3-1-1同步检测
一、选择题
1．斜率不存在的直线一定是( )
A．过原点的直线
B．垂直于x轴的直线
C．垂直于y轴的直线
D．垂直于过原点的直线
2．如图所示，直线l的倾斜角是( )
A．0° B．90°
C．∠CAB D．∠OAB
3．已知点A(2,1)，B(3，－1)，则过A，B两点的直线的斜率为( )
A．－2 B．－
C. D．2
4．直线l的倾斜角α＝135°，则其斜率k等于( )
A. B. C．－1 D．1
5．过点(－3,0)和点(－4，)的直线的倾斜角是( )
A．30° B．150°
C．60° D．120°
6．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是45°，则y等于( )
A．－1 B．－5 C．1 D．5
7．①直线l的倾斜角是α，则l的斜率为tanα；②直线l的斜率为－1，则其倾斜角为45°；③与坐标轴平行的直线没有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率．上述命题中，正确的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
8．已知直线l1与l2垂直，l1的倾斜角α1＝60°，则l2的斜率为( )
A.
B.
C．－
D．－
9．直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为( )
A．1 B.
C. D．－
10．如下图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1C．k3二、填空题
11．已知两点P(m,2)，Q(1＋m,2m－1)所在直线的倾斜角为45°，则m的值等于________．
12．三点A(0,2)，B(2,5)，C(3，b)能作为三角形的三个顶点，则实数b满足的条件是________．
13．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为________．
14．若三点A(3,3)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋＝________.
三、解答题
15．已知三点A(1,3)，B(5,11)，C(－3，－5)，求证：这三点在同一条直线上．
16．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角．
(1)A(0，－1)，B(2,0)；
(2)P(5，－4)，Q(2,3)；
(3)M(3，－4)，N(3，－2)．
17．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值．
18．(1)当且仅当m为何值时，经过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12?
(2)当且仅当m为何值时，经过两点A(m,2)，B(－m,2m－1)的直线的倾斜角是60°？
[分析] 利用斜率公式列方程求解．
详解答案
1[答案] B
2[答案] C
3[答案] A
[解析] kAB＝＝－2.
4[答案] C
[解析] k＝tanα＝tan135°＝－1.
5[答案] D
[解析] 斜率k＝＝－，则倾斜角为120°.
6[答案] A
[解析] 直线的倾斜角为45°，则其斜率为k＝tan45°＝1.由斜率公式，得＝1，解得y＝－1.
7[答案] B
[解析] 由倾斜角和斜率的定义知，当倾斜角α＝90°时，则l的斜率不存在，故①是错误的；因为tan135°＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1，所以当k＝－1时，α＝135°，故②是错误的；与y轴平行的直线倾斜角为90°，故③也是错误的；因而只有④是正确的，即正确的个数为1个，故选B.
8[答案] D
[解析] ∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋60°＝150°，
∴直线l2的斜率k2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－.
9[答案] B
[解析] ∵tanα＝，0°≤α<180°，∴α＝30°，
∴2α＝60°，∴k＝tan2α＝.故选B.
10[答案] D
[解析] 可由直线的倾斜程度，结合倾斜角与斜率的关系求解．设直线l1，l2，l3的倾斜角分别是α1，α2，α3，由图可知α1>90°>α2>α3>0°，
所以k1<011[答案] 2
[解析] 由题意知k＝tan45°＝1.由斜率公式得＝1，解得m＝2.
12[答案] b≠
[解析] 由题意得kAB≠kAC，
则≠，整理得b≠.
13[答案] (－5,0)
[解析] 设P(x,0)为满足题意的点，则kPA＝，kPB＝，于是＝2×，解得x＝－5.
14[答案]
[解析] 由于点A，B，C共线，则kAB＝kAC，
所以＝.所以ab＝3a＋3b.
即＋＝.
15[证明] 由斜率公式，得
kAB＝＝2，kAC＝＝2，
∴kAB＝kAC，且AB与AC都过点A，
∴直线AB，AC斜率相同，且过同一点A，
∴A，B，C这三点在同一条直线上．
16[解析] (1)kAB＝＝，
∵kAB>0，
∴直线AB的倾斜角是锐角．
(2)kPQ＝＝－，
∵kPQ<0，∴直线PQ的倾斜角是钝角．
(3)∵xM＝xN＝3，
∴直线MN的斜率不存在，其倾斜角为直角．
17[解析] 依题意知直线AC的斜率存在，则m≠－1，由kAC＝3kBC得＝3×，
∴m＝4.
18[解析] (1)由题意得kAB＝＝12，解得m＝－2.
故当且仅当m＝－2时，经过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12.
(2)由题意得kAB＝tan60°＝＝，
解得m＝－.
故当且仅当m＝－时，经过两点A(m,2)，B(－m,2m－1)的直线的倾斜角是60°.
3-1-2同步检测
一、选择题
1．下列命题
①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；
②如果两直线平行，则它们的斜率相等；
③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；
④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.
其中正确的为( )
A．①②③④ B．①③
C．②④ D．以上全错
2．过点A(1,2)和点B(－3,2)的直线与x轴的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．重合 D．以上都不对
3．已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1)，若l1过原点O(0,0)，则l2与y轴交点的坐标为( )
A．(2,0) B．(0,2)
C．(0,1) D．(1,0)
4．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)、(x,6)，且l1∥l2，则x＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．1
5．已知直线l与过点M(－，)，N(，－)的直线垂直，则直线l的倾斜角是( )
A．60° B．120°
C．45° D．135°
6．直线l1⊥l2，又l2过点A(1,1)，B(m，n)，l1与y轴平行则n＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．不存在
7．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( )
A．(3,0) B．(－3,0)
C．(0，－3) D．(0,3)
8．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是( )
①l1的斜率为2，l2过点A(1,2)，B(4,8)
②l1经过点P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x轴，但不经过P点；
③l1经过点M(－1,0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0,5)．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
9．已知两点A(2,0)、B(3,4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O、A、B、C四点共圆，那么y的值是( )
A．19 B.
C．5 D．4
10．过点E(1,1)和点F(－1,0)的直线与过点M(－，0)和点N(0，)(k≠0)的直线的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．平行或重合 D．相交或重合
二、填空题
11．经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝________.
12．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________.
13．直线l过点A(0,1)和B(－2,3)，直线l绕点A顺时针旋转90°得直线l1，那么l1的斜率是______；直线l绕点B逆时针旋转15°得直线l2，则l2的斜率是______．
14．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.
三、解答题
15．直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．
16．已知在?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定?ABCD是否为菱形？
17．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．
[分析] 分类讨论直角梯形ABCD的腰和底，利用直线平行和垂直的斜率关系解决．
1[答案] B
[解析] 当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故④错．
2[答案] B
[解析] ∵A、B两点纵坐标相等，
∴直线AB与x轴平行．
3[答案] B
[解析] 设l2与y轴交点为B(0，b)，
∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.
∴kOAkAB＝－1.
∴×＝－1，
解得b＝2，即l2与y轴交点的坐标为(0,2)．
4[答案] A
[解析] ∵l1∥l2且k1不存在，∴k2不存在，
∴x＝2 故选A.
5[答案] C
[解析] kMN＝＝－1 ∴直线l的斜率k＝1，∴α＝45°，故选C.
6[答案] A
[解析] ∵l1∥y轴，∴l1的斜率不存在，又l1⊥l2
∴l2的斜率为0，∴n＝1 故选A.
7[答案] D
[解析] 设P(0，y) ∵l1∥l2 ∴＝2
∴y＝3 故选D.
8[答案] B
9[答案] B
[解析] 由于A、B、C、O四点共圆，
所以AB⊥BC ∴·＝－1 ∴y＝
故选B.
10[答案] C
[解析] kEF＝＝，kMN＝＝，
又当k＝2时，EF与MN重合．
11[答案] 4
[解析] 由题意，得tan45°＝，解得a＝4.
12[答案]
[解析] 由题意得AD⊥BC，则有kADkBC＝－1，
所以有·＝－1，解得m＝.
13[答案] 1；－
[解析] ∵kAB＝－1，∴直线l的倾斜角α＝135°.
(1)∵l1与l垂直，∴kl1＝1.
(2)∵∠ABC＝15°，∠CDB＝135°，
∴∠β＝135°＋15°＝150°，
∴kl2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－.
14[答案] 2 －
[解析] 当l1⊥l2时，k1k2＝－1，
∴－＝－1.∴b＝2.
当l1∥l2时，k1＝k2，
∴Δ＝(－3)2＋4×2b＝0.∴b＝－.
15[解析] 当l1∥l2时，
由于直线l2的斜率存在，则直线l1的斜率也存在，
则kAB＝kCD，即＝，解得m＝3；
当l1⊥l2时，
由于直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则kABkCD＝－1，
即·＝－1，解得m＝－.
综上，当l1∥l2时，m的值为3；当l1⊥l2时，m的值为－.
16[解析] 设D(a，b)，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴kAB＝kCD，kAD＝kBC，
∴，解得，
∴D(－1,6)．
(2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
∴kAC·kBD＝－1.∴AC⊥BD.
∴?ABCD为菱形．
17[解析] (1)如下图，当∠A＝∠D＝90°时，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AB∥DC且AD⊥AB.
∵kDC＝0，∴m＝2，n＝－1.
(2)如下图，当∠A＝∠B＝90°时，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AD∥BC，且AB⊥BC，∴kAD＝kBC，kABkBC＝－1.
∴
解得m＝，n＝－.
综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－.
3-2-1同步检测
一、选择题
1．直线y＝－2x＋3的斜率和在y轴上的截距分别是( )
A．－2,3 B．3，－2
C．－2，－2 D．3,3
2．过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为( )
A．x＝1 B．x＝3
C．y＝1 D．y＝3
3．方程y－y0＝k(x－x0)( )
A．可以表示任何直线
B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与y轴垂直的直线
D．不能表示与x轴垂直的直线
4．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
5．直线l：y＝kx＋b的图像如图所示，则k、b满足( )
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0
C．k＜0，b＜0 D．k＞0，b＜0
6．方程y＝ax＋表示的直线可能是( )
7．与直线y＝－2x＋3平行，且与直线y＝3x＋4交于x轴上的同一点的直线方程是( )
A．y＝－2x＋4 B．y＝x＋4
C．y＝－2x－ D．y＝x－
8．直线l：y－1＝k(x＋2)的倾斜角为135°，则直线l在y轴上的截距是( )
A．1 B．－1
C. D．－2
9．已知点P(3，m)在过M(－2,1)和N(－3,4)两点的直线上，则m的值为( )
A．15 B．14
C．－14 D．－16
10．等边△PQR中，P(0,0)、Q(4,0)，且R在第四象限内，则PR和QR所在直线的方程分别为( )
A．y＝±x
B．y＝±(x－4)
C．y＝x和y＝－(x－4)
D．y＝－x和y＝(x－4)
二、填空题
11．过点(－1,3)，且斜率为－2的直线的斜截式方程为_______．
12．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．
13．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y＝kx＋b上的两点，则k＝________，b＝________.
14．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，则直线BC的方程为________．
三、解答题
15．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程．
[分析] BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，从而由点斜式得直线方程．
16．已知直线y＝－x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程．
(1)过点P(3，－4)；
(2)在x轴上截距为－2；
(3)在y轴上截距为3.
17．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k无论怎样变化，所有直线恒过定点，求此定点坐标．
18．求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为－的直线方程．
详解答案
1[答案] A
2[答案] A
3[答案] D
[解析] 直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线，即不能表示与x轴垂直的直线．
4[答案] B
[解析] 根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k1＝a，k2＝2－a.两直线平行，则有k1＝k2.
所以a＝2－a，解得a＝1.
5[答案] B
6[答案] B
[解析] 直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距是.当a>0时，斜率a>0，在y轴上的截距是>0，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a<0时，斜率a<0，在y轴上的截距是<0，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有选项B符合．
7[答案] C
[解析] y＝3x＋4与x轴交点为(－，0)
又与直线y＝－2x＋3平行，
故所求直线方程为y＝－2(x＋)
即y＝－2x－ 故选C.
8[答案] B
[解析] ∵倾斜角为135°，
∴k＝tan135°＝－tan45°＝－1，
∴直线l：y－1＝－(x＋2)，令x＝0得y＝－1.
9[答案] C
[解析] 直线MN的斜率k＝－3，方程为y－1＝－3(x＋2)，点P(3，m)在直线上，
∴m－1＝－3×(3＋2)，∴m＝－14.
[点评] 点P在过M、N两点的直线上，即P、M、N共线，因此可由斜率kPM＝kMN求解，请自己写出解题过程．
10[答案] D
[解析] 直线PR，PQ的倾斜角分别为120°，60°，
∴斜率分别为－，.数形结合得出．
11[答案] y＝－2x＋1
[解析] 点斜式为y－3＝－2(x＋1)，化为斜截式为y＝－2x＋1.
12[答案] y－1＝－(x－2)
[解析] 设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，
∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.
又k2＝1，∴k1＝－1.
∴l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．
13[答案] －2 －2
[解析] 由题意，得解得k＝－2，b＝－2.
14[答案] 8x＋y－9＝0或2x－y－1＝0或y＝x或3x＋y－4＝0
[解析] 若∠A为直角，则AC⊥AB，
∴kAC·kAB＝－1，
即·＝－1，得m＝－7；
此时BC：8x＋y－9＝0.
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即－·＝－1，得m＝3；
此时直线BC方程为2x－y－1＝0.
若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝±2.
此时直线BC方程为y＝x或3x＋y－4＝0.
15[解析] 设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
∴kBCkAD＝－1.
∴kAD＝－1，解得kAD＝.
∴BC边上的高所在直线的点斜式方程是y－0＝(x＋5)．
即y＝x＋3.
16[解析] 直线y＝－x＋5的斜率k＝tanα＝－ ∴α＝150°
故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝
(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程得：y＋4＝(x－3)
∴y＝x－－4
(2)在x轴截距为－2，即直线l过点(－2,0)
由点斜式方程得：y－0＝(x＋2)，∴y＝x＋
(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝x＋3.
17[解析] 方法1：将直线变形为y－1＝k(x－3)，由点斜式方程知，此直线过定点(3,1)．
方法2：将直线变形为k(x－3)－y＋1＝0，由于此直线过定点与k无关，因此x－3＝0且－y＋1＝0，∴x＝3，y＝1，过定点(3,1)．
18[解析] 设直线方程为y＝－x＋b，
令y＝0得x＝b
由题意知·|b|·|b|＝12，∴b2＝36，
∴b＝±6，∴所求直线方程为y＝－x±6.
3-2-1同步检测
一、选择题
1．过(x1，y1)和(x2，y2)两点的直线方程是( )
A.＝
B.＝
C．(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
D．(x2－x1)(x－x1)－(y2－y1)(y－y1)＝0
2．直线＋＝1在y轴上的截距是( )
A．|b| B．－b2
C．b2 D．±b
3．直线＋＝1过一、二、三象限，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
4．(2011－2012·蚌埠高二检测)已知M(3，)，A(1,2)，B(3,1)，则过点M和线段AB的中点的直线方程为( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
5．(2011－2012·邯郸高一检测)下列说法正确的是( )
A.＝k是过点(x1，y1)且斜率为k的直线
B．在x轴和y轴上的截距分别是a、b的直线方程为＋＝1
C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离是b
D．不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式
6．已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
7．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( )
A．－ B．－
C. D．2
8．如果直线l过点(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 003，m)在l上，那么m的值为( )
A．2 008 B．2 007
C．2 006 D．2 005
9．过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
10．已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy( )
A．无最小值且无最大值
B．无最小值但有最大值
C．有最小值但无最大值
D．有最小值且有最大值
二、填空题
11．过点(0,1)和(－2,4)的直线的两点式方程是________．
12．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．
13．直线l过点P(－1,2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为________．
14．若两点A(x1，y1)和B(x2，y2)的坐标分别满足3x1－5y1＋6＝0和3x2－5y2＋6＝0，则经过这两点的直线方程是________．
三、解答题
15．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
16．已知三角形的顶点是A(8,5)、B(4，－2)、C(－6,3)，求经过每两边中点的三条直线的方程．
17．△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)分别求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；
(3)求AC边的中垂线所在直线的方程；
(4)求AC边上的高所在直线的方程；
(5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程．
18．求分别满足下列条件的直线l的方程：
(1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；
(2)经过两点A(1,0)，B(m,1)；
(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
[分析]欲求直线的方程，关键是根据已知条件选择一种最合适的形式．
详解答案
1[答案] C
2[答案] C
3[答案] C
4[答案] B
5[答案] D
6[答案] A
[解析] 点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3,2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0.
7[答案] A
[解析] 直线方程为＝，
化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－.
8[答案] B
[解析] 由两点式得＝，当x＝1003时，m＝2007.
9[答案] B
[解析] 解法一：设直线方程为y＋3＝k(x－4)(k≠0)．
令y＝0得x＝，令x＝0得y＝－4k－3.
由题意，＝－4k－3，解得k＝－或k＝－1.
因而所求直线有两条，∴应选B.
解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a)，a≠0，则直线方程为＋＝1，把点P(4，－3)的坐标代入方程得a＝1.
∴所求直线有两条，∴应选B.
10[答案] D
[解析] 线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，于是y＝4(1－)(0≤x≤3)，
从而xy＝4x(1－)＝－(x－)2＋3，显然当x＝时，xy取最大值为3；当x＝0或3时，xy取最小值0.
11[答案] ＝(或＝)
12[答案] 3x＋2y－6＝0
[解析] 设直线方程为＋＝1，则
解得a＝2，b＝3，则直线方程为＋＝1，
即3x＋2y－6＝0.
13[答案] 2x－y＋4＝0
[解析] 设A(x,0)，B(0，y)．
由P(－1,2)为AB的中点，
∴ ∴
由截距式得l的方程为
＋＝1，即2x－y＋4＝0.
14[答案] 3x－5y＋6＝0
[解析] 两点确定一条直线，点A、B均满足方程3x－5y＋6＝0.
15[解析] 设直线方程的截距式为＋＝1.
则＋＝1，解得a＝2或a＝1，
则直线方程是＋＝1或＋＝1，
即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
16[解析] 设AB、BC、CA的中点分别为D、E、F，根据中点坐标公式得D(6，)、E(－1，)、F(1,4)．由两点式得DE的直线方程为＝.整理得2x－14y＋9＝0，这就是直线DE的方程．
由两点式得＝，
整理得7x－4y＋9＝0，这就是直线EF的方程．
由两点式得－＝
整理得x＋2y－9＝0
这就是直线DF的方程．
17[解析] (1)由A(0,4)，C(－8,0)可得直线AC的截距式方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0.
由A(0,4)，B(－2,6)可得直线AB的两点式方程为＝，即x＋y－4＝0.
(2)设AC边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x＝－4，y＝2，所以直线BD的两点式方程为＝，即2x－y＋10＝0.
(3)由直线AC的斜率为kAC＝＝，故AC边的中垂线的斜率为k＝－2.又AC的中点D(－4,2)，
所以AC边的中垂线方程为y－2＝－2(x＋4)，
即2x＋y＋6＝0.
(4)AC边上的高线的斜率为－2，且过点B(－2,6)，所以其点斜式方程为y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0.
(5)AB的中点M(－1,5)，AC的中点D(－4,2)，
∴直线DM方程为＝，
即x－y＋6＝0.
18[解析](1)设直线l的方程为y＝x＋b.
令y＝0，得x＝－b，
∴|b·(－b)|＝6，b＝±3.
∴直线l的方程为y＝x±3
(2)当m≠1时，直线l的方程是
＝，即y＝(x－1)
当m＝1时，直线l的方程是x＝1.
(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
当a≠0，b≠0时，l的方程为＋＝1；
∵直线过P(4，－3)，∴－＝1.
又∵|a|＝|b|，
∴解得或
当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，
∴l的方程为y＝－x.
综上所述，直线l的方程为x＋y＝1或＋＝1或y＝x.
[点评]明确直线方程的几种特殊形式的应用条件，如(2)中m的分类，再如(3)中，直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况．
3-2-3同步检测
一、选择题
1．直线3x＋y＋6＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则( )
A．k＝3，b＝6 B．k＝－3，b＝－6
C．k＝－3，b＝6 D．k＝3，b＝－6
2．在x轴与y轴上的截距分别是－2与3的直线方程是( )
A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0
C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0
3．若直线l的一般式方程为2x－y＋1＝0，则直线l不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(2011－2012·云南测试)已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线x＋2y－1＝0平行，则m的值为( )
A．0 B．－8
C．2 D．10
5．直线(3－a)x＋(2a－1)y＋7＝0与直线(2a＋1)x＋(a＋5)y－6＝0互相垂直，则a值是( )
A．－ B. C. D.
6．下列四个命题中的真命题是( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
7．直线l1： ax－y＋b＝0，l2： bx＋y－a＝0(ab≠0)的图像只可能是下图中的( )
8．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l过原点和二、四象限，则( )
A. B.
C. D.
9．如右图所示，直线l：mx＋y－1＝0经过第一、二、三象限，则实数m的取值范围是( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．[1，＋∞)
10．已知点(m，n)在直线5x＋2y－20＝0上，其中m>0，n>0，则lgm＋lgn( )
A．有最大值为2 B．有最小值为2
C．有最大值为1 D．有最小值为1
二、填空题
11．经过点A(－4,7)，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为________．
12．如右图所示，直线l的一般式方程为________．
13．若直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则实数a的值为________．
14．已知直线的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，该直线的方程为________．
三、解答题
15．把直线l的一般式方程2x－3y－6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．
[分析] 求l在x轴上的截距，即求直线l与x轴交点的横坐标．在l的方程中令y＝0，解出x值，即为x轴上的截距，令x＝0，解出y值，即为y轴上的截距．
16．求与直线3x－4y＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程．
17．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定实数m的值．
(1)l在x轴上的截距为－3；
(2)斜率为1.
详解答案
1[答案] B
2[答案] C
[解析] 因为直线在x轴，y轴上的截距分别为－2,3，由直线方程的截距式得直线方程为＋＝1，即3x－2y＋6＝0.
3[答案] D
4[答案] D
[解析] 直线x＋2y－1＝0的斜率为－，则kAB＝＝－解得m＝10.
5[答案] B
[解析] 由(3－a)(2a＋1)＋(2a－1)(a＋5)＝0得a＝.
6[答案] B
[解析] 排除法．A不正确，过点P垂直x轴的方程不能；C不正确，与坐标轴平行的直线的方程不能；D不正确，斜率不存在的直线不能．
7[答案] B
[解析] l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a，在A选项中，由l1的图像知a>0，b<0，判知l2的图像不符合．在B选项中，由l1的图像知a>0，b<0，判知l2的图像符合，在C选项中，由l1知a<0，b>0，∴－b<0，排除C；在D选项中，由l1知a<0，b<0，由l2知a>0，排除D.所以应选B.
8[答案] D
[解析] ∵l过原点，∴C＝0，又l过二、四象限，
∴l的斜率－<0，即AB>0.
9[答案] C
[解析] 直线l的斜率k＝－m，由图知，直线l的倾斜角为锐角，则k>0，∴－m>0，
∴m<0.
10[答案] C
[解析] 由于点(m，n)在直线5x＋2y－20＝0上，
5m＋2n－20＝0，则n＝－m＋10，
所以lgm＋lgn＝lgmn＝lg(－m2＋10m)
＝lg[－(m2－4m)]
＝lg[－(m－2)2＋10]≤lg10＝1.
所以lgm＋lgn有最大值为1.
11[答案] x－y＋11＝0
[解析] 直线的斜率k＝tan45°＝1，则直线的方程可写为y－7＝x＋4，即x－y＋11＝0.
12[答案] 2x＋y＋2＝0
[解析] 由图知，直线l在x轴，y轴上的截距分别为－1，－2，则直线l的截距式方程为＋＝1，即2x＋y＋2＝0.
13[答案] －6
[解析] 把x＝3，y＝0代入方程(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0中得3(a＋2)－2a＝0，a＝－6.
14[答案] x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0
[解析] 设直线的方程为＋＝1，
∵直线的斜率k＝，∴－＝，
又∵|ab|＝3，
∴或
∴所求直线方程为：x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
15[解] 由2x－3y－6＝0得3y＝2x－6，
∴y＝x－2，
即直线l的一般式方程化成斜截式为y＝x－2，斜率为.
在l的方程2x－3y－6＝0中，
令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y＝－2.
即直线l在x轴与y轴上的截距分别是3，－2.
则直线l与x轴，y轴交点分别为A(3,0)，B(0，－2)，过点A，B作直线，就得直线l的图形，如右图所示．
[点评] 已知一般式方程讨论直线的性质：①令x＝0，解得y值，即为直线在y轴上的截距，令y＝0，解得x值，即为直线在x
轴上的截距，从而确定直线与两坐标轴的交点坐标，从而画出图形．当然也可将一般式方程化为截距式来解决；②化为斜截式可讨论斜率与倾斜角，以及在y轴上的截距．
16[解析] 解法1：由题意知：可设l的方程为3x－4y＋m＝0，
则l在x轴、y轴上的截距分别为－，.
由－＋＝1知，m＝－12.
∴直线l的方程为：3x－4y－12＝0.
解法2：设直线方程为＋＝1，
由题意得 解得.
∴直线l的方程为：＋＝1.
即3x－4y－12＝0.
17[解析] (1)令y＝0，依题意得
由①得m≠3且m≠－1；
由②得3m2－4m－15＝0，解得m＝3或m＝－.
综上所述，m＝－
(2)由题意得，
由③得m≠－1且m≠，
解④得m＝－1或， ∴m＝.
3-3-1同步检测
一、选择题
1．直线x－y＝0与x＋y＝0的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．重合 D．垂直
2．直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是( )
A．(－2，－1) B．(－1，－2)
C．(1,2) D．(2,1)
3．直线ax＋3y－5＝0经过点(2,1)，则a的值等于( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
4．直线l的倾斜角为30°，且过点B(0,1)，直线l交x轴于点A，则|OA|、|AB|的值分别为( )
A．1,2 B.，2
C．1， D.，2
5．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1，和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于( )
A．－2 B．－
C．2 D.
6．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点( )
A．(0,0) B．(0,1)
C．(3,1) D．(2,1)
6[答案] C
7．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )
A．(－2，－3) B．(2,1)
C．(2,3) D．(－2，－1)
8．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0
9．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为( )
A．24 B．20
C．0 D．－4
10．设集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则满足C?(A∩B)的集合C的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题
11．过原点和直线l1：x－3y＋4＝0与l2：2x＋y＋5＝0的交点的直线的方程为________．
12．在△ABC中，高线AD与BE的方程分别是x＋5y－3＝0和x＋y－1＝0，AB边所在直线的方程是x＋3y－1＝0，则△ABC的顶点坐标分别是A________；B________；C________.
13．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a＋2)x＋(2a＋3)y＋2＝0不相交，则实数a＝________.
14．已知直线l1：a1x＋b1y＝1和直线l2：a2x＋b2y＝1相交于点P(2,3)，则经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是________．
三、解答题
15．判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
16．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求实数m的取值范围．
[分析] 解方程组得交点坐标，再根据点M在第四象限列出不等式组，解得m的取值范围．
17．直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A、B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程．
18．求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
[分析] 题目所给的直线方程的系数中含有字母m，给定m一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程，要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点．
另一思路是：由于方程对任意的m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标．
详解答案
1[答案] A
[解析] A1B2－A2B1＝×1－1×(－1)＝＋1≠0，
又A1A2＋B1B2＝×1＋(－1)×1＝－1≠0，则这两条直线相交，但不垂直．
2[答案] B
[解析] 解方程组
得即交点坐标是(－1，－2)．
3[答案] B
[解析] 由题意得2a＋3－5＝0，解得a＝1.
4[答案] B
[解析] 由直线l的倾斜角是30°及|OB|＝1知，
|AB|＝2，∴|OA|＝.
5[答案] B
[解析] 由得交点(－1，－2)，
代入x＋ky＝0得k＝－，故选B.
[解析] 方程可化为y－1＝k(x－3)，即直线都通过定点(3,1)．
7[答案] C
[解析] 将A、B、C、D四个选项代入x－y＋1＝0否定A、B，又MN与x＋2y－3＝0垂直，否定D，故选C.
8[答案] B
[解析] 由得交点(－1,4)．
∵所求直线与3x＋y－1＝0垂直，
∴所求直线斜率k＝，∴y－4＝(x＋1)，
即x－3y＋13＝0.
9[答案] B
[解析] ∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，
将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，∴m－n＋p＝20.
10[答案] C
[解析] A∩B＝{(x，y)|}＝{(1,2)}，
则集合C是{(1,2)}的子集．又集合{(1,2)}的子集有?，{(1,2)}共2个，即集合C有2个．
11[答案] 3x＋19y＝0
[解析] 由得交点坐标(－，)，
∴所求方程为y＝－x，即3x＋19y＝0.
12[答案] (－2,1) (1,0) (2,5)
[解析] 高线AD与边AB的交点即为顶点A，高线BE与边AB的交点即为顶点B，顶点C通过垂直关系进行求解．
13[答案] －2或－
[解析] 由题意，得(a＋2)(2a＋3)－(1－a)(a＋2)＝0，解得a＝－2或－.
14[答案] 2x＋3y＝1
[解析] 由题意得P(2,3)在直线l1和l2上，
所以有则点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的坐标是方程2x＋3y＝1的解，
所以经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是2x＋3y＝1.
15[解] (1)解方程组得
所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．
(2)解方程组
①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解．
所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.
(3)解方程组
①×2得2x－2y＋2＝0.
因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，所以直线l1与l2重合．
16[解析] 由得
∴交点M的坐标为(，)．
∵交点M在第四象限，
∴解得－117[解析] 解法1：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(－x0，2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，
∴?
∴kAP＝＝－
故所求直线l的方程为：y＝－x＋1，
即x＋4y－4＝0.
解法2：设所求直线l方程为：
y＝kx＋1，l与l1、l2分别交于M、N.
解方程组?N(，)
解方程组?M(，)
∵M、N的中点为P(0,1)则有：
(＋)＝0?∴k＝－.
故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
解法3：设所求直线l与l1、l2分别交于M(x1，y1)、N(x2，y2)，P(0,1)为MN的中点，则有：
?
代入l2的方程，得：
2(－x1)＋2－y1－8＝0即2x1＋y1＋6＝0.
解方程组?M(－4,2)．
由两点式：所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
解法4：同解法1，设A(x0，y0)，
，两式相减得x0＋4y0－4＝0，(1)
考察直线x＋4y－4＝0，一方面由(1)知A(x0，y0)在该直线上；另一方面，P(0,1)也在该直线上，从而直线x＋4y－4＝0过点P、A.根据两点决定一条直线知，所求直线l的方程为：x＋4y－4＝0.
18[解析] 证法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，
令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.
解方程组得两直线的交点为(2，－3)．
将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得
(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.
这表明不论m取什么实数，所给直线都经过定点(2，－3)．
证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.
因为m可以取任意实数，所以有解得
所以不论m取什么实数所给的直线都经过定点(2，－3)．
[点评] (1)分别令参数取两个特殊值得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为定点．
(2)直线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从
而求出定点．
3-3-2同步检测
一、选择题
1．已知点A(a,0)，B(b,0)，则A，B两点间的距离为( )
A．a－b B．b－a
C. D．|a－b|
2．在直线2x－3y＋5＝0上求点P，使P点到A(2,3)距离为，则P点坐标是( )
A．(5,5) B．(－1,1)
C．(5,5)或(－1,1) D．(5,5)或(1，－1)
3．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标是( )
A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－3)或(2,7)
C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5)
4．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是( )
A．－ B．－
C. D.
5．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A、B，则|AB|等于( )
A. B.
C. D.
6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )
A．5 B．4
C．2 D．2
7．已知A(1,2)，B(5，－2)，在x轴上有一点P(x,0)满足|PA|＝|PB|，在y轴上有一点Q(0，y)，它在线段AB的垂直平分线上，则(x，y)为( )
A．(3，－3) B．(3,3)
C．(－3,3) D．(－3，－3)
8．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )
A. B.
C. D.
9．已知三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
10．甲船在某港口的东50km，北30km处，乙船在同一港口的东14km，南18km处，那么甲、乙两船的距离是( )
A．12km B．16km
C．60km D．80km
二、填空题
11．已知点M(m，－1)，N(5，m)，且|MN|＝2，则实数m＝________.
12．已知A(1，－1)，B(a,3)，C(4,5)，且|AB|＝|BC|，则a＝________.
13．已知点A(4,12)，在x轴上的点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为________．
14．已知点E(1，－2)，F(2,5)，P(a，b)，且|PE|＝|PF|，则实数a，b满足的条件是________．
三、解答题
15．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，
(1)求BC边上的中线AM的长；
(2)证明△ABC为等腰直角三角形．
16．求证等腰梯形的对角线相等．
17．已知直线l1：2x＋y－6＝0和A(1，－1)，过点A作直线l2与已知直线交于点B且|AB|＝5，求直线l2的方程．
18．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长．
[分析] 建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．
详解答案
1[答案] D
[解析] 代入两点间距离公式．
2[答案] C
[解析] 设点P(x，y)，则y＝，
由|PA|＝得(x－2)2＋(－3)2＝13，
即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5，
当x＝－1时，y＝1，
当x＝5时，y＝5，∴P(－1,1)或(5,5)．
3[答案] A
[解析] ∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.
4[答案] C
[解析] |AB|＝＝＝，∴当a＝时，|AB|取最小值．
5[答案] C
[解析] 易得A(0，－2)，B(－1，)．
6[答案] C
[解析] 设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝＝＝2.
7[答案] A
[解析] (1)在x轴上取点P(x,0)，使|AP|＝|BP|，
则＝，
解得x＝3.
(2)在y轴上取点Q(0，y)，使|AQ|＝|BQ|，
则＝，
解得y＝－3，故选A.
8[答案] A
[解析] AB的中点D的坐标为D(－1，－1)．
∴|CD|＝＝；
故选A.
9[答案] C
[解析] |AB|＝＝3，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∴|AC|＝|BC|≠|AB|，
且|AB|2≠|AC|2＋|BC|2.
∴△ABC是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形．
10[答案] C
[解析] 设某港口为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，甲、乙两船的坐标分别为(50,30)，(14，－18)，
∴甲、乙两船间的距离为
＝60(公里)．
11[答案] 1或3
[解析] 由题意得＝2，解得m＝1或m＝3.
12[答案]
[解析] ＝
，
解得a＝.
13[答案] (9,0)或(－1,0)
[解析] 设P(a,0)，则＝13，
解得a＝9或a＝－1，∴点P的坐标为(9,0)或(－1,0)．
14[答案] a＋7b－12＝0
[解析] 由题意，得＝.整理得a＋7b－12＝0.
15[解析] (1)设点M的坐标为(x，y)，
∵点M为BC边的中点，∴即M(2,2)，
由两点间的距离公式得：
|AM|＝＝.
∴BC边上的中线AM长为.
(2)由两点间的距离公式得
|AB|＝＝2，
|BC|＝＝2，
|AC|＝＝2，
∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC为等腰直角三角形．
16[解析] 已知：等腰梯形ABCD.
求证：AC＝BD.
证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．
设A(－a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a,0)，C(－b，c)．
则|AC|＝＝，
|BD|＝＝，
∴|AC|＝|BD|.
即：等腰梯形的对角线相等．
17[解析] 当直线l2的斜率存在时，设其为k，则
?(k＋2)x＝k＋7，
而k≠－2，故解得x＝，所以B(，)，
又由|AB|＝5，利用两点间距离公式得
＝5?k＝－，
此时l2的方程为3x＋4y＋1＝0.
而当l2的斜率不存在时，l2的方程为x＝1.
此时点B坐标为(1,4)，则|AB|＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l2的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
18[解析] 以B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
因为AD＝5 m，AB＝3 m，
所以C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．
设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，
所以kAC·kDM＝－1，
即·＝－1.
所以x＝3.2，即BM＝3.2，
即点M的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC与DM相互垂直．
故在BC上存在一点M(3.2,0)满足题意．
由两点间距离公式得DM＝＝.
[点评] 建立直角坐标系的原则：
(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系；
(2)若已知两定点，常以两点的中点(或一个定点)为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；
(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系；
(4)若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以定点到定直线垂线段的反向延长线为x轴建立直角坐标系；
(5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线为x轴建立直角坐标系．
3-3-3、4同步检测
一、选择题
1．点(0,5)到直线y＝2x的距离是( )
A. B.
C. D.
2．直线－＝1与y＝x＋1之间的距离为( )
A. B.
C. D．24
3．已知点A(3,4)，B(6，m)到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m等于( )
A. B．－
C．1 D.或－
4．点P为x轴上一点，点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为( )
A．(8,0) B．(－12,0)
C．(8,0)或(－12,0) D．(0,0)
5．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0
6．已知直线l过点(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( )
A．2x＋3y－18＝0
B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0
D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
7．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B.
C. D.
8．与一对平行线5x－2y－6＝0,10x－4y＋3＝0等距离的点的轨迹方程是( )
A．20x－8y－9＝0 B．10x－4y－5＝0
C．5x－2y－3＝0 D．15x－6y－11＝0
9．P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C．3 D．6
10．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是( )
A．8 B．2 C. D．16
二、填空题
11．已知点A(0,4)，B(2,5)，C(－2,1)，则BC边上的高等于________．
12．两平行线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________.
13．直线l1：2x＋4y＋1＝0与直线l2：2x＋4y＋3＝0平行，点P是平面直角坐标系内任一点，P到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最小值是________．
14．两条平行线分别经过点(1,0)和(0,5)，且两条直线的距离为5，它们的方程是____________．
三、解答题
15．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，其一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其它三边的方程．
16．在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．
17．求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程．
[分析] 解答本题可先设出过点P的点斜式方程，注意斜率不存在的情况，要分情况讨论，然后再利用已知条件求出斜率，进而写出直线方程．另外，本题也可利用平面几何知识，先判断直线l与直线AB的位置关系，再求l方程．事实上，l∥AB或l过AB中点时，都满足题目的要求．
详解答案
1[答案] B
[解析] 由y＝2x得：2x－y＝0，∴由点到直线的距离公式得：d＝＝，故选B.
2[答案] B
[解析] 两直线方程可化为：3x－2y－12＝0，
3x－2y＋2＝0，则距离d＝＝.
3[答案] D
[解析] 由题意得＝，
解得m＝或m＝－.
4[答案] C
[解析] 设P(a,0)，则＝6，
解得a＝8或a＝－12，
∴点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．
5[答案] A
[解析] 由已知得，所求直线过(1,2)且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线，
∴所求直线的斜率k＝－，
∴y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
6[答案] D
[解析] 设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.
由已知有＝，所以k＝2或k＝－，
所以直线方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
7[答案] D
[解析] ∵两直线平行，∴＝，∴m＝4，
∴两平行直线6x＋4y－6＝0和6x＋4y＋1＝0的距离
d＝＝.
8[答案] A
[解析] 5x－2y－6＝0即10x－4y－12＝0
＝
∴所求直线方程为20x－8y－9＝0.故选A.
9[答案] C
[解析] |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.
10[答案] A
[解析] x2＋y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，
∵原点到直线x＋y－4＝0的距离为＝2，
∴x2＋y2最小值为8.故选A.
11[答案]
[解析] 直线BC：x－y＋3＝0，
则点A到直线BC的距离d＝＝，
即BC边上的高等于.
12[答案] 10
[解析] ∵两直线平行，∴＝，∴a＝8，
∴两直线3x＋4y＋5＝0与3x＋4y＋15＝0的距离为d，
∴d＝＝2，∴a＋d＝10.
13[答案]
[解析] l1与l2的距离d＝＝，
则d1＋d2≥d＝，
即d1＋d2的最小值是.
14[答案] y＝5和y＝0或者5x－12y＋60＝0和5x－12y－5＝0.
[解析] 设l1：y＝kx＋5，l2：x＝my＋1，在l1上取点A(0,5)．
由题意A到l2距离为5，
∴＝5，解得m＝，
∴l2：5x－12y－5＝0.
在l2上取点B(1,0)．则B到l1的距离为5，
∴＝5，
∴k＝0或k＝，
∴l1：y＝5或5x－12y＋60＝0，
结合l2斜率不存在的情况知两直线方程分别为：
l1：y＝5，l2：y＝0；
或l1：5x－12y＋60＝0，l2：5x－12y－5＝0.
15[解析] 由解得
即该正方形的中心为(－1,0)．
所求正方形相邻两边方程3x－y＋p＝0和x＋3y＋q＝0.
∵中心(－1,0)到四边距离相等，
∴＝，＝，
解得p1＝－3，p2＝9和q1＝－5，q2＝7，
∴所求方程为3x－y－3＝0,3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0.
16[解析] 由题知|AB|＝＝5，
∵S△ABC＝|AB|·h＝10，∴h＝4.
设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y－2＝－(x－3)，即3x＋4y－17＝0.
∴
解得或
∴点C的坐标为(－1,0)或(，8)．
17[解析] 方法一：当直线斜率不存在时，即x＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，即直线方程为y－2＝k(x－1)，
由条件得＝，解得k＝4，
故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.
方法二：由平面几何知识知l∥AB或l过AB中点．
∵kAB＝4，
若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0.
若l过AB中点(1，－1)，则直线方程为x＝1，
∴所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.
[点评] 针对这个类型的题目常用的方法是待定系数法，即先根据题意设出所求方程，然后求出方程中有关的参量．有时也可利用平面几何知识先判断直线l的特征，然后由已知直接求出直线l的方程．
第三章综合检测题
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．若直线过点(1,2)，(4,2＋)则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．若三点A(3,1)，B(－2, b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于( )
A．2 B．3 C．9 D．－9
3．过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是( )
A．y＋2＝(x＋1) B．y－2＝(x－1)
C.x－3y＋6－＝0 D.x－y＋2－＝0
4．直线3x－2y＋5＝0与直线x＋3y＋10＝0的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．重合 D．异面
5．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( )
A．(－2,1) B．(2,1)
C．(1，－2) D．(1,2)
6．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0通过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
7．点P(2,5)到直线y＝－x的距离d等于( )
A．0 B.
C. D.
8．与直线y＝－2x＋3平行，且与直线y＝3x＋4交于x轴上的同一点的直线方程是( )
A．y＝－2x＋4 B．y＝x＋4
C．y＝－2x－ D．y＝x－
9．两条直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
10．已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x－y＋2＝0，直角顶点是C(3，－2)，则两条直角边AC，BC的方程是( )
A．3x－y＋5＝0，x＋2y－7＝0
B．2x＋y－4＝0，x－2y－7＝0
C．2x－y＋4＝0,2x＋y－7＝0
D．3x－2y－2＝0,2x－y＋2＝0
11．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤
C．－≤k≤4 D．以上都不对
12．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知点A(－1,2)，B(－4,6)，则|AB|等于________．
14．平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：3x－3y＋1＝0的距离等于________．
15．若直线l经过点P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为________或________．
16．(2009·高考全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求经过点A(－2,3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．
18．(12分)(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
19．(本小题满分12分)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线MN的方程．
20．(本小题满分12分)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0和l2： x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被P点平分，求此直线方程．
21．(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点A(4，－6)，B(－4,0)，C(－1,4)，求
(1)AC边上的高BD所在直线方程；
(2)BC边的垂直平分线EF所在直线方程；
(3)AB边的中线的方程．
22．(本小题满分12分)当m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.
(1)倾斜角为45°；
(2)在x轴上的截距为1.
详解答案
1[答案] A
[解析] 斜率k＝＝，∴倾斜角为30°.
[解析] 由条件知kBC＝kAC，
∴＝，∴b＝－9.
2[答案] D
3[答案] C
[解析] 由直线方程的点斜式得y－2＝tan30°(x－1)，
整理得x－3y＋6－＝0.
4[答案] A
[解析] ∵A1B2－A2B1＝3×3－1×(－2)＝11≠0，
∴这两条直线相交．
5[答案] A
[解析] 直线变形为m(x＋2)－(y－1)＝0，故无论m取何值，点(－2,1)都在此直线上，∴选A.
6[答案] A
[解析] ∵ab<0，bc<0，∴a，b，c均不为零，在直线方程ax＋by＋c＝0中，令x＝0得，y＝－>0，令y＝0得x＝－，∵ab<0，bc<0，∴ab2c>0，∴ac>0，∴－<0，∴直线通过第一、二、三象限，故选A.
7[答案] B
[解析] 直线方程y＝－x化为一般式x＋y＝0，
则d＝.
8[答案] C
[解析] 直线y＝－2x＋3的斜率为－2，则所求直线斜率k＝－2，直线方程y＝3x＋4中，令y＝0，则x＝－，即所求直线与x轴交点坐标为(－，0)．故所求直线方程为y＝－2(x＋)，即y＝－2x－.
9[答案] D
[解析] ∵两直线互相垂直，∴a·(a＋2)＝－1，
∴a2＋2a＋1＝0，∴a＝－1.
10[答案] B
[解析] ∵两条直角边互相垂直，
∴其斜率k1，k2应满足k1k2＝－1，排除A、C、D，故选B.
11[答案] A
[解析] kPA＝－4，kPB＝，画图观察可知k≥或k≤－4.
12[答案] B
[解析] 由平面几何知，与A距离为1的点的轨迹是以A为圆心，以1为半径的⊙A，与B距离为2的点的轨迹是半径为2的⊙B，显然⊙A和⊙B相交，符合条件的直线为它们的公切线有2条．
13[答案] 5
[解析] |AB|＝＝5.
14[答案]
[解析] 直线l2的方程可化为x－y＋＝0，
则d＝＝.
15[答案] x＋y－5＝0 x－y＋1＝0
[解析] 设直线l的方程为＋＝1，则解得a＝5，b＝5或a＝－1，b＝1，即直线l的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－5＝0或x－y＋1＝0.
16[答案] ①⑤
[解析] 两平行线间的距离为
d＝＝，
由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，
所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.
[点评] 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变．
17[解析] 过AB两点的直线方程是＝.
点斜式为：y＋1＝－(x－4)
斜截式为：y＝－x＋
截距式为：＋＝1.
18[解析] (1)直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2，因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得：a＝－1.所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)直线l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4，因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，解得a＝.所以当a＝时，直线l1：y
＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
19[解析] (1)设C(x，y)，由AC的中点M在y轴上得，＝0，解得x＝－5.
由BC中点N在x轴上，得＝0，
∴y＝－3，∴C(－5，－3)
(2)由A、C两点坐标得M(0，－)．
由B、C两点坐标得N(1,0)．
∴直线MN的方程为x＋＝1.即5x－2y－5＝0.
20[解析] 设点A的坐标为(x1，y1)，因为点P是AB中点，则点B坐标为(6－x1，－y1)，因为点A、B分别在直线l1和l2上，有
解得
由两点式求得直线方程为8x－y－24＝0.
21[解析] (1)直线AC的斜率kAC＝＝－2
即：7x＋y＋3＝0(－1≤x≤0)．
∴直线BD的斜率kBD＝，
∴直线BD的方程为y＝(x＋4)，即x－2y＋4＝0
(2)直线BC的斜率kBC＝＝
∴EF的斜率kEF＝－
线段BC的中点坐标为(－，2)
∴EF的方程为y－2＝－(x＋)
即6x＋8y－1＝0.
(3)AB的中点M(0，－3)，
∴直线CM的方程为：＝，
22[解析] (1)倾斜角为45°，则斜率为1.
∴－＝1，解得m＝－1，m＝1(舍去)
直线方程为2x－2y－5＝0符合题意，∴m＝－1
(2)当y＝0时，x＝＝1，
解得m＝－，或m＝2
当m＝－，m＝2时都符合题意，
∴m＝－或2.
