2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)7.1～7.2平行线的性质与判定-阶段练(培优)（Word版含答案）

7.1～7.2平行线的性质与判定-阶段练(培优)
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)
一、选择题
1、下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（　　）
A．B．C．D．
2、如图，若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则（　　）
A．l3∥l4 B．l2∥l5 C．l1∥l3 D．l1∥l2
(2题) (3题) (4题) (5题)
3、如图，直线a、b都与直线c相交，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠8＝∠1；④∠6+∠7＝180°．其中，能够判断a∥b的是（　　）
A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②
4、如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
5、如图，点E在AD的延长线上，下列条件中不能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠A＝∠CDE D．∠C+∠ABC＝180°
6、如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
(6题) (7题)
7、如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2＝∠3，若∠1＝80°，则∠4等于（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
8、将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，如果∠1＝56°，那么∠2等于（　　）
A．56° B．68° C．62° D．66°
(8题) (9题)
9、如图，，，则，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
10、①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点O在直线EF上，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11、如图，已知∠1＝∠2，再添上条件：可使EB∥FD成立．　 　．
(11题) (12题) (13题)
12、已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是_____．
13、如图，已知直线，直线分别是截线，，分别平分．则_______．
14、如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___．
(14题) (15题)
15、一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．
16、如图，已知AB∥DE，∠BAC＝m°，∠CDE＝n°，则∠ACD＝　 　．
(16题) (17题)
17、如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2的度数为 ___．
18、已知与（，都是大于0°且小于180°的角）的两边一边平行，另一边垂直，且，则的度数为_________．
三、解答题
19、如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，∠B＝∠1，∠2＝∠E，试说明AD∥CE．
20、（2020秋 长春期末）如图，，．求证：．
在下列解答中，填空：
证明：（已知），
　 　．
　　 ．
（已知），
　　　　 ．
　　（两直线平行，内错角相等）．
　　，　　，
（等量代换）．
21、如图所示．AE∥BD，∠1＝3∠2，∠2＝25°，求∠C．
22、（2021春 颍州区期末）如图，点、在线段上，点、分别在线段和上，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若是的平分线，，且，试说明与有怎样的位置关系？
23、已知：直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM∥FN．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．
24、问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．
（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（ ）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．
25、已知：点、、不在同一条直线上，.
（1）如图1，当，时，求的度数；
（2）如图2，、分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
（3）如图3，在（2）的前提下，有，，直接写出的值.
26、（2021春 硚口区期末）已知直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，∠1+∠2＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，M、N分别为直线AB、CD上的点，P、Q为直线AB、CD之间不同的两点，
∠PMQ＝2∠BMQ，∠PNQ＝2∠DNQ，∠MQN＝30°．
①求证：PM⊥PN；
②如图3，∠EGB的平分线GL与∠MPN的邻补角∠MPT的平分线PL交于点L，∠PNH的平分线NK交EF于点K．若∠EKN+∠GLP＝170°，直接写出∠PNH﹣∠EHD的大小．
7.1～7.2平行线的性质与判定-阶段练(培优)
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)（解析）
一、选择题
1、下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（　　）
A．B．C．D．
解：A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°，故A错误；
B、∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，
∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，故B正确；
C、∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠CDA，
若AC∥BD，可得∠1＝∠2；故C错误；
D、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1＝∠2，故D错误．
故选：B．
2、如图，若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则（　　）
A．l3∥l4 B．l2∥l5 C．l1∥l3 D．l1∥l2
解：∵∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，
∴∠1＝∠3，
∴l1∥l3．
故选：C．
3、如图，直线a、b都与直线c相交，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠8＝∠1；④∠6+∠7＝180°．其中，能够判断a∥b的是（　　）
A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②
解：①∵∠1＝∠2，
∴a∥b，故本小题正确；
②∵4＝∠5，
∴a∥b，故本小题正确；
③∵∠8＝∠1，∠8＝∠2，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b，故本小题正确；
④∵∠6+∠7＝180°，∠6+∠2＝180°，
∴∠7＝∠2，
∴a∥b，故本小题正确．
故选：A．
4、如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
解：作EM∥AB，FN∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．
∴∠A+∠AEM＝180°，∠MEF+∠EFN＝180°，∠NFC+∠C＝180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C＝540°．
故选：C．
5、如图，点E在AD的延长线上，下列条件中不能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠A＝∠CDE D．∠C+∠ABC＝180°
解：A、∵∠1和∠2是AB、CD被BD所截得到的一对内错角，∴当∠1＝∠2时，可得AB∥CD，故A不符合题意；
B、∵∠3和∠4是AD、BC被BD所截得到的一对内错角，∴当∠3＝∠4时，可得AD∥BC，故B符合题意；
C、∵∠A和∠CDE是AB、CD被AE所截得到的一对同位角，∴当∠A＝∠CDE时，可得AB∥CD，故C不符合题意；
D、∠C和∠ABC是AB、CD被BC所截得到的一对同旁内角，∴当∠C+∠ABC＝180°时，可得AB∥CD，故D不符合题意．
故选：B．
6、如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
解：∵CD∥AB，∴∠AOD+∠D＝180°，∴∠AOD＝70°，∴∠DOB＝110°，
∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝55°，
∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，
∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°，
故选：D．
7、如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2＝∠3，若∠1＝80°，则∠4等于（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
解：∵a∥b，∠1＝80°，
∴∠2+∠3＝80°，∠3＝∠4．
∵∠2＝∠3，
∴∠3＝40°，
∴∠4＝40°．
故选：B．
8、将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，如果∠1＝56°，那么∠2等于（　　）
A．56° B．68° C．62° D．66°
解：根据题意知：折叠所重合的两个角相等．再根据两条直线平行，同旁内角互补，得：
2∠1+∠2＝180°，解得∠2＝180°﹣2∠1＝68°．
故选：B．
9、如图，，，则，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
解：如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，
∵，∴，
∴，，，
∴，
又∵，∴，
∴，即，
故选C
10、①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点O在直线EF上，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
如图1所示，过点E作EF//AB，由平行线的性质即可得到∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，则∠A+∠C+∠AEC=360°，故①错误；如图2所示，过点P作PE//AB，由平行线的性质即可得到∠A=∠APE=180°，∠C=∠CPE，再由∠APC=∠APE=∠CPE，即可得到∠APC=∠A-∠C，即可判断②；如图3所示，过点E作EF//AB，由平行线的性质即可得到∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，再由∠AEF+∠CEF=∠AEC，即可判断③ ；由平行线的性质即可得到，，再由，即可判断④．
【详解】
解：①如图所示，过点E作EF//AB，
∵AB//CD，∴AB//CD//EF，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=360°，
又∵∠AEF+∠CEF=∠AEC，∴∠A+∠C+∠AEC=360°，故①错误；
②如图所示，过点P作PE//AB，
∵AB//CD，∴AB//CD//PE，∴∠A=∠APE=180°，∠C=∠CPE，
又∵∠APC=∠APE=∠CPE，∴∠APC=∠A-∠C，故②正确；
③如图所示，过点E作EF//AB，
∵AB//CD，∴AB//CD//EF，∴∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，
又∵∠AEF+∠CEF=∠AEC，∴180°-∠A+∠1=∠AEC，故③错误；
④∵，∴，，
∵，∴，∴，故④正确；
故选B
二、填空题
11、如图，已知∠1＝∠2，再添上条件：可使EB∥FD成立．　 　．
解：∵AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CDM（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠2，
∴∠ABM+∠1＝∠CDM+∠2，
即∠EBM＝∠FDM，
∴EB∥FD（同位角相等，两直线平行）．
12、已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是_____．
【答案】38°
【分析】过点B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．
【详解】
如图，过点B作BD∥a，∴∠ABD=∠1=22°，
∵a∥b，∴BD∥b，
∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°．
故答案为：38°．
13、如图，已知直线，直线分别是截线，，分别平分．则_______．
【答案】165°
【分析】过点E作，结合可得，根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的性质可得，，由此即可求得答案．
【详解】解：如图，过点E作，
又∵，∴，
∵分别平分，，
∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，
故答案为：165°．
14、如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___．
【答案】
【分析】
过点O作，利用平移的性质得到，可得判断，根据平行线的性质得，，可得到，从而得出的度数．
【详解】
解：过点O作，
∵直线a向下平移得到直线b，∴，∴，
∴，，
∴，∴．
故答案为：．
15、一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．
过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．
【详解】过B作BF∥AE，
∵CD∥ AE，则CD∥BF∥AE，∴∠BCD+∠1=180°，
又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．
故答案为：270．
16、如图，已知AB∥DE，∠BAC＝m°，∠CDE＝n°，则∠ACD＝　 　．
解：延长ED交AC于F，
∵AB∥DE，
∴∠3＝∠BAC＝m°，∠1＝180°﹣∠3＝180°﹣m°，
∠2＝180°﹣∠CDE＝180°﹣n°，
故∠C＝∠3﹣∠2＝m°﹣180°+n°＝m°+n°﹣180°．
故答案是：m°+n°﹣180°．
17、如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2的度数为 ___．
【答案】150°
【分析】
延长AB交l2于E，根据平行线的判定可得AB∥CD，根据平行线的性质先求得∠3的度数，再根据平行线的性质求得∠2的度数．
【详解】
解：延长AB交l2于E，
∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°
∵l1∥l2，∴∠3=∠1=30°，∴∠2=180°-∠3=150°．
故答案为：150°．
18、已知与（，都是大于0°且小于180°的角）的两边一边平行，另一边垂直，且，则的度数为_________．
解：①如图1，作EF∥BD，∴∠B=∠BEF，
∵EF∥BD，BD∥AC，∴EF∥AC，∴∠A=∠AEF，
∴∠A+∠B=∠AEF+∠BEF=，
∵，∴∠A=；
②如图2，作EF∥BD，∴∠B+∠BEF=，
∵EF∥BD，BD∥AC，∴EF∥AC，∴∠A+∠AEF=，∴∠A+∠AEB+∠B=，
∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=，∴∠A+∠B=，
∵，∴∠A=； 故答案为：或．
．
三、解答题
19、如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，∠B＝∠1，∠2＝∠E，试说明AD∥CE．
证明：∵∠B＝∠1，
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
∵∠2＝∠E，
∴∠E＝∠ADE，
∴AD∥CE（内错角相等，两直线平行）．
20、（2020秋 长春期末）如图，，．求证：．
在下列解答中，填空：
证明：（已知），
　 　．
　　 ．
（已知），
　　　　 ．
　　（两直线平行，内错角相等）．
　　，　　，
（等量代换）．
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．
【解答】证明：（已知），
（同旁内角互补，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
（内错角相等，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
，，
（等量代换）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；，内错角相等，两直线平行；；；．
21、如图所示．AE∥BD，∠1＝3∠2，∠2＝25°，求∠C．
解：过F到FG∥CB，交AB于G
∴∠C＝∠AFG（两直线平行，同位角相等）
∴∠2＝∠BFG（两直线平行，内错角相等）
∵AE∥BD
∴∠1＝∠BFA（两直线平行，内错角相等）
∴∠C＝∠AFG＝∠BFA﹣∠BFG＝∠1﹣∠2＝3∠2﹣∠2＝2∠2＝50°．
故答案为50°．
22、（2021春 颍州区期末）如图，点、在线段上，点、分别在线段和上，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若是的平分线，，且，试说明与有怎样的位置关系？
【分析】（1）先根据得出，再由得出，进而可得出结论；
（2）根据，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线可得出的度数，由此得出结论．
【解析】（1）．
理由：，
．
，
，
；
（2）．
理由：由（1）知，，
．
，
．
是的平分线，
，
．
23、已知：直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM∥FN．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．
（1）证明：∵EM∥FN，∴∠EFN＝∠FEM．
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．∴∠CFE＝∠BEF．∴AB∥CD．
（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下：
∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵FN平分∠CFE，∴∠CFE＝2∠CFN，
∵∠AEF＝2∠CFN，∴∠AEF＝∠CFE＝90°，∴∠CFN＝∠EFN＝45°，
∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，
同理：∠AEM＝∠GEM＝135°．
∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．
24、问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．
（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（ ）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．
【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁内角互补；（2），理由见解析；（3）或
【分析】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．
（1）根据平行线的判定与性质填写即可；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形（分两种情况①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，
所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图3所示，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，如图4所示：过P作PE∥AD交CD于E，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β-∠α；
当P在AB延长线时，如图5所示：
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α-∠β．
综上所述，∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系为：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．
25、已知：点、、不在同一条直线上，.
（1）如图1，当，时，求的度数；
（2）如图2，、分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
（3）如图3，在（2）的前提下，有，，直接写出的值.
解：(1)在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．
∵CF∥AD∥BE，∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180°﹣(∠B﹣∠A)＝120°．
(2)在图2中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．
∵QM∥AD，QM∥BE，∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．
∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，∴∠NAD＝∠CAD，∠EBQ＝∠CBE，
∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM＝(∠CBE﹣∠CAD)．
∵∠C＝180°﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝180°﹣2∠AQB，∴2∠AQB+∠C＝180°．
(3)∵AC∥QB，∴∠AQB＝∠CAP＝∠CAD，∠ACP＝∠PBQ＝∠CBE，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°﹣∠CBE．
∵2∠AQB+∠ACB＝180°，∴∠CAD＝∠CBE．
又∵QP⊥PB，∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，∴∠ACB＝180°﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝120°，
∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2．
26、（2021春 硚口区期末）已知直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，∠1+∠2＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，M、N分别为直线AB、CD上的点，P、Q为直线AB、CD之间不同的两点，
∠PMQ＝2∠BMQ，∠PNQ＝2∠DNQ，∠MQN＝30°．
①求证：PM⊥PN；
②如图3，∠EGB的平分线GL与∠MPN的邻补角∠MPT的平分线PL交于点L，∠PNH的平分线NK交EF于点K．若∠EKN+∠GLP＝170°，直接写出∠PNH﹣∠EHD的大小．
【解题思路】（1）利用∠1＝∠HGB，再利用等量代换，即可解决；
（2）①过Q作QK∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥QK，则∠BMQ＝∠MQK，∠DNQ＝∠KQN，所以∠MQN＝∠BMQ+∠DNQ，同理∠MPN＝∠BMP+∠DNP，设∠BMQ＝x，∠DNQ＝y，利用∠MQN＝30°，得到x+y＝30°，又∠MPN＝3x+3y，代入即可解决．
②如图，过L作IS∥AB，过P作PW′∥AB，过K作KW∥AB，利用AB∥CD，可以得到SI∥AB∥CD∥KW∥PW′，设∠EGL＝∠LGB＝x，∠CNK＝∠KNP＝y，利用平行线的性质，分别用x，y表示出∠EKN和∠GLP，因为∠EKN+∠GLP＝170°，得到x与y的关系式，整体代入运算，即可解决．
【解答过程】证明：（1）∵∠1＝∠HGB，∠1+∠2＝180°，
∴∠HGB+∠2＝180°，∴AB∥CD，
（2）①过Q作QK∥AB，如图1，
∵AB∥CD，∴QK∥AB∥CD，
∴∠BMQ＝∠MQK，∠DNQ＝∠KQN，
∴∠MQN＝∠MQK+∠KQN＝∠BMQ+∠DNQ，
同理，∠MPN＝∠BMP+∠DNP，
设∠BMQ＝x，∠DNQ＝y，
则∠MQK＝x，∠KQN＝y，∠PMQ＝2x，∠PNQ＝2y，
∵∠MQN＝30°，∴x+y＝30°，
∴∠MPN＝3x+3y＝90°，∴PM⊥PN；
解：（2）②如图2，过L作IS∥AB，过P作PW′∥AB，过K作KW∥AB，
∵AB∥CD，∴SI∥AB∥CD∥KW∥PW′，
∵GL平分∠EGB，∴可设∠EGL＝∠LGB＝x，
同理，∠MPL＝∠TPL＝45°，可设∠CNK＝∠KNP＝y，
∵IS∥AB∥PW′，∴∠ILG＝∠LGB＝x，∠SLP＝∠LPW′，
∵PW′∥CD，∴∠W′PN＝180°﹣∠CNP＝180°﹣2y，
∴∠W′PL＝180°﹣∠W′PN﹣∠LPT＝2y﹣45°，
∴∠SLP＝∠LPW′＝2y﹣45°，
∴∠GLP＝180°﹣∠ILG﹣∠SLP＝225°﹣x﹣2y，
∵AB∥KW∥CD，∴∠AGK＝∠GKW＝∠EGB＝2x，∠WKN＝∠KNC＝y，
∴∠EKN＝∠GKW+∠WKN＝2x+y，
∵∠EKN+∠GLP＝170°，
∴2x+y+225°﹣x﹣2y＝170°，∴y﹣x＝55°，
∴∠PNH﹣∠EHD＝2y﹣2x＝110°．