2021-2022学年苏科版七年级数学下册第7章 平面图形的认识（二） 单元综合练习题（培优）（Word版含答案）

第7章 平面图形的认识（二） 单元综合练习题（培优）
2021-2022学年苏科版七年级数学下册
一、选择题
1、如图，下列判断正确的是（ ）
A. ∠2与∠5是对顶角 B. ∠2与∠4是同位角
C. ∠3与∠6是同位角 D. ∠5与∠3是内错角
(1题) (2题) (4题)
2、（2020春 息县期末）如图，∠1＝68°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3的度数为（　　）
A．78° B．132° C．118° D．112°
3、下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是
A. B. C. D.
4、如图，，点在上，，．则的度数是　　
A． B． C． D．
5、（20-21海安市十一校七下第一次阶段性测试）如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是（ ）
A. 18° B. 126° C. 18°或126° D. 36°或144°
6、（20-21南京秦淮区七下期末）如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为10，则△ABC的面积为（ ）
A. 12 B. 16 C. 18 D. 20
(6题) (7题) (8题)
7、（2020秋 高邮市期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．7
8、如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥BE
9、（20-21扬州江都区邵樊片七下第二次月考）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∠F的度数为（　　）
A. 120° B. 135° C. 150° D. 不能确定
10、（2020秋 六盘水期末）如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，过点B的直线FH和过点C的直线GH相交于点H，且∠DBF＝∠ABD，∠ECG＝∠ACE．设∠A＝α，∠H＝β，则α与β之间的数量关系为（　　）
A．α+β＝120° B．α+β＝180° C．α+β＝120° D．2α+β＝120°
二、填空题
11、（20-21海安市十一校七下第一次阶段性测试）如图，三角形的周长为，现将三角形沿方向平移至三角形的位置，连接，则四边形的周长是__．
(11题) (12题) (14题)
12、（19-20南京高淳区七下期末）如图，小林从P点向西直走8米后，向左转，转动的角度为α，再走8米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为_____．
13、（20-21海安市十一校七下第一次阶段性测试）如图①，点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点，∠DEF=19°，将纸带沿EF折叠成图②(G为ED和EF的交点，再沿BF折叠成图③(H为EF和DG的交点)，则图③中∠DHF=__.
14、如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在A1、D1处，若∠1＋∠2＝144°，
则∠B＋∠C＝ _________ °．
15、（19-20南京高淳区七下期末）如图，把 ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在图中的处，若 ∠A＝25 ， ， 则＝____．
(15题) (16题) (7题)
16、如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4B3B4，直线l经过B2、B3，
则直线l与A1A2的夹角α＝___．
17、（20-21海安市十一校七下第一次阶段性测试）如图，已知AD//BE，点C是直线FG上的动点，若点C在移动过程中，存在某时刻使得∠ACB=45°，∠DAC=23°，则∠EBC的度数为_______．
18、（20-21南京秦淮区七下期末）如图，∠EAD和∠DCF是四边形ABCD的外角，∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．若∠B＝m°，∠D＝n°，则∠G＝______________°．（用含m、n的代数式表示）
三、解答题
19、（2022·全国·七年级）画图并填空：
如图，在12×8 的方格纸中，每个小正方形的边长都为1 ，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC 按照某方向经过一次平移后得到△A' B'C ' ，图中标出了点C 的对应点C ' ．
（1）请画出△A' B'C ' ；
（2）利用方格纸，在△ABC 中画出AC 边上的中线BD 和BC 边上的高AE ；
（3）点F 为方格纸上的格点（异于点B ），若S ACB S ACF ，则图中格点F 共有 个．（请在方格纸中标出点F ）
20、（19-20南京高淳区七下期末）如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的大小．
解：∵EF∥AD，
∴∠2= （两直线平行，同位角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AB∥ （　　 ）
∴∠BAC＋ =180°（　　 ）
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°．
21、（2020秋 饶平县校级期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，
∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
22、(21-22辽宁朝阳市八上期中质量检测)（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究∠ADB与∠A、∠B、∠C的数量关系并给出证明；
（2）模型应用：如图2，DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，∠A＝24°，∠B＝66°，
请直接写出∠E的度数．
23、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
24、（20-21扬州江都区邵樊片七下第二次月考）在中，，点D是BC上一点，将沿AD翻折后得到，边AE交射线BC于点F．
（1）如（图1），当时，求证：
（2）若，
①如（图2），当时，求x的值．
②是否存在这样的x的值，使得中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
25、已知AMCN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 ．
26、（20-21南京秦淮区七下期末）数学概念：如图①，在△ABC中，D为∠ABC的对边AC上一点（点D不与点A、C重合），连接BD．若∠ADB和∠CDB这两个角中至少存在1个与∠ABC相等，则称BD为△ABC中∠ABC的等角分割线．
（1）概念理解：如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．分别画出∠B和∠C的等角分割线BD、CE．（画图工具不限，并做出适当的标注）
（2）知识运用：在△ABC中，∠A＝50°，∠ACB＝70°．已知∠ABC、∠ACB的等角分割线BD、CE相交于点O，求∠BOC的度数．
（3）深入思考：下列关于“等角分割线”的结论：
①钝角三角形中的钝角有2条等角分割线；
②三个角都不相等的三角形中，最小的角没有等角分割线；
③三角形的高、角平分线可能是该三角形中的等角分割线；
④任意一个三角形中最少有1条等角分割线，最多有3条等角分割线．
其中所有正确结论的序号是 ．
第7章 平面图形的认识（二） 单元综合练习题（培优）
2021-2022学年苏科版七年级数学下册（解析）
一、选择题
1、如图，下列判断正确的是（ ）
A. ∠2与∠5是对顶角 B. ∠2与∠4是同位角
C. ∠3与∠6是同位角 D. ∠5与∠3是内错角
【答案】A
【解析】
【分析】根据对顶角、同位角、同旁内角、内错角的定义分别进行分析即可．
【详解】解：A、∠2与∠5是对顶角，故此选项正确；
B、∠2与∠4是不是同位角，故此选项错误；
C、∠3与∠6是同旁内角，故此选项错误；
D、∠5与∠3不是内错角，故此选项错误；
故选A．
2、（2020春 息县期末）如图，∠1＝68°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3的度数为（　　）
A．78° B．132° C．118° D．112°
【分析】延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质详解即可．
【详解】解：延长直线，如图：，
∵直线a平移后得到直线b，∴a∥b，
∴∠5＝180°﹣∠1＝180°﹣68°＝112°，
∵∠2＝∠4+∠5，∵∠3＝∠4，
∴∠2﹣∠3＝∠5＝112°，
故选：D．
3、下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据平行线的性质应用排除法求解：
A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°．故本选项错误．
B、如图，∵AB∥CD，∴∠1=∠3．
∵∠2=∠3，∴∠1=∠2．故本选项正确．
C、∵AB∥CD，∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项错误．
D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项错误．
故选B．
4、如图，，点在上，，．则的度数是　　
A． B． C． D．
【分析】先利用角平分线的性质求出，再利用三角形外角和内角的关系求出．
【解答】解：，
．
，
．
故选：．
5、（20-21海安市十一校七下第一次阶段性测试）如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是（ ）
A. 18° B. 126° C. 18°或126° D. 36°或144°
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意若与的两边分别平行，即可得与相等或互补，注意方程思想与分类讨论思想的应用．
由与的两边分别平行，即可得与相等或互补，然后设，由比的3倍少，分别从与相等或互补去分析，求得方程，解方程即可求得的度数．
【详解】解：与的两边分别平行，与相等或互补，
设，
比的3倍少，
若与相等，则，解得：，
若与互补，则，解得：，
的度数是或．
故选：C．
6、（20-21南京秦淮区七下期末）如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为10，则△ABC的面积为（ ）
A. 12 B. 16 C. 18 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积，熟练三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到结论．
【详解】设，
∵AF为△ADE的中线．
∴
∵E分别为△ABC的边AC的中点，
∴
∵D分别为△ABC的边BC的中点，
∴
∴四边形ABDF的面积=
解得
∴
故选：B
7、（2020秋 高邮市期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．7
【分析】连接BI、由点I为△ABC的内心，得出BI平分∠ABC，则∠ABI＝∠CBI，由平移得AB∥DI，则∠ABI＝∠BID，推出∠CBI＝∠BID，得出BD＝DI，同理可得CE＝EI，△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+BD+CE＝BC＝5，即可得出结果．
【解析】连接BI、如图所示：
∵点I为△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，∴∠ABI＝∠CBI，
由平移得：AB∥DI，∴∠ABI＝∠BID，∴∠CBI＝∠BID，∴BD＝DI，
同理可得：CE＝EI，
∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+BD+CE＝BC＝7，即图中阴影部分的周长为7，
故选：D．
8、如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
【分析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【详解】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
9、（20-21扬州江都区邵樊片七下第二次月考）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∠F的度数为（　　）
A. 120° B. 135° C. 150° D. 不能确定
【答案】B
【分析】本题查的是三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
先根据∠1+∠2=90°得出∠EAM+∠EDN的度数，再由角平分线的定义得出∠EAF+∠EDF的度数，根据AE⊥DE可得出∠3+∠4的度数，进而可得出∠FAD+∠FDA的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：
∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°．
故选B．
10、（2020秋 六盘水期末）如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，过点B的直线FH和过点C的直线GH相交于点H，且∠DBF＝∠ABD，∠ECG＝∠ACE．设∠A＝α，∠H＝β，则α与β之间的数量关系为（　　）
A．α+β＝120° B．α+β＝180° C．α+β＝120° D．2α+β＝120°
【分析】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角的概念，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
设∠DBF＝x，∠ECG＝y，根据三角形内角和定理分别用x、y表示出α、β，计算即可．
【详解】解：设∠DBF＝x，∠ECG＝y，则∠HBC＝∠DBF＝x，∠HCB＝∠ECG＝y，
∴β＝180°﹣x﹣y，
∵∠DBF＝∠ABD，∠ECG＝∠ACE，∴∠ABD＝3x，∠ACE＝3y，
∴∠ABC＝180°﹣3x，∠ACB＝180°﹣3y，
∴α＝180°﹣（180°﹣3x）﹣（180°﹣3y）＝3x+3y﹣180°，
∴α+β＝120°，
故选：A．
二、填空题
11、（20-21海安市十一校七下第一次阶段性测试）如图，三角形的周长为，现将三角形沿方向平移至三角形的位置，连接，则四边形的周长是__．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段相等，对应线段相等，找出对应线段和对应点所连的线段，结合四边形的周长公式求解即可．
【详解】解：根据题意，得的对应点为，的对应点为，的对应点为，
所以，，
四边形的周长的周长．
故答案为．
12、（19-20南京高淳区七下期末）如图，小林从P点向西直走8米后，向左转，转动的角度为α，再走8米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为_____．
【答案】40°
【解析】
【分析】根据题意可知,小林每次走的角度为α,即走的是正多边形,可根据已知条件求出边数,然后再利用外角和等于360°,除以边数即可求出α的值．
【详解】解：设边数为n,根据题意,
n=72÷8=9,
则α=360°÷9=40°．
故答案为：40°．
13、（20-21海安市十一校七下第一次阶段性测试）如图①，点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点，∠DEF=19°，将纸带沿EF折叠成图②(G为ED和EF的交点，再沿BF折叠成图③(H为EF和DG的交点)，则图③中∠DHF=__.
【答案】57
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=19°，
根据折叠的性质可得，∠GEF=∠DEF=19°，
则∠DGF=∠GEF +∠GFE=38°，
则∠DHF=∠DGF+∠GFE=38°+19°=57°．
故答案为57．
14、如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在A1、D1处，若∠1＋∠2＝144°，
则∠B＋∠C＝ _________ °．
【答案】108
【解析】
【分析】先根据∠1+∠2=144°得出∠AMN+∠DNM的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵∠1+∠2=144°，
∴∠AMN+∠DNM==108°.
∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）=360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）=360°，
∴∠B+∠C=∠AMN+∠DNM=108°．
故答案为：108．
15、（19-20南京高淳区七下期末）如图，把 ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在图中的处，若 ∠A＝25 ， ， 则＝____．
【答案】70°
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
如图，利用折叠性质得∠ADE=∠A′DE=30°，∠AED=∠A′ED，再根据三角形外角性质得∠CED=55°，利用邻补角得到∠AED=125°，则∠A′ED=125°，然后利用∠A′EC=∠A′ED-∠CED进行计算即可．
【详解】∵∠BDA'=120°，
∴∠ADA'=60°，
∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，
∴∠ADE=∠A′DE=30°，∠AED=∠A′ED，
∵∠CED=∠A+∠ADE=25°+30°=55°，
∴∠AED=125°，
∴∠A′ED=125°，
∴∠A′EC=∠A′ED-∠CED=125°-55°=70°．
故答案为：70°．
16、如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4B3B4，直线l经过B2、B3，
则直线l与A1A2的夹角α＝___．
【答案】48°
【解析】
【分析】设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质和正五边形的性质得出∠A1A2A3=∠A2A3A4=120°，∠B2B3B4=108°，则∠B4B3D=72°，由平行线的性质得出∠EDA3=∠B4B3D=72°，再由四边形内角和即可得出答案．
【详解】解：设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：
∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和为（6-2）×180°=720°，
∴∠A1A2A3=∠A2A3A4==120°，
∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
∴∠B2B3B4==108°，
∴∠B4B3D=180°-108°=72°，
∵A3A4∥B3B4，
∴∠EDA3=∠B4B3D=72°，
∴α=∠A2ED=360°-∠A1A2A3-∠A2A3A4-∠EDA3=360°-120°-120°-72°=48°，
故答案为：48．
17、（20-21海安市十一校七下第一次阶段性测试）如图，已知AD//BE，点C是直线FG上的动点，若点C在移动过程中，存在某时刻使得∠ACB=45°，∠DAC=23°，则∠EBC的度数为_______．
【答案】22°或68°
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当点在、之间时，当点在、外部时，分别过作，则，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到的度数．
【详解】解：如图所示，当点在、之间时，
过作，则，
，，
又，，；
如图，当点、外部时，
过作，则，
，，
又，，；
故答案为：或．
18、（20-21南京秦淮区七下期末）如图，∠EAD和∠DCF是四边形ABCD的外角，∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．若∠B＝m°，∠D＝n°，则∠G＝______________°．（用含m、n的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，角平分线的应用，补角的应用，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
根据四边形内角和定理可得 ，
从而得到，再由∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．可得，进而得到，
再根据 ，即可求解．
【详解】解：∵∠B＝m°，∠D＝n°，
∴ ，
∵∠EAD和∠DCF是四边形ABCD的外角，
∴ ，
∵∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
三、解答题
19、（2022·全国·七年级）画图并填空：
如图，在12×8 的方格纸中，每个小正方形的边长都为1 ，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC 按照某方向经过一次平移后得到△A' B'C ' ，图中标出了点C 的对应点C ' ．
（1）请画出△A' B'C ' ；
（2）利用方格纸，在△ABC 中画出AC 边上的中线BD 和BC 边上的高AE ；
（3）点F 为方格纸上的格点（异于点B ），若S ACB S ACF ，则图中格点F 共有 个．（请在方格纸中标出点F ）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5
【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）利用点C和C′的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点即可；
（2）利用网格特点确定AC的中点D，从而得到中线BD；再利用网格特点过A点作BC的垂线，确定垂足E点；
（3）过B点作AC的平行线可确定2个格点F，把直线AC向右平移个单位，再向上平移1个单位得到3个格点F．
【详解】
解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）如图，BD、AE为所作；
（3）若S△ACB=S△ACF，则图中格点F共有5个，如图．
故答案为5．
20、（19-20南京高淳区七下期末）如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的大小．
解：∵EF∥AD，
∴∠2= （两直线平行，同位角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AB∥ （　　 ）
∴∠BAC＋ =180°（　　 ）
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°．
【答案】∠3；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补
【解析】
【分析】根据平行线性质推出∠1=∠3，根据平行线判定推出AB∥DG，根据平行线判定推出∠BAC+∠AGD=180°，把∠BAC=70°代入计算求出即可．
【详解】∵EF∥AD，
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°．
故答案为：∠3；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补．
（注：一空一分，共5分.）
21、（2020秋 饶平县校级期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，
∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
【详解】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
22、(21-22辽宁朝阳市八上期中质量检测)（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究∠ADB与∠A、∠B、∠C的数量关系并给出证明；
（2）模型应用：如图2，DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，∠A＝24°，∠B＝66°，
请直接写出∠E的度数．
【分析】（1）连接CD并延长，利用三角形的外角性质可得∠ADE＝∠A+∠ACE，∠BDE＝∠B+∠BCE，再结合∠ADB＝∠ADE+∠BDE，从而可求解；
（2）利用（1）中的结论可得∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB，∠ADE＝∠A+∠E+∠ACE，再结合角平分线的定义可得：∠ADE＝∠ADB，∠ACE＝∠ACB，从而可求解．
【解答】解：（1）∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB，
证明：连接CD并延长，如图，
由三角形的外角性质可得：∠ADE＝∠A+∠ACE，∠BDE＝∠B+∠BCE，
∵∠ADB＝∠ADE+∠BDE，∴∠ADB＝∠A+∠ACE+∠B+∠BCE，
则∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB；
（2）由（1）可得：∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB，∠ADE＝∠A+∠E+∠ACE，
∵DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，∴∠ADE＝∠ADB，∠ACE＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠A+∠E+∠ACB，即∠ADB＝2∠A+2∠E+∠ACB，
∴∠A+∠B+∠ACB＝2∠A+2∠E+∠ACB，整理得：∠E＝（∠B﹣∠A），
∵∠A＝24°，∠B＝66°，∴∠E＝×（66°﹣24°）＝21°．
23、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，然后根据角平分线定义得∠BAE＝∠BAC＝40°；
（2）由于AD⊥BC，则∠ADE＝90°，根据三角形外角性质得∠ADE＝∠B+∠BAD，所以∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，然后利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD进行计算；
（3）根据三角形内角和定理得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，再根据角平分线定义得∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C），加上∠ADE＝∠B+∠BAD＝90°，则∠BAD＝90°﹣∠B，然后利用角的和差得∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），即∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半．
【详解】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝40°；
（2）∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，
而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°；
（3）能．
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C），
∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，
而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），
∵∠B﹣∠C＝40°，∴∠DAE＝×40°＝20°．
24、（20-21扬州江都区邵樊片七下第二次月考）在中，，点D是BC上一点，将沿AD翻折后得到，边AE交射线BC于点F．
（1）如（图1），当时，求证：
（2）若，
①如（图2），当时，求x的值．
②是否存在这样的x的值，使得中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①，②存在，或45
【分析】本题考查了折叠，轴对称的性质，平行线的判定，直角三角形中两锐角互余，三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键．
（1）由，根据同角的余角相等，可得，由折叠的性质可知，等量代换，从而得证；
（2）①根据翻折，和已知条件，求得，从而求得的值
②由①的结论可求得，，分情形讨论，当时，当，当，解方程即可求得，根据题干中的取值范围取舍．
【详解】（1）证明：，，
，，，
由翻折可知，，
，；
（2）①，，
，，
，，，
，，
由翻折可知，；
②，则，
由翻折可知：
，，
当时，，解得，，
当时，，解得，，
，不合题意，故舍去，
当，，解得，，
综上可知，存在这样的x的值，使得中有两个角相等，且或45．
25、已知AMCN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 ．
【答案】（1）∠A+∠C＝90°；（2）∠C﹣∠A＝90°，见解析；（3）45°
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，由题作出辅助线是解题的关键．
（1）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．
【详解】（1）过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，
∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C＝∠CBE，
∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：
过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，
∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C+∠CBE＝180°，∴∠CBE＝180°﹣∠C，
∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠A+180°﹣∠C＝90°，∴∠C﹣∠A＝90°；
（3）设CH与AB交于点F，如图，
∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝∠MAB，
∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝∠BCN，
∵∠B＝90°，∴∠BFC＝90°﹣∠BCF，
∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．
∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
26、（20-21南京秦淮区七下期末）数学概念：如图①，在△ABC中，D为∠ABC的对边AC上一点（点D不与点A、C重合），连接BD．若∠ADB和∠CDB这两个角中至少存在1个与∠ABC相等，则称BD为△ABC中∠ABC的等角分割线．
（1）概念理解：如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．分别画出∠B和∠C的等角分割线BD、CE．（画图工具不限，并做出适当的标注）
（2）知识运用：在△ABC中，∠A＝50°，∠ACB＝70°．已知∠ABC、∠ACB的等角分割线BD、CE相交于点O，求∠BOC的度数．
（3）深入思考：下列关于“等角分割线”的结论：
①钝角三角形中的钝角有2条等角分割线；
②三个角都不相等的三角形中，最小的角没有等角分割线；
③三角形的高、角平分线可能是该三角形中的等角分割线；
④任意一个三角形中最少有1条等角分割线，最多有3条等角分割线．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】（1）见解析 （2） （3）①②③
【解析】
【分析】（1）根据定义作图即可；
（2）由定义得到∠BDC＝60°．根据∠BDC是△ABD的一个外角，求出∠ABD＝10°．分两种情况：∠AEC＝70°或∠BEC＝70°．根据三角形外角性质求出∠BOC的度数；
（3）根据等角分割线的定义依次分析判断即可．
【详解】
【1】解：如图①所示，∠BDC=∠B，∠CEB=∠C；
【2】∵在△ABC中，∠A＝50°，∠ACB＝70°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝60°．
∵BD是∠ABC的等角分割线，∴∠BDC＝60°．
∵∠BDC是△ABD的一个外角，∴∠A＋∠ABD＝∠BDC． ∴∠ABD＝∠BDC－∠A＝10°．
由CE是∠ACB的等角分割线可知，∠AEC＝70°或∠BEC＝70°．
当∠AEC＝70°时，如图②，∠BEC＝110°．
∵∠BOC是△BEO的一个外角，∴∠BOC＝∠ABD＋∠BEO＝120°．
当∠BEC＝70°时，如图③． ∵∠BOC是△BEO的一个外角，∴∠BOC＝∠ABD＋∠BEO＝80°．
【3】解：①钝角三角形中的钝角有2条等角分割线；
②三个角都不相等的三角形中，最小的角没有等角分割线；
③三角形的高、角平分线可能是该三角形中的等角分割线；
④等腰直角三角形的45°没有等角分割线，等边三角形的内角也没有等角分割线，故该项不正确；
故答案为①②③．