(共20张PPT)
1.5.1平方差公式
北师大版 七年级下册
复习回顾
多项式与多项式是如何相乘的？
(a + b)( m + n)
=am
+an
+bm
+bn
导入新课
算一算：看谁算得又快又准.
（1）（x + 2）（x – 2）
（2）（1 + 3a）（1 – 3a）
（3）（x + 5y）（1 – 5y）
（4）（2y + z）（2y – z）
新知讲解
（1）（x + 2）（x – 2）
= x2 – 2x + 2x – 4
= x2 – 4
（2）（1 + 3a）（1 – 3a）
= 1 – 3a + 3a – 9a2
= 1 – 9a2
（3）（x + 5y）（x – 5y）
（4）（2y + z）（2y – z）
= x2 – 5xy + 5xy – 25y2
= x2 – 25y2
= 4y2 – 2yz + 2yz – z2
= 4y2 – z2
新知讲解
左边:相乘的两个二项式，有一项完全相同，另一项互为相反数.
观察以上算式及其运算结果， 你有什么发现？
右边:(相同项)2-(相反项)2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
归纳
(a+b)(a b)=a2 b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
公式变形:
(a–b) (a+b) =a2 b2
(b+a)( b+a )=a2 b2
平方差公式：
总结
平方差公式
注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．
(a+b)(a-b) = a2-b2
相同为a
相反为b
适当交换
合理加括号
典例精析
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)；
(3) (－m+n)(－m－n)
解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2；
（2）原式＝x2－(2y)2＝x2 － 4y2；
（3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2.
注意：1.先把要计算的式子与公式对照;
2.哪个是a 哪个是b
方法点拨
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
练一练
（1）（3x + 2）（ 3x – 2） ；
（2）（b + 2a）（2a – b）.
解（1） （3x + 2）（ 3x – 2）
（2）（b + 2a）（2a – b）
=（3x）2 – 22
= 9x2 – 4
=（2a）2 – b2
= 4a2 – b2
典例精析
例2、利用平方差公式计算：
（1） ；
（2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )．
解：（1）()()=
（2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )= a2b2- 64
练一练
(1)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(2)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1)原式=(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2；
(2)原式=(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
利用平方差公式计算：
注意：1.能用平方差计算的多项式乘以多项式必须有一项完全相同，另一项只是符号不同.
2.这里的“项”可以是单项式也可以是多项式.
平方差公式
可以连用！
课堂练习
1.下列计算能运用平方差公式的是( )
A．(m＋n)(－m－n) B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2) D. (m2－n3)(－m2-n3)
2.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )
A．(2a＋b)(－2a＋b) B．(a＋2)(2＋a)
C．(－a＋b)(a－b) D．(a＋b2)(a2－b)
D
A
课堂练习
3.下列各式运算结果是x2－25y2的是( )
A.(x+5y)(－x+5y) B.(－x－5y)(－x+5y)
C.(x－y)(x+25y) D.(x－5y)(5y－x)
4.已知 (x－ay) (x + ay ) = x2－16y2, 那么 a =____.
5.若x2－y2＝20，且x＋y＝－5，则x－y的值是_________．
B
±4
-4
课堂练习
（1）(a+3b)(a- 3b)；
解：原式=(2a+3)(2a－3)
=(2a)2－32
=4a2－9；
=a2－9b2 ；
解：原式=a2－(3b)2
（2）(3+2a)(－3+2a)；
6.利用平方差公式计算：
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)；
解：原式=(-2x2 )2－y2
=4x4－y2.
（4）(－5+6x)(－6x－5).
解：原式=(－5+6x)(－5－6x)
=(－5)2－(6x)2
=25－36x2.
课堂练习
7.先化简，再求值：(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)，其中x=1，y=2.
解：原式＝4x2-y2-(4y2-x2)
原式＝5×12－5×22＝－15.
＝4x2-y2-4y2+x2
＝5x2-5y2.
当x=1，y=2时，
作业布置
1.课本第21页习题1.9第1、2题
课堂小结
1．平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2
公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差．
2．应用平方差公式的注意事项：
（1）注意平方差公式的适用范围；
（2）字母a、b可以是数，也可以是整式；
（3）注意计算过程中的符号和括号．
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
1.5.1平方差公式教学设计
课题 平方差公式 单元 1 学科 数学 年级 七
学习 目标 1. 经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算 2. 在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力．在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简洁美．
重点 平方差公式的推导和应用
难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1、 知识复习：多项式与多项式相乘的法则 （a+b）（m+n）=am+an+bm+bn 2、计算下列各题，你能发现什么规律？ （1）（x+1）（x－1）； （2）（a+2）（a－2）； （3）（3－x）（3+x）； （4）（2m+n）（2m－n）． 学生计算这几组多项式乘多项式 通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式。
讲授新课 问题：依照以上三道题的计算回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？ ②它们的结果有什么特征？ ③能不能用字母表示你的发现？ 式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出： （a+b）(a-b)=a2-b2 你能分别用文字语言和字母符号语言表示所发现的规律吗？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 典例精析 例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) 例2、利用平方差公式计算： （1）()() （2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )． 学生通过自主探究、合作交流，发现规律 学生经过独立思考、交流、讨论后举手回答，说明能用平方差公式计算的理由，并指出相当于公式中的a、b分别是什么？ 根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理。 鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与符号表达能力。 学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解。
课堂练习 1.下列计算能运用平方差公式的是( ) A．(m＋n)(－m－n) B．(2x＋3)(3x－2) C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2) D. (m2－n3)(－m2-n3) 2.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ) A．(2a＋b)(－2a＋b) B．(a＋2)(2＋a) C．(－a＋b)(a－b) D．(a＋b2)(a2－b) 3.下列各式运算结果是x2－25y2的是( ) A.(x+5y)(－x+5y) B.(－x－5y)(－x+5y) C.(x－y)(x+25y) D.(x－5y)(5y－x) 4.已知 (x－ay) (x + ay ) = x2－16y2, 那么 a =____. 5.若x2－y2＝20，且x＋y＝－5，则x－y的值是_________． 6.利用平方差公式计算： （1）(a+3b)(a- 3b)； （2）(3+2a)(－3+2a)； （3）(－2x2－y)(－2x2+y)； （4）(－5+6x)(－6x－5). 7.先化简，再求值：(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)，其中x=1，y=2. 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 1.5.1平方差公式 一、平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 二、例1 三、例2
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
