出一元二次方程，然后求出其解即可得到结果．
解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
128（1﹣a）2＝98，
解得：a1＝（舍去），a2＝0.125＝12.5%，
答：每次下降的百分率为12.5%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得：
（20+x）（500﹣20x）＝9000，
整理，得 x2﹣5x﹣50＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣5（不合题意舍去），
答：该商场要保证每天盈利9000元，那么每千克应涨价10元．
24．如图，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，tan∠BAO＝．
（1）求一次函数系数a的值；
（2）求双曲线的解析式；
（3）若点Q为双曲线上点P右侧一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
【分析】（1）根据tan∠BAO＝，B（0，1）可得AO＝2，再将将A（﹣2，0）代入一次函数解析式得﹣2a+1＝0即可；
（2）将y＝2代入y＝，得x＝2，可知点P的坐标，再代入反比例函数关系式即可；
（3）设Q（a，b），则b＝，分△QCH∽△BAO或△QCH∽△ABO，根据对应边成比例列出方程即可解决问题．
解：（1）由图象可知，当x＝0时，y＝1，
∴B（0，1），
∴BO＝1，
∵tan∠BAO＝，
∴AO＝2，
∴A（﹣2，0），
将A（﹣2，0）代入一次函数解析式得﹣2a+1＝0，
∴a＝；
（2）∵PC＝2，
将y＝2代入y＝，
得x＝2，
∴P（2，2），
将P（2，2）代入y＝得k＝4，
∴双曲线的解析式为y＝；
（3）设Q（a，b），
∵Q（a，b）在y＝上，
∴b＝，
当△QCH∽△BAO时，可得，
即，
∴a﹣2＝2b，即a﹣2＝，
∴a＝4或a＝﹣2（舍去），
∴Q（4，1）；
当△QCH∽△ABO时，可得，
即，
整理得2a﹣4＝，
解得a＝1+或a＝1﹣（舍），
∴Q（1+，2﹣2），
综上所述，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．