2021-2022学年吉林省长春市朝阳区第二实验学校九年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年吉林省长春市朝阳区第二实验学校九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．数轴上表示1，﹣1，﹣5，2这四个数的点与原点距离最远的是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．2
2．根据吉林省第七次全国人口普查公报显示长春市常住人口约为907万人，907万这个数用科学记数法表示为（　　）
A．9.07×102 B．9.07×106 C．90.7×105 D．9.07×107
3．如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是（　　）
A． B． C． D．
4．关于x的不等式2x+a≥1的解集如图所示，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
5．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知a∥b，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2＝50°，则∠1等于（　　）
A．140° B．150° C．160° D．170°
7．如图，CD是△ABC的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点；
（2）作直线GH交AB于点E；
（3）在直线GH上截取EF＝AE；
（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．
则下列说法错误的是（　　）
A．AE＝BE B．GH∥CD C．AB＝EF D．∠APB＝45°
8．如图，在四边形OABC中，点A在x轴正半轴上，∠B＝90°，BC∥x轴，D为AB边中点，双曲线y＝（x＞0）经过C、D两点，若△BCD的面积是3，则k的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．因式分解：x2y﹣y＝　 　．
10．关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是 　 　.（填一个即可）
11．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点，将△ADE绕点A旋转至△ABE′，连接EE′，若DE＝2，则EE′的长等于 　 　．
12．如图，等边△ABC边长为4，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，分别以D、E、F为圆心，DE长为半径画弧，围成一个曲边三角形，则曲边三角形的周长为 　 　．
13．如图，△ABC，△FGH中，D，E两点分别在AB，AC上，F点在DE上，G，H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC＝4：6：5，△FGH的面积是4，则△ADE的面积是 　 　．
14．如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA的坡度为1：2（即AC：PC），洞口A离点P的水平距离PC为12米，则小明这一杆球移动到洞口A正上方时离洞口A的距离AE为 　 　米．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．先化简，再求值：（x﹣1）2+x（4﹣x），其中x＝﹣．
16．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，“微信”“支付宝”“银行卡”这三种支付方式分别用“A”“B”“C”表示，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
17．为落实党中央“绿水青山就是金山银山”发展理念，某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成了这一任务，求原计划工作时每天绿化的面积为多少万平方米．
18．图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在图1、图2、图3中，只用无刻度的直尺，在给定的网格内按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图1中，画一个△ABP，使得其中一个内角为45°．
（2）在图2中，画一个等腰△ABQ，使得△ABQ面积等于．
（3）在图3中，画一个四边形ABMN，使得∠A+∠M＝180°．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC．
（2）若⊙O的直径为5，cosC＝，则CF的长为 　 　．
20．为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表
一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首
人数 10 10 15 40 25 20
请根据调查的信息分析：
（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为　 　；
（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
21．已知A，B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离A地的距离y（km）与时间x（h）的关系如图所示．
（1）甲的速度是 　 　km/h，a的值为 　 　km．
（2）求乙提速后y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（3）如果甲出发的同时，丙从B地以5km/h的速度出发匀速驶向A地，直接写出丙在行驶过程中经过多少小时与甲、乙距离相等．
22．探究：如图①，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，求证：BF＝AE．
拓展：如图②，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CD＝2BD，CF⊥AD于点E，交AB于F，则BF的值为 　 　．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，M为AD的中点，点P从点D出发，沿D→C→A方向向终点A运动，在DC、CA边的速度分别为每秒3个单位、5个单位；点Q从B点出发沿B→A→D方向向终点D运动，在BA、AD边的速度分别为每秒5个单位、4个单位，当P、M、Q三点不共线时以MP、MQ为邻边构造 MPNQ，点P的运动时间为t（s）．
（1）tanB的值是 　 　．
（2）当点N落在BC上时，求t值．
（3）当点P在CD边（不包括端点）运动且PN与△ACD的边平行或垂直时，求PQ的值．
（4）当点N在△ABC内部时，直接写出t的取值范围．
24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+2m（m为常数）的顶点为M，抛物线与直线x＝m+1交于点A，与直线x＝﹣3交于点B，将抛物线在A、B之间的部分（包含A、B两点且A、B不重合）记作图象G．
（1）当m＝﹣1时，求图象G与x轴交点坐标．
（2）当AB∥x轴时，求图象G对应的函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
（3）当图象G的最高点与最低点纵坐标的差等于1时，求m的取值范围．
（4）连接AB，以AB为对角线构造矩形AEBF，并且矩形的各边均与坐标轴垂直，当点M与图象G的最高点所连线段将矩形AEBF的面积分为1：2两部分时，直接写出m值．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．数轴上表示1，﹣1，﹣5，2这四个数的点与原点距离最远的是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．2
【分析】根据绝对值的性质判断即可．
解：∵|﹣1|＝|1|＜|2|＜|﹣5|，
∴这四个数的点与原点距离最远的是﹣5．
故选：C．
2．根据吉林省第七次全国人口普查公报显示长春市常住人口约为907万人，907万这个数用科学记数法表示为（　　）
A．9.07×102 B．9.07×106 C．90.7×105 D．9.07×107
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
解：907万＝9070000＝9.07×106．
故选：B．
3．如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画出该组合体的三视图即可．
解：这个组合体的三视图如下：
故选：A．
4．关于x的不等式2x+a≥1的解集如图所示，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】解不等式得出x≥，结合数轴知＝﹣1，解之即可．
解：由2x+a≥1，得：x≥，
结合数轴知＝﹣1，
∴a＝3，
故选：D．
5．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：
．
故选：D．
6．已知a∥b，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2＝50°，则∠1等于（　　）
A．140° B．150° C．160° D．170°
【分析】延长CA交直线a于点D，
解：延长CA交直线a于点D，如图所示：
由题意可得∠BAC＝60°，
∵a∥b，∠2＝50°，
∴∠EDC＝∠2＝50°，
∵∠BAC是△ADE的外角，
∴∠AED＝∠BAC﹣∠DEC＝10°，
∴∠1＝180°﹣∠AED＝170°．
故选：D．
7．如图，CD是△ABC的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点；
（2）作直线GH交AB于点E；
（3）在直线GH上截取EF＝AE；
（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．
则下列说法错误的是（　　）
A．AE＝BE B．GH∥CD C．AB＝EF D．∠APB＝45°
【分析】根据作图过程可得GH是AB的垂直平分线，进而可以逐一判断．
解：根据作图过程可知：GH是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，GH⊥AB，故A选项正确；
∵CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，
∴GH∥CD，故B选项正确；
∵EF＝AE，
∴AB＝2AE＝2EF，故C选项错误；
∴∠EFA＝∠EAF＝45°，
∴∠APB＝45°．故D选项正确．
∴说法错误的是C．
故选：C．
8．如图，在四边形OABC中，点A在x轴正半轴上，∠B＝90°，BC∥x轴，D为AB边中点，双曲线y＝（x＞0）经过C、D两点，若△BCD的面积是3，则k的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】设AD＝BD＝n，则D（，n），利用△BCD的面积是3，求得BC，即可得到C（﹣，2n），代入y＝，即可求得k＝12．
解：设AD＝BD＝n，则D（，n），
∵∠B＝90°，BC∥x轴，△BCD的面积是3，
∴BC BD＝3，即BC n＝3，
∴BC＝，
∴C（﹣，2n），
∵双曲线y＝（x＞0）经过C、D两点，
∴2n（（﹣）＝k，
解得k＝12，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．因式分解：x2y﹣y＝　y（x+1）（x﹣1）　．
【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．
解：原式＝y（x2﹣1）＝y（x+1）（x﹣1），
故答案为：y（x+1）（x﹣1）．
10．关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是 　0　.（填一个即可）
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1﹣a≠0且Δ＝22﹣4×（1﹣a）×（﹣2）＞0，然后求出a的范围即可．
解：根据题意得1﹣a≠0且Δ＝22﹣4×（1﹣a）×（﹣2）＞0，
解得a＜且a≠1，
所以a可以取0．
故答案为0．
11．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点，将△ADE绕点A旋转至△ABE′，连接EE′，若DE＝2，则EE′的长等于 　4　．
【分析】根据旋转性质可得△AEE'是等腰直角三角形，求出AE2即可得到答案．
解：∵正方形ABCD的边长为6，DE＝2，
∴AE2＝AB2+DE2＝40，
∵将△ADE绕点A旋转至△ABE′，
∴∠E'AE＝∠BAD＝90°，AE'＝AE，
∴EE'＝＝＝4．
故答案为：4．
12．如图，等边△ABC边长为4，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，分别以D、E、F为圆心，DE长为半径画弧，围成一个曲边三角形，则曲边三角形的周长为 　2π　．
【分析】连接DF，DE，EF，根据三角形的中位线求出DE＝EF＝DF＝2，得出△DEF是等边三角形，求出∠EDF＝DFE＝∠DEF＝60°，根据弧长公式求出每段弧的长度即可．
解：连接DF，DE，EF，
∵△ABC是等边三角形，三角形的边长为4，
∴AB＝AC＝BC＝4，
∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DF＝BC＝2，DE＝AC＝2，EF＝AB＝2，
∴DF＝DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝DFE＝∠DEF＝60°，
∴的长度＝的长度＝的长度＝＝，
∴曲边三角形的周长为++＝2π，
故答案为：2π．
13．如图，△ABC，△FGH中，D，E两点分别在AB，AC上，F点在DE上，G，H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC＝4：6：5，△FGH的面积是4，则△ADE的面积是 　9　．
【分析】先由DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC得到△ADE∽△FGH，四边形BDFG和四边形EFHC是平行四边形，然后由BG：GH：HC＝4：6：5得到DE：GH的值，最后由△FGH的面积为4求得△ADE的面积．
解：∵DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，
∴△ADE∽△FGH，四边形BDFG和四边形EFHC是平行四边形，
∴DF＝BG，EF＝HC，＝（）2，
由BG：GH：HC＝4：6：5，
∴＝，
∵△FGH的面积为4，
∴S△ADE＝4×（）2＝9．
故答案为：9．
14．如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA的坡度为1：2（即AC：PC），洞口A离点P的水平距离PC为12米，则小明这一杆球移动到洞口A正上方时离洞口A的距离AE为 　　米．
【分析】如图，以点P为坐标原点建立平面直角坐标系，根据已知条件得到AC＝12＝6，求得B（9，12），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣9）2+12，把P（0，0）代入得到抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣9）2+12，当x＝12时，求得CE＝，于是得到答案．
解：如图，以点P为坐标原点建立平面直角坐标系，
在Rt△AOC中，
∵AC：PC＝1：2，PC为12米，
∴AC＝12＝6，
∵当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米，
∴B（9，12），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣9）2+12，
把P（0，0）代入得，0＝a（0﹣9）2+12，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣9）2+12，
当x＝12时，y＝，
即CE＝，
∴AE＝CE﹣AC＝﹣6＝，
故答案为：．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．先化简，再求值：（x﹣1）2+x（4﹣x），其中x＝﹣．
【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
解：（x﹣1）2+x（4﹣x）
＝x2﹣2x+1+4x﹣x2
＝2x+1，
当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）+1＝﹣2+1＝﹣1．
16．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，“微信”“支付宝”“银行卡”这三种支付方式分别用“A”“B”“C”表示，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一支付方式的有3种，再由概率公式求解即可．
解：根据题意画图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一支付方式的有3种，
∴小明和小亮两人恰好选择同一支付方式的概率为＝．
17．为落实党中央“绿水青山就是金山银山”发展理念，某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成了这一任务，求原计划工作时每天绿化的面积为多少万平方米．
【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际工作每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米，由题意：某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成了这一任务，列出分式方程，解方程即可．
解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际工作每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米，
依题意得：﹣＝8，
解得：x＝1.5，
经检验，x＝1.5是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天绿化的面积为1.5万平方米．
18．图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在图1、图2、图3中，只用无刻度的直尺，在给定的网格内按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图1中，画一个△ABP，使得其中一个内角为45°．
（2）在图2中，画一个等腰△ABQ，使得△ABQ面积等于．
（3）在图3中，画一个四边形ABMN，使得∠A+∠M＝180°．
【分析】（1）以AB为直角边画等腰直角三角形即可；
（2）在点B右上方一个格点处画点Q即可；
（3）画出以AB为腰的等腰梯形ABMN即可．
解：（1）如图1所示，
∵AB＝BP＝＝，
∴△ABP是等腰直角三角形，∠APB＝45°；
（2）如图2，
在△ABQ中，AB＝AQ＝＝，S△ABQ＝3×3﹣×1×1＝；
（3）如图3，
在△AEB和△MCN中，
，
∴△AEB≌△MCN（SAS），
∴∠EAB＝∠NMC，
∵∠BMN+∠NMC＝180°，
∴∠BAN+∠BMN＝180°．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC．
（2）若⊙O的直径为5，cosC＝，则CF的长为 　　．
【分析】（1）根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得出BD＝CD，由三角形中位线定理得出OD∥AC，根据切线的性质得出OD⊥DE，进而得出结论；
（2）根据直角三角形的边角关系，先在Rt△ABD中求出BD，再在Rt△FBC中求出答案即可．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AFB＝90°，
即AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE；
（2）解：在Rt△ABD中，AB＝5，cosC＝＝cos∠ABD，
∴BD＝AB cos∠ABD＝4＝CD，
∴BC＝8，
在Rt△FBC中，
FC＝BC cosC
＝8×
＝，
故答案为：．
20．为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表
一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首
人数 10 10 15 40 25 20
请根据调查的信息分析：
（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为　4.5首　；
（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得这组数据的中位数；
（2）根据表格中的数据可以解答本题；
（3）根据统计图和表格中的数据可以分别计算出比赛前后的众数和中位数，从而可以解答本题．
解：（1）本次调查的学生有：20÷＝120（名），
背诵4首的有：120﹣15﹣20﹣16﹣13﹣11＝45（人），
∵15+45＝60，
∴这组数据的中位数是：（4+5）÷2＝4.5（首），
故答案为：4.5首；
（2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有：1200×＝850（人），
答：大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人；
（3）活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首，
大赛比赛后一个月的中位数是6首，众数是6首，
由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想．
21．已知A，B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离A地的距离y（km）与时间x（h）的关系如图所示．
（1）甲的速度是 　4　km/h，a的值为 　2　km．
（2）求乙提速后y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（3）如果甲出发的同时，丙从B地以5km/h的速度出发匀速驶向A地，直接写出丙在行驶过程中经过多少小时与甲、乙距离相等．
【分析】（1）甲5h行驶20km，即得甲的速度是4km/h，根据已知乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度，可得a＝2；
（2）设乙提速后y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（2，2）和（4，20）代入即可得到y＝9x﹣16（2≤x≤4）；
（3）由20﹣5x＝4x，得x＝时，9x﹣16＝20﹣5x，得x＝时，知丙先和甲相遇，再和乙相遇，①由4x﹣（20﹣5x）＝（20﹣5x）﹣（9x﹣16），解得x＝，②当乙追上甲时，有4x＝9x﹣16，解得x＝，即可得到答案．
解：（1）从图可知：甲5h行驶20km，
∴甲的速度是4km/h，
根据已知乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度，
∴a＝2，
故答案为：4，2；
（2）由（1）可知，乙2h时离A地2km，
设乙提速后y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（2，2）和（4，20）代入得：
，解得，
∴乙提速后y与x的函数关系式为y＝9x﹣16（2≤x≤4）；
（3）由已知得丙离A地距离y与行驶时间x的关系式是y＝20﹣5x，
甲离A地距离y与行驶时间x的关系式是y＝4x，
当20﹣5x＝4x，即x＝时，甲和丙相遇，
当9x﹣16＝20﹣5x，即x＝时，乙和丙相遇，
∵＜，
∴丙先和甲相遇，再和乙相遇，
①当丙与甲、乙距离相等时，有4x﹣（20﹣5x）＝（20﹣5x）﹣（9x﹣16），
解得x＝，
②当乙追上甲时，丙与甲、乙距离相等，此时4x＝9x﹣16，
解得x＝，
综上所述，丙在行驶过程中经过小时或小时，与甲、乙距离相等．
22．探究：如图①，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，求证：BF＝AE．
拓展：如图②，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CD＝2BD，CF⊥AD于点E，交AB于F，则BF的值为 　　．
【分析】如图①根据正方形的性质，证明△BAF≌△ADE即可解答；
如图②利用（1）中的结论，构造正方形中的十字架模型，过点B作GB⊥BC，再过点A作AG⊥BG，延长CF交BG于点H，最后利用8字型相似即可解答．
【解答】如图①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，AB＝AD，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠DAE+∠AFB＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，
∴△BAF≌△ADE（ASA），
∴BF＝AE；
如图②解：过点B作GB⊥BC，再过点A作AG⊥BG，延长CF交BG于点H，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBG是矩形，
∵AC＝BC，
∴四边形ACBG是正方形，
∴AC∥BH，
∵CF⊥AD，
∴由（1）可得：△ACD≌△CBH，
∴CD＝BH，
∵CD＝2BD，
∴CD＝BC，
∴BH＝AC，
∵AC∥BH，
∴∠CAF＝∠ABH，∠ACF＝∠BHC，
∴△ACF∽△BHF，
∴＝＝，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC＝4，
∴BF＝AB＝，
故答案为：．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，M为AD的中点，点P从点D出发，沿D→C→A方向向终点A运动，在DC、CA边的速度分别为每秒3个单位、5个单位；点Q从B点出发沿B→A→D方向向终点D运动，在BA、AD边的速度分别为每秒5个单位、4个单位，当P、M、Q三点不共线时以MP、MQ为邻边构造 MPNQ，点P的运动时间为t（s）．
（1）tanB的值是 　　．
（2）当点N落在BC上时，求t值．
（3）当点P在CD边（不包括端点）运动且PN与△ACD的边平行或垂直时，求PQ的值．
（4）当点N在△ABC内部时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）由勾股定理求出AD长，进而求解．
（2）点N落在BC上时，由QM∥PN可得点Q为AB中点．
（3）分类讨论PN⊥AD与PN∥AC，通过勾股定理求解．
（4）求出点N落在△ABC边上的值与P，Q，M共线时的t的值求解．
解：（1）∵AB＝AC＝5，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝3，
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝＝4，
∴tanB＝＝．
故答案为：．
（2）如图，当点N落在BC上时，
∵QM∥PN，
∴QM∥BC，
∵M为AD中点，
∴Q为AB中点，
∴5t＝，
∴t＝．
（3）①由（2）得t＝时满足题意，
连接PQ，作QE⊥BC于点E，
∵点Q为AB中点，
∴QE为△ABD的中位线，
∴QE＝AD＝2，BE＝BD＝
∵CP＝CD﹣DP＝3﹣3t＝，
∴EP＝BC﹣BE﹣CP＝6﹣﹣＝3，
在Rt△PQE中，由勾股定理得PQ＝＝．
②如图，当PN∥AC时，连接PQ，作QE⊥BC于点E，作QF⊥AD于点F，
∵PN∥AC，
∴QM∥AC，
∴∠AMQ＝∠CAD，
∴QM＝QA，点F为AM中点，
∴AF＝AM＝AD＝1，
∵QF＝ED＝3﹣3t，∠AQF＝∠B，
∴tanB＝∠AQF＝＝，即＝，
解得t＝，
∴QE＝4t＝3，EP＝ED+DP＝3﹣3t+3t＝3，
∴PQ＝＝3．
综上所述，PQ＝或3．
（4）由（2）得N落在BC上时，t＝，
如图，当P，M，Q共线时，作QE⊥BC于点E，
∵BE＝3t，PE＝3+3t，
∴PE＝3+3t﹣3t＝3，
∵，
∴，
解得t＝或t＝﹣（舍）．
如图，当点N落在AC上时，作QE⊥AD于点E，作NF⊥BC于点F，
∵QE＝AQ＝3﹣3t，AE＝AQ＝4﹣4t，
∴ME＝2﹣AE＝4t﹣2，
∵△PFN≌△QEM，
∴PF＝QE＝3﹣3t，NF＝ME＝4t﹣2，
∴FC＝3﹣3t+3﹣3t＝6﹣6t，
∵＝＝，
∴t＝，
如图，Q，M重合，
AM＝4﹣4（t﹣1）＝×5（t﹣1），
解题t＝，
综上所述，＜t＜且t≠，或＜t＜2．
24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+2m（m为常数）的顶点为M，抛物线与直线x＝m+1交于点A，与直线x＝﹣3交于点B，将抛物线在A、B之间的部分（包含A、B两点且A、B不重合）记作图象G．
（1）当m＝﹣1时，求图象G与x轴交点坐标．
（2）当AB∥x轴时，求图象G对应的函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
（3）当图象G的最高点与最低点纵坐标的差等于1时，求m的取值范围．
（4）连接AB，以AB为对角线构造矩形AEBF，并且矩形的各边均与坐标轴垂直，当点M与图象G的最高点所连线段将矩形AEBF的面积分为1：2两部分时，直接写出m值．
【分析】（1）当m＝﹣1时，抛物线解析式为y＝x2+2x﹣2，顶点为M（﹣1，﹣3），再求得A（0，﹣2），B（﹣3，1），可得图象G为：y＝x2+2x﹣2（﹣3≤x≤0），令y＝0，即可求得答案；
（2）根据AB∥x轴，点A与B的纵坐标相等建立方程即可求得m＝﹣2，得出图象G解析式为：y＝x2+4x﹣4（﹣3≤x≤﹣1），再结合二次函数的性质解答即可；
（3）分三种情况：当m≤﹣3时，则|﹣m2+2m+1﹣（8m+9）|＝1，解得：m＝﹣3﹣或m＝﹣3；当﹣3＜m≤﹣2时，﹣m2+2m+1﹣（2m﹣m2）＝1，恒成立；当m＞﹣2时，8m+9﹣（2m﹣m2）＝1，解得m＝﹣2或﹣4，均与m＞﹣2矛盾，舍去，即可得出答案；
（4）分四种情况：①当m≥﹣2时，②当﹣3＜m＜﹣2时，③当﹣4≤m＜﹣3时，④当m＜﹣4时，根据面积关系及相似三角形性质建立方程求解即可．
解：（1）当m＝﹣1时，抛物线解析式为y＝x2+2x﹣2，顶点为M（﹣1，﹣3），
∵抛物线与直线x＝m+1交于点A，与直线x＝﹣3交于点B，
∴A（0，﹣2），B（﹣3，1），
∴图象G为：y＝x2+2x﹣2（﹣3≤x≤0），
令y＝0，得x2+2x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+，
∵﹣3≤x≤0，
∴x2＝﹣1+，不符合题意，
∴图象G与x轴交点坐标为（﹣1﹣，0）．
（2）当x＝m+1时，y＝（m+1）2﹣2m（m+1）+2m＝﹣m2+2m+1，
当x＝﹣3时，y＝32+6m+2m＝8m+9，
∴A（m+1，﹣m2+2m+1），B（﹣3，8m+9），
∵AB∥x轴，
∴﹣m2+2m+1＝8m+9，
解得：m1＝﹣2，m2＝﹣4，
当m＝﹣4时，A与B重合，不符合题意，舍去，
∴m＝﹣2，
∴图象G解析式为：y＝x2+4x﹣4（﹣3≤x≤﹣1），
∵图象G对称轴为直线x＝﹣2，开口向上，
∴图象G对应的函数值y随x的增大而增大时x的取值范围为﹣2≤x≤﹣1．
（3）∵y＝x2﹣2mx+2m＝（x﹣m）2+2m﹣m2，
∴顶点坐标M（m，2m﹣m2），A（m+1，﹣m2+2m+1），B（﹣3，8m+9），
当m≤﹣3时，则|﹣m2+2m+1﹣（8m+9）|＝1，
解得：m＝﹣3﹣或m＝﹣3，
当﹣3＜m≤﹣2时，﹣m2+2m+1﹣（2m﹣m2）＝1，恒成立，
当m＞﹣2时，8m+9﹣（2m﹣m2）＝1，
解得m＝﹣2或﹣4，均与m＞﹣2矛盾，舍去，
综上，m的取值范围为m＝﹣3﹣或﹣3≤m≤﹣2．
（4）①当m≥﹣2时，如图1，四边形AEBF是矩形，AE∥y轴，AF∥x轴，
则∠F＝90°，
抛物线的对称轴直线x＝m与AF交于点H，连接BM交AF于点G，
由（3）知：M（m，2m﹣m2），A（m+1，﹣m2+2m+1），B（﹣3，8m+9），
∴E（m+1，8m+9），F（﹣3，﹣m2+2m+1），H（m，﹣m2+2m+1），
∴AF＝m+4，BF＝8m+9﹣（﹣m2+2m+1）＝m2+6m+8，MH＝1，AH＝1，
∵线段BM将矩形AEBF的面积分为1：2两部分，
∴＝，
∴＝，
∴FG＝AF＝（m+4），
∴GH＝AF﹣FG﹣AH＝m+4﹣（m+4）﹣1＝（m+1），
∵∠F＝∠MHG＝90°，∠BGF＝∠MGH，
∴△BGF∽△MGH，
∴＝，即＝，
解得：m＝0或m＝﹣3（舍去），
②当﹣3＜m＜﹣2时，如图2，四边形AEBF是矩形，AE∥y轴，AF∥x轴，
则∠E＝90°，
抛物线的对称轴直线x＝m与BE交于点H，连接AM交BE于点G，
∵M（m，2m﹣m2），A（m+1，﹣m2+2m+1），B（﹣3，8m+9），
∴E（m+1，8m+9），F（﹣3，﹣m2+2m+1），H（m，8m+9），
∴BE＝m+4，AE＝BF＝（﹣m2+2m+1）﹣（8m+9）＝﹣m2﹣6m﹣8，MH＝m2+6m+9，EH＝1，
∵线段BM将矩形AEBF的面积分为1：2两部分，
∴＝＝，
∴EG＝BE＝（m+4），
∴GH＝EH﹣EG＝1﹣（m+4）＝﹣m﹣，
∵∠E＝∠MHG＝90°，∠AGE＝∠MGH，
∴△AGE∽△MGH，
∴＝，即＝，
解得：m＝﹣；
③当﹣4≤m＜﹣3时，如图3，四边形AEBF是矩形，AE∥y轴，AF∥x轴，
则∠F＝90°，
抛物线的对称轴直线x＝m与EB的延长线交于点H，连接AM交BF于点G，交EH于点K，
∵M（m，2m﹣m2），A（m+1，﹣m2+2m+1），B（﹣3，8m+9），
∴E（m+1，8m+9），F（﹣3，﹣m2+2m+1），H（m，8m+9），
∴AF＝BE＝m+4，AE＝BF＝（﹣m2+2m+1）﹣（8m+9）＝﹣m2﹣6m﹣8，MH＝m2+6m+9，EH＝1，BH＝﹣3﹣m，
∵线段AM将矩形AEBF的面积分为1：2两部分，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，BG＝（﹣m2﹣6m﹣8），
∵∠F＝∠KBG＝90°，∠AGF＝∠KGB，
∴△AGF∽△KGB，
∴＝＝，
∴BK＝AF＝（m+4），
∴KH＝BH﹣BK＝﹣3﹣m﹣（m+4）＝m﹣5，
∵∠MHK＝∠GBK＝90°，∠MKH＝∠GKB，
∴△MKH∽△GKB，
∴＝，即＝，
解得：m＝﹣；
④当m＜﹣4时，如图4，四边形AEBF是矩形，AE∥y轴，AF∥x轴，
则∠E＝90°，
抛物线的对称轴直线x＝m与FA的延长线交于点H，连接BM交AE于点G，交FH于点K，
∵M（m，2m﹣m2），A（m+1，﹣m2+2m+1），B（﹣3，8m+9），
∴E（m+1，8m+9），F（﹣3，﹣m2+2m+1），H（m，﹣m2+2m+1），
∴FA＝BE＝﹣m﹣4，AE＝BF＝8m+9﹣（﹣m2+2m+1）＝m2+6m+8，MH＝AH＝1，FH＝﹣3﹣m，
∵线段BM将矩形AEBF的面积分为1：2两部分，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，AG＝（m2+6m+8），
∵∠E＝∠KAG＝90°，∠BGE＝∠KGA，
∴△BGE∽△KGA，
∴＝＝，
∴AK＝BE＝（﹣m﹣4），
∴KH＝AH﹣AK＝1﹣（﹣m﹣4）＝m+3，
∵∠GAK＝∠MHK＝90°，∠GKA＝∠MKH，
∴△GKA∽△MKH，
∴＝，即＝，
解得：m＝﹣3（舍去）或m＝﹣5，
综上，m的值为0或﹣或﹣或﹣5．