2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)7.1～7.3平行线的性质与判定、图形的平移-阶段练(培优)（Word版含答案）

7.1～7.3平行线的性质与判定、图形的平移-阶段练(培优)
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)
一、选择题
1、如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）
A. 与是同位角 B. 与是内错角
C. 与同旁内角 D. 与是同旁内角
2、下面图案中可以看作由图案自身的一部分经过平移后而得到的是（　）
A. B. C. D.
3、如图，下列说法错误的是（　　）
A. 如果∠AED＝∠C，则 DE//BC B. 如果∠1＝∠2，则 BD//EF
C. 如果AB//EF，则∠FEC＝∠A D. 如果∠ABC+∠BDE＝180°，则AB//EF
4、如图，某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，若AB=50米，BC=25米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为（ ）
A. 75米 B. 96米 C. 98米 D. 100米
5、如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝104°，则∠4的度数是（　　）
A. 74° B. 76° C. 84° D. 86°
6、如图，在△ABC中，BC＝6，∠A＝90°，∠B＝70°．把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若CF＝2，则下列结论中错误的是（　　）
A. BE＝2 B. ∠F＝20° C. AB∥DE D. DF＝6
7、一把直尺和一个含，角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于， 两点，另一边与三角板的两直角边分别交于，两点，且，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
8、（2021·孝义市教育科技局教学研究室七年级期中）如图，，将一个含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若的度数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9、将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
10、（2020春 固安县期末）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，
小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”
小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”
他们四人中，有（　　）个人的说法是正确的．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11、（20-21海安市十一校七下第一次阶段性测试）如图，三角形的周长为，现将三角形沿方向平移至三角形的位置，连接，则四边形的周长是__．
12、如图，FB⊥AB，EC⊥AB，则图中与∠CED相等的角共有___个．
13、如图，两个互相重合的直角三角形，将其中的一个三角形沿点到的方向平移到的位置，若，，且平移的距离为6，则阴影部分面积是_______.
14、如图，∠1＝35°，∠2＝35°，∠3＝56°23′，则∠4的大小为　 　．
15、将一张长方形纸片沿折叠后与的交点为、、分别在、的位置上，若，则_____________.
16、如图，若直线a∥b，那么∠x＝（　　）
A．64° B．68° C．69° D．66°
17、如图将一条两边互相平行的纸带按如图折叠，若∠EFG＋∠EGD=150°，则∠EGD=_____
18、（20-21南京外国语学校七下期中）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE=β．下列各式：①α＋β；②α﹣β；③β α；④180°﹣α﹣β；⑤360°﹣α﹣β．以上结果可以作为∠AEC的度数的是_______________．（填序号）
三、解答题
19、（20-21海安市十一校七下第一次阶段性测试）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）在如图所示的位置．
（1）将向右平移4个单位，向下平移3个单位得△，请在网格中作出△；
（2）若连接，，则这两条线段的位置关系是　　；
（3）的面积为　　；
（4）在整个平移过程中，点的运动路径长为　　．
20、如图，ABCD，点G、F分别在AB、CD上，FE平分∠GFD，交AB于点E，且∠EGF＝50°．
求∠BEF的度数．
21、如图，点E、A、C在一条直线上，AD⊥BC，EG⊥BC，垂足分别为D、G，EG交AB于点F．
（1）试说明：AD//EG；
（2）若AD平分∠BAC，探索∠1与∠2的数量关系并说明理由．
22、请将下列证明过程补充完整：已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠BEF+∠ADC=180°．求证：∠AFG=∠G．
证明：∵∠BEF+∠ADC=180°（已知），
又∵　　　 　 　　（平角的定义），
∴∠GED=∠ADC（　 　　 　 　　），
∴AD∥GE（　　 　　 　 　），
∴∠AFG=∠BAD（　 　　 　 　　），
且∠G=∠CAD（　 　 　 　 　　），
∵AD是△ABC的角平分线（已知），
∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义），
∴∠AFG=∠G（　 　 　 　 　　）．
23、已知：如图，，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A．
（1）求证：；
（2）若∠BFE=110°，∠A=60°，求∠B的度数．
24、（2020春 延平区期中）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（　 　）
∴∠C＝∠CEF．（ 　）
∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝　　 （等量代换）
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．
（3）解决问题：如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，则∠A＝　　．（只写出结论，不用写计算过程）
25、 (20-21常州实验初级中学七下期中)如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF//GH．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值若变化，说明理由．
26、（2021·浙江西湖·七年级期末）已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CDOE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
7.1～7.3平行线的性质与判定、图形的平移-阶段练(培优)
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)（解析）
一、选择题
1、如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）
A. 与是同位角 B. 与是内错角
C. 与同旁内角 D. 与是同旁内角
【答案】D
【解析】
【详解】解：A．∠1与∠4是同位角，故A选项正确；
B．∠2与∠3内错角，故B选项正确；
C．∠3与∠4是同旁内角，故C选项正确；
D．∠2与∠4不是同位角,不是内错角,不是同旁内角，故D选项错误．
故选D．
2、下面图案中可以看作由图案自身的一部分经过平移后而得到的是（　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、图案自身的一部分围绕中心经旋转而得到，故错误；
B、图案自身的一部分沿对称轴折叠而得到，故错误；
C、图案自身的一部分沿着直线运动而得到，是平移，故正确；
D、图案自身的一部分经旋转而得到，故错误．
故选C．
3、如图，下列说法错误的是（　　）
A. 如果∠AED＝∠C，则 DE//BC B. 如果∠1＝∠2，则 BD//EF
C. 如果AB//EF，则∠FEC＝∠A D. 如果∠ABC+∠BDE＝180°，则AB//EF
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
在复杂图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【详解】解：A、∠AED＝∠C，则 DE//BC，故原选项正确，不符合题意；
B、∠1＝∠2，则 BD//EF，故原选项正确，不符合题意；
C、AB//EF，则∠FEC＝∠A，故原选项正确，不符合题意；
D、∠ABC+∠BDE＝180°，则BC//DE，故原选项错误，符合题意．
故选：D．
4、如图，某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，若AB=50米，BC=25米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为（ ）
A. 75米 B. 96米 C. 98米 D. 100米
【答案】C
【解析】
【分析】考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键．
根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD-1）×2，求出即可．
【详解】利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD-1）×2，
图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB=50米，宽BC=25米，为50+（25-1）×2=98（米），
故选C．
5、如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝104°，则∠4的度数是（　　）
A. 74° B. 76° C. 84° D. 86°
【答案】B
【分析】求出∠5=∠2，根据平行线的判定得出a∥b，根据平行线的性质得出即可．
【详解】解：
∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠5＝180°，∴∠2＝∠5，∴a∥b，∴∠4＝∠6，
∵∠3＝104°，∴∠6＝180°﹣∠3＝76°，∴∠4＝76°，
故选B．
6、如图，在△ABC中，BC＝6，∠A＝90°，∠B＝70°．把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若CF＝2，则下列结论中错误的是（　　）
A. BE＝2 B. ∠F＝20° C. AB∥DE D. DF＝6
【答案】D
【分析】本题考查了平移的性质，主要利用了平移对应点所连的线段平行且相等．
根据平移的性质可得BC=EF，然后求出BE=CF．
【详解】∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，∴BC=EF，
∴BC-EC=EF-EC，即BE=CF，
∵CF=2cm，∴BE=2cm．
∵BC=6，∠A=90°，∠B=70°，∴∠ACB=20°，
根据平移的性质可得AB∥DE，∴∠F=20°；
故选：D．
7、一把直尺和一个含，角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于， 两点，另一边与三角板的两直角边分别交于，两点，且，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据∠CED=50°，DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．
【详解】
解：∵DEAF，∠CED=50°，
∴∠CAF=∠CED=50°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60°﹣50°=10°．
故选：A．
8、（2021·孝义市教育科技局教学研究室七年级期中）如图，，将一个含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若的度数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB，则EF∥CD，利用平行线的性质，得到∠3+∠4=∠1+∠2=60°，代入计算即可．
【详解】如图，过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∴∠3=∠1，∠4=∠2，
∵∠3+∠4=60°，∴∠1+∠2=60°，
∵∠1=25°，∴∠2=35°，
故选A．
9、将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据平行线的判定定理判断①；根据角的关系判断②即可；根据平行线的性质定理判断③；根据①的结论和平行线的性质定理判断④．
【详解】解：∵∠2＝30°，∴∠1＝60°，
又∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正确；
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
即∠BAE+∠CAD＝∠1+∠2+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故②正确；
∵BC∥AD，∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°，
又∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°，∴∠3＝45°，∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故③错误；
∵∠D＝30°，∠CAD＝150°，∴∠CAD+∠D＝180°，∴AC∥DE，∴∠4＝∠C，故④正确．
故选：A．
10、（2020春 固安县期末）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，
小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”
小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”
他们四人中，有（　　）个人的说法是正确的．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由EF⊥AB，CD⊥AB，知CD∥EF，然后根据平行线的性质与判定即可得出答案；
【详解】解：已知EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，
（1）若∠CDG＝∠BFE，∵∠BCD＝∠BFE，∴∠BCD＝∠CDG，
∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB．
（2）若∠AGD＝∠ACB，∴DG∥BC，
∴∠BCD＝∠CDG，∠BCD＝∠BFE，∴∠CDG＝∠BFE．
（3）由题意知，EF∥DC，∴∠BFE＝∠DCB＜∠ACB，
如下图，①当DG∥BC时，则∠AGD＝∠ACB＞∠BFE，即∠AGD一定大于∠BFE；
②当GD（GD′、GD″）与BC不平行时，
如图，设DG∥BC，
当点G′在点G的上方时，∵∠AG′D＞AGD，由①知，∠AG′D一定大于∠BFE；
当点G″在点G的下方时，见上图，则∠AG″D不一定大于∠BFE，
综上，∠AGD不一定大于∠BFE；
（4）如果连接GF，则GF不一定平行于AB；
综上知：正确的说法有两个． 故选：B．
二、填空题
11、（20-21海安市十一校七下第一次阶段性测试）如图，三角形的周长为，现将三角形沿方向平移至三角形的位置，连接，则四边形的周长是__．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段相等，对应线段相等，找出对应线段和对应点所连的线段，结合四边形的周长公式求解即可．
【详解】解：根据题意，得的对应点为，的对应点为，的对应点为，
所以，，
四边形的周长的周长．
故答案为．
12、如图，FB⊥AB，EC⊥AB，则图中与∠CED相等的角共有___个．
【答案】4
【解析】
【分析】根据已知条件易判定BG∥FD，再根据平行线的性质以及等量代换进行解题．
【详解】解：如图，
∵FB⊥AB，∠1=45°，∴∠1＝∠4＝45°，
∵∠1=∠D=45°，∴BG//FD，∴∠3=∠4=45°
∵EC⊥AB，∠D=45°，∴∠2=45°
∴∠2=∠3=∠4=∠1=∠D=45°，即∠CED=∠3=∠4=∠1=∠D=45°，
∴图中与∠CED相等的角共有4个．
故答案为：4．
13、如图，两个互相重合的直角三角形，将其中的一个三角形沿点到的方向平移到的位置，若，，且平移的距离为6，则阴影部分面积是_______.
【答案】48
【解析】
【分析】
根据平移的性质得S△ABC=S△DEF，BE=6，DE=AB=10，则可计算出OE=DE-DO=6，再利用S阴影部分+S△OEC=S梯形ABEO+S△OEC得到S阴影部分=S梯形ABEO，然后根据梯形的面积公式求解．
【详解】∵△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，平移距离为6，
∴S△ABC=S△DEF，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE-DO=6，
∵S阴影部分+S△OEC=S梯形ABEO+S△OEC，
∴S阴影部分=S梯形ABEO=×（6+10）×6=48．
故答案为48．
14、如图，∠1＝35°，∠2＝35°，∠3＝56°23′，则∠4的大小为　 　．
解：如图，
∵∠1＝35°，∠2＝35°，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠4＝∠5，
∵∠3＝56°23′，
∴∠5＝180°﹣∠3＝123°37′，
∴∠4＝123°37′．
故答案为：123°37′．
15、将一张长方形纸片沿折叠后与的交点为、、分别在、的位置上，若，则_____________.
【答案】28°
【解析】
【分析】根据平行线的性质求出∠DEF的度数，然后根据折叠的性质算出∠GED的度数，根据补角的定义算出∠1的度数，然后求解计算即可.
详解】解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG=52°，
∵EFNM是由EFCD折叠而来，∴∠GEF=∠DEF=52°，即∠GED=104°，
∴∠1=180°-104°=76°，
∵∠2=∠GED=104°，∴∠2-∠1=104°-76°=28°.
故答案为28°.
16、如图，若直线a∥b，那么∠x＝（　　）
A．64° B．68° C．69° D．66°
解：令与130°互补的角为∠1，如图所示．
∵∠1+130°＝180°，∴∠1＝50°．
∵a∥b，∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°，∴x＝64°．故选：A．
17、如图将一条两边互相平行的纸带按如图折叠，若∠EFG＋∠EGD=150°，则∠EGD=_____
【答案】
【分析】
先根据平行线的性质得到，结合已知∠EFG＋∠EGD=150°，解得∠EGD=，再根据折叠的性质解得，结合两直线平行，同旁内角互补得到，据此整理得，进而解题．
【详解】
解：，
∠EFG＋∠EGD=150°，∠EGD=
折叠， ∴ ，
，
， ，
故答案为：．
18、（20-21南京外国语学校七下期中）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE=β．下列各式：①α＋β；②α﹣β；③β α；④180°﹣α﹣β；⑤360°﹣α﹣β．以上结果可以作为∠AEC的度数的是_______________．（填序号）
【答案】①②③⑤
【分析】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，分别有同位角相等，内错角相等或同旁内角互补，平行于同一直线的两条直线平行，此外，还用到了分类讨论思想．
根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，由平行线的性质和三角形外角性质进行计算即可．
【详解】（1）如图1，∵AB∥CD,∴∠AFC=∠DCE=β
∵∠AFC=∠BAE+∠AEC,∴∠AEC=∠AFC-∠BAE=β α
（2）如图2，过点E作EF∥AB,则∠AEF=∠BAE=α
∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠CEF=∠DCE=β, ∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
（3）如图3，∵AB∥CD,∴∠AFC=∠BAE=α
∵∠AFC=∠DCE+∠AEC, ∴∠AEC=∠AFC-∠DCE=α β
（4）如图4，∵AB∥CD, ∴∠AFE=∠DCE=β
∵∠BAE=∠AFE+∠AEC,∴∠AEC=∠BAE-∠AFE=α β
（5）如图5，过点E作EF∥AB, 则∠AEF=180゜ ∠BAE=180゜ α
∵AB∥CD, ∴EF∥CD, ∴∠CEF=180゜ ∠DCE=180゜ β
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=180゜ α+180゜ β=360゜ α β
（6）如图6，∵AB∥CD, ∴∠DFE=∠BAE=α
∵∠DCE=∠DFE+∠AEC, ∴∠AEC=∠DCE ∠DFE=β α
综上所述，正确的序号分别为：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
三、解答题
19、（20-21海安市十一校七下第一次阶段性测试）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）在如图所示的位置．
（1）将向右平移4个单位，向下平移3个单位得△，请在网格中作出△；
（2）若连接，，则这两条线段的位置关系是　　；
（3）的面积为　　；
（4）在整个平移过程中，点的运动路径长为　　．
【答案】（1）见解析；（2）平行；（3）4；（4）7
【解析】
【分析】（1）首先根据平移方法确定、、三点的对应点，然后再连接即可；
（2）根据平移的性质：平移后对应线段平行且相等可得答案；
（3）根据三角形的面积公式求解可得；
（4）根据将向右平移4个单位，向下平移3个单位得△即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，△即为所求；
（2）由平移的性质知，
故答案为平行；
（3），
故答案4；
（4）在整个平移过程中，点的运动路径长为，
故答案为7．
20、如图，ABCD，点G、F分别在AB、CD上，FE平分∠GFD，交AB于点E，且∠EGF＝50°．
求∠BEF的度数．
【答案】115°
【分析】本题考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
由ABCD，根据“两直线平行，同旁内角互补”得到∠GFD＝130°，再根据角平分线的定义得到∠EFD＝65°，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到∠BEF．
【详解】解：∵ABCD，∠EGF＝50°，
∴∠GFD＝180°﹣∠EGF＝180°﹣50°＝130°，
∵FE平分∠GFD，∴∠EFD＝∠GFD＝65°，
∵ABCD，∴∠BEF＝180°﹣∠EFD＝180°﹣65°＝115°，
∴∠BEF的度数为115°．
21、如图，点E、A、C在一条直线上，AD⊥BC，EG⊥BC，垂足分别为D、G，EG交AB于点F．
（1）试说明：AD//EG；
（2）若AD平分∠BAC，探索∠1与∠2的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）∠1=∠2，理由见详解
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，是解题的关键．
（1）先推出∠ADC=∠EGC=90°，进而即可得到结论；
（2）由平行线的性质可得∠1=∠DAC，∠2=∠BAD，结合角平分线的性质，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠ADC=∠EGC=90°，∴AD//EG；
（2）∠1=∠2，理由如下：
∵AD//EG，∴∠1=∠DAC，∠2=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAD，∴∠1=∠2．
22、请将下列证明过程补充完整：已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠BEF+∠ADC=180°．求证：∠AFG=∠G．
证明：∵∠BEF+∠ADC=180°（已知），
又∵　　　 　 　　（平角的定义），
∴∠GED=∠ADC（　 　　 　 　　），
∴AD∥GE（　　 　　 　 　），
∴∠AFG=∠BAD（　 　　 　 　　），
且∠G=∠CAD（　 　 　 　 　　），
∵AD是△ABC的角平分线（已知），
∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义），
∴∠AFG=∠G（　 　 　 　 　　）．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义，属于常考题型，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
求出∠GED=∠ADC，根据平行线的判定得出AD∥GE，根据平行线的性质得出∠AFG=∠BAD，∠G=∠CAD，根据角平分线的定义得出∠CAD=∠BAD，即可得出结论．
【详解】解:∵∠BEF+∠ADC=180°(已知)，
又∵∠BEF+∠GED=180°(平角定义)，
∴∠GED=∠ADC(等式的性质)，
∴AD∥GE(同位角相等,两直线平行)，
∴∠AFG=∠BAD(两直线平行,内错角相等)，
∠G=∠CAD(两直线平行,同位角相等)，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD(角平分线定义)，
∴∠AFG=∠G．
23、已知：如图，，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A．
（1）求证：；
（2）若∠BFE=110°，∠A=60°，求∠B的度数．
【答案】（1）见详解；（2）50°．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
（1）由，可知∠A=∠C ，然后等量代换得到∠C=∠1，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（2）由EF与OC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠BFE+∠DOC=180°，然后通过三角形内角和即可求出∠B的度数．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C ，
又∵∠1=∠A，∴∠C=∠1，∴FE∥OC；
（2）解：∵FE∥OC，∴∠BFE+∠DOC=180°，
又∵∠BFE=110°，∴∠DOC=180°-110°=70°，∴∠AOB=∠DOC=70°，
∵∠A=60°，∴∠B=180°-60°-70°=50°．
24、（2020春 延平区期中）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（　 　）
∴∠C＝∠CEF．（ 　）
∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝　　 （等量代换）
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．
（3）解决问题：如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，则∠A＝　　．（只写出结论，不用写计算过程）
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出即可；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出即可；
（3）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出即可．
【详解】（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C＝∠CEF．（两直线平行，内错角相等），
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代换）
即∠B+∠C＝∠BEC，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF+∠CEF；
（2）证明：如图②，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，
∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，∴∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；
（3）解：如图③，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF＝180°，∠A＝∠BEF，
∵∠C＝120°，∠AEC＝80°，
∴∠CEF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BEF＝80°﹣60°＝20°，
∴∠A＝∠AEF＝20°．
故答案为：20°．
25、 (20-21常州实验初级中学七下期中)如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF//GH．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值若变化，说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由见详解．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角．
（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线AB与直线CD平行；
（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF＝90°，进而证明PF∥GH；
（3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数，进而即可得到结论．
【详解】解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵∠1与∠2互补，∴∠1＋∠2＝180°，
又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，∴∠AEF＋∠CFE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP＋∠EFP＝ (∠BEF＋∠EFD)＝90°，∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，∴PF∥GH；
（3）∵∠PHK＝∠HPK，∴∠PKG＝2∠HPK．
又∵GH⊥EG，∴∠KPG＝90° ∠PKG＝90° 2∠HPK．
∴∠EPK＝180° ∠KPG＝90°＋2∠HPK．
∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK＝∠EPK＝45°＋∠HPK．
∴∠HPQ＝∠QPK ∠HPK＝45°．∴∠HPQ的大小不发生变化．
26、（2021·浙江西湖·七年级期末）已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CDOE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
【答案】（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，进而推出∠AOB=∠BO′E′．
【详解】
解：（1）∵CD∥OE，∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，∴OF∥O′E′，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，
∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；
（3）∠AOB=∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′=90°，∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB=180°，∴2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，
∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，∴∠AOB=∠BO′E′．