2021-2022学年广西百色市九年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年广西百色市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3
2．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣|+（sinA﹣）2＝0，则△ABC是（　　）
A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形
C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形
3．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC＝a，∠ABC＝α，那么AB等于（　　）
A．a sinα B．a cosα C．a tanα D．
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则（　　）
A． B． C． D．
5．将二次函数y＝x2+x﹣1化为y＝a（x+h）2+k的形式是（　　）
A．y＝ B．y＝（x﹣2）2﹣2
C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2+2
6．若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（　　）
A．b1＞b2 B．b1＝b2 C．b1＜b2 D．大小不确定
7．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是（　　）
A．100m B．120m C．50m D．100m
8．如图，A，B是反比例函数y＝图象上的两点，分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形S1，S2，S3，已知S2＝3，S1+S3的值为（　　）
A．16 B．10 C．8 D．5
9．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（　　）
A．45米 B．40米 C．90米 D．80米
10．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝6，则AB的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
11．如图，在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD＝12．在AB上取一点E．使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为（　　）
A．16 B．14 C．16或14 D．16或9
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④a﹣b+c＜0，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知是二次函数，则m＝　 　．
14．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为5：7，已知DE＝14，则AB的长为　 　．
15．如图，四边形ADEF为菱形，且AB＝6，AC＝4，那么DE＝　 　．
16．反比例函数y＝的图象在它所处的象限内，函数y随x的增大而增大，则k的取值范围为 　 　．
17．α是锐角，若sinα＝cos15°，则α＝　 　°．
18．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣|﹣|．
20．如图，一次函数y1＝﹣x﹣1的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数y2＝（k≠0）图象的一个交点为M（﹣2，m）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）求△OBM的面积．
21．已知，△DEF是△ABC的位似三角形（点D、E、F分别对应点A、B、C），原点O为位似中心，△DEF与△ABC的位似比为k．
（1）若位似比k＝，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出△DEF；
（2）若位似比k＝m，△ABC的周长为C，则△DEF的周长＝　 　；
（3）若位似比k＝n，△ABC的面积为S，则△DEF的面积＝　 　．
22．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．
23．如图所示，课外活动小组的同学剑豪与哲明利用所学知识区测量小河的宽度．剑豪同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，哲明同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）
24．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
25．已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF AB．
求证：（1）；
（2）△AEF∽△ACD．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求抛物线解析式．
（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】由顶点式可知当x＝1时，y取得最小值﹣3．
解：∵y＝（x﹣1）2﹣3，
∴当x＝1时，y取得最小值﹣3，
故选：D．
2．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣|+（sinA﹣）2＝0，则△ABC是（　　）
A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形
C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性，求出tanB和sinA的值，然后利用特殊角的三角函数值求出∠B和∠A的度数，即可解答．
解：∵|tanB﹣|+（sinA﹣）2＝0，
∴tanB﹣＝0，sinA﹣＝0，
∴tanB＝，sinA＝，
∴∠B＝60°，∠A＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
故选：B．
3．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC＝a，∠ABC＝α，那么AB等于（　　）
A．a sinα B．a cosα C．a tanα D．
【分析】根据已知角的正切值表示即可．
解：∵AC＝a，∠ABC＝α，在直角△ABC中tanα＝，
∴AB＝．
故选：D．
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵BD＝2AD，
∴＝＝＝，
则＝，
∴A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
5．将二次函数y＝x2+x﹣1化为y＝a（x+h）2+k的形式是（　　）
A．y＝ B．y＝（x﹣2）2﹣2
C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2+2
【分析】运用配方法把原式化为顶点式即可．
解：y＝x2+x﹣1＝（x+2）2﹣2．
故选：C．
6．若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（　　）
A．b1＞b2 B．b1＝b2 C．b1＜b2 D．大小不确定
【分析】根据反比例函数的增减性即可得．
解：∵k＝1＞0，
∴当k＞0，x＞0时，y随x的增大而减小，
∵a1＜a2，
∴b1＞b2，
故选：A．
7．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是（　　）
A．100m B．120m C．50m D．100m
【分析】根据迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤坝高BC＝50m，可以求得AC的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长．
解：∵迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤坝高BC＝50m，
∴，
解得，AC＝50，
∴AB＝＝100，
故选：A．
8．如图，A，B是反比例函数y＝图象上的两点，分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形S1，S2，S3，已知S2＝3，S1+S3的值为（　　）
A．16 B．10 C．8 D．5
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可得S1+S2＝S2+S3＝8，即可解决问题．
解：∵A，B是反比例函数y＝图象上的两点，
∴S1+S2＝S2+S3＝8，
∵S2＝3，
∴S1＝S3＝5，
∴S1+S3＝10，
故选：B．
9．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（　　）
A．45米 B．40米 C．90米 D．80米
【分析】在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，利用对应边成比例可得所求的高度．
解：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，
∴1.5：2＝教学大楼的高度：60，
解得教学大楼的高度为45米．
故选：A．
10．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝6，则AB的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】由锐角三角函数的定义求得AD＝10，然后利用菱形的性质即可解决问题．
解：∵DE⊥AB，cosA＝，
∴＝，
∵AE＝6，
∴AD＝10．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝10．
故选：C．
11．如图，在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD＝12．在AB上取一点E．使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为（　　）
A．16 B．14 C．16或14 D．16或9
【分析】本题应分两种情况进行讨论，①△ABC∽△AED；②△ABC∽△ADE；可根据各相似三角形得出的关于AE、AE、AB、AC四条线段的比例关系式求出AE的长．
解：本题分两种情况：
①△ADE∽△ACB
∴，
∵AB＝24，AC＝18，AD＝12，
∴AE＝16；
②△ADE∽△ABC
∴，
∵AB＝24，AC＝18，AD＝12，
∴AE＝9．
故选：D．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④a﹣b+c＜0，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的对称性，以及参数a、b、c的意义即可求出答案．
解：①抛物线的对称轴为x＝﹣1，
所以B（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点为A（﹣3，0），
∴AB＝4，故①正确；
②由抛物线的图象可知：Δ＝b2﹣4ac＞0，故②正确；
③由图象可知：a＞0，﹣＜0，
∴b＞0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故④正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知是二次函数，则m＝　2　．
【分析】根据二次函数的定义得出m+2≠0，m2﹣2＝2，求出即可．
解：∵是二次函数，
∴m+2≠0，m2﹣2＝2，
解得：m＝2，
故答案为：2．
14．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为5：7，已知DE＝14，则AB的长为　10　．
【分析】利用位似比等于相似比得出AB：14＝5：7，进而求出AB的长．
解：∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为5：7，DE＝14，
∴AB：DE＝5：7，则AB：14＝5：7，
解得：AB＝10，
则AB的长为10．
故答案为：10．
15．如图，四边形ADEF为菱形，且AB＝6，AC＝4，那么DE＝　2.4　．
【分析】利用菱形的性质可得EF∥AB，DE＝EF＝AF，再利用A字模型相似三角形证明△CEF∽△CBA，然后利用相似三角形的性质即可解答．
解：∵四边形ADEF为菱形，
∴EF∥AB，DE＝EF＝AF，
∴∠FEC＝∠B，∠EFC＝∠A，
∴△CEF∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝2.4，
故答案为：2.4．
16．反比例函数y＝的图象在它所处的象限内，函数y随x的增大而增大，则k的取值范围为 　k＞1　．
【分析】根据反比例函数的性质可得1﹣k＜0，再解不等式即可．
解：∵函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，
解得：k＞1，
故答案为：k＞1．
17．α是锐角，若sinα＝cos15°，则α＝　75　°．
【分析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦列式计算即可得解．
解：∵sinα＝cos15°，
∴α＝90°﹣15°＝75°．
故答案为：75．
18．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为　　．
【分析】因为阴影部分的面积＝S正方形BCQW﹣S梯形VBCF，根据已知求得梯形的面积即不难求得阴影部分的面积了．
解：∵VB∥ED，三个正方形的边长分别为2、3、5，
∴VB：DE＝AB：AD，即VB：5＝2：（2+3+5）＝1：5，
∴VB＝1，
∵CF∥ED，
∴CF：DE＝AC：AD，即CF：5＝5：10
∴CF＝2.5，
∵S梯形VBFC＝（BV+CF） BC＝，
∴阴影部分的面积＝S正方形BCQW﹣S梯形VBCF＝．
故答案为：
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣|﹣|．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
解：原式＝2×﹣+﹣
＝﹣．
20．如图，一次函数y1＝﹣x﹣1的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数y2＝（k≠0）图象的一个交点为M（﹣2，m）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）求△OBM的面积．
【分析】（1）求出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式，求出即可；
（2）根据M、B的坐标，结合三角形面积公式求出即可．
解：（1）∵M（﹣2，m）在一次函数y1＝﹣x﹣1的图象上，
∴代入得：m＝﹣（﹣2）﹣1＝1，
∴M的坐标是（﹣2，1），
把M的坐标代入y2＝得：k＝﹣2，
即反比例函数的解析式是：；
（2）y1＝﹣x﹣1，
当x＝0时，y1＝﹣1，
即B的坐标是（0，﹣1），
所以OB＝1，
∵M（﹣2，1），
∴点M到OB的距离是2，
∴△MOB的面积是×1×2＝1．
21．已知，△DEF是△ABC的位似三角形（点D、E、F分别对应点A、B、C），原点O为位似中心，△DEF与△ABC的位似比为k．
（1）若位似比k＝，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出△DEF；
（2）若位似比k＝m，△ABC的周长为C，则△DEF的周长＝　mC　；
（3）若位似比k＝n，△ABC的面积为S，则△DEF的面积＝　n2S　．
【分析】（1）连接AO并延长，使OD＝AO，连接BO并延长，使OE＝OB，在x轴上找出（2，0），即为F点位置，连接即可得到所求的三角形；
（2）利用相似三角形的周长之比等于相似比即可得到结果；
（3）利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．
解：（1）如图所示，
则△DEF为所求的三角形；
（2）∵位似比k＝m，△ABC的周长为C，
∴△DEF的周长＝mC；
（3）∵位似比k＝n，△ABC的面积为S，
∴△DEF的面积＝n2S．
22．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．
【分析】根据等腰梯形的性质，可得AH＝DG，EM＝NF，先求出AH、GD的长度，再由△BEM∽△BAH，可得出EM，继而得出EF的长度．
解：过点B作BH⊥AD于点H，交EF于点M，过点C作CG⊥AD于点G，交EF于点N，
由题意得，MH＝8cm，BH＝40cm，则BM＝32cm，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD＝50cm，BC＝20cm，
∴AH＝（AD﹣BC）＝15cm．
∵EF∥AD，
∴△BEM∽△BAH，
∴＝，即＝，
解得：EM＝12，
故EF＝EM+NF+BC＝2EM+BC＝44cm．
答：横梁EF应为44cm．
23．如图所示，课外活动小组的同学剑豪与哲明利用所学知识区测量小河的宽度．剑豪同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，哲明同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）
【分析】设河宽为未知数，那么可利用三角函数用河宽表示出AE、EB，然后根据BE﹣AE＝50就能求得河宽．
解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，
在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x
在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，
∴x＝x+50，
解得：x＝25+25≈68.30．
答：河宽为68.30米．
24．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．
解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．
由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．
∴2.25a+3.5＝3.05，
解得：a＝﹣0.2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，
则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，
∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h＝0.2（m）．
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
25．已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF AB．
求证：（1）；
（2）△AEF∽△ACD．
【分析】（1）利用已知可得DE∥BC，然后利用平行线分线段成比例证明即可；
（2）利用两边成比例且夹角相等来证明△AEF∽△ACD即可．
【解答】证明：（1）∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴；
（2）∵AD2＝AF AB，
∴，
由（1）得：，
∴．
∵∠A＝∠A，
∴△AFE∽△ACD．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求抛物线解析式．
（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【分析】（1）先求的直线y＝x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；
（2）设抛物线的解析式为y＝y＝a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；
（3）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ＝﹣m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC＝×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；
解：（1）y＝当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣4，
∴C（0，2），A（﹣4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x＝﹣对称，
∴点B的坐标为（1，0）．
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），
又∵抛物线过点C（0，2），
∴2＝﹣4a
∴a＝﹣
∴y＝﹣x2﹣x+2．
（3）设P（m，﹣m2﹣m+2）．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴Q（m，m+2），
∴PQ＝﹣m2﹣m+2﹣（m+2）
＝﹣m2﹣2m，
∵S△PAC＝×PQ×4，
＝2PQ＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，
此时P（﹣2，3）．