4-1-1同步检测
一、选择题
1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
2．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为( )
A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2
C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2
3．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的图形是( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
4．圆C：(x－)2＋(y＋)2＝4的面积等于( )
A．π B．2π
C．4π D．8π
5．(2011～2012·安徽“江南十校”高三联考)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
6．已知A(－4，－5)、B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29
B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116
D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
7．与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝18 B．(x－1)2＋y2＝9
C．(x－1)2＋y2＝6 D．(x－1)2＋y2＝3
8．圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，点P(x0，y0)在圆C内部，且d＝(x0－1)2＋(y0＋2)2，则有( )
A．d>2 B．d<2
C．d>4 D．d<4
9．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是( )
A. B.
C．1 D.
10．方程y＝表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
二、填空题
11．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m上，则实数m＝________.
12．圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离等于________．
13．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是________．
14．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为__________．
三、解答题
15．求过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心C在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．
16．圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，求
(1)周长最小的圆的方程；
(2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
17．(2011～2012·台州高一检测)已知圆N的标准方程为
(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
详解答案
1[答案] C
2[答案] D
3[答案] C
4[答案] C
[解析] 半径r＝＝2，则面积S＝πr2＝4π.
5[答案] D
[解析] 圆心C(3,0)，kPC＝－，又点P是弦MN的中点，∴PC⊥MN，∴kMNkPC＝－1，
∴kMN＝2，∴弦MN所在直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
6[答案] B
[解析] 圆心为AB的中点(1，－3)，半径为＝＝，故选B.
7[答案] A
[解析] 已知圆半径R＝6，设所求圆的半径为r.
则＝，∴r2＝18，又圆心坐标为(1,0)，故选A.
8[答案] D
[解析] ∵点P在圆C内部，∴(x0－1)2＋(y0＋2)2<4，即d<4.
9[答案] A
[解析] 先求得圆心坐标(1,0)，再依据点到直线的距离公式求得A答案．
10[答案] D
[解析] 方程y＝可化为x2＋y2＝9(y≥0)，
所以方程y＝表示圆x2＋y2＝9位于x轴上方的部分，是半个圆．
11[答案] 4
[解析] 由题意，得1＋3＝m，所以m＝4.
12[答案]
[解析] C(－4,3)，则d＝＝.
13[答案] (x－2)2＋(y＋1)2＝1
[解析] 圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
14[答案] x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20
[解析] 令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2，
∴直线与两轴交点坐标为A(0,4)和B(2,0)，以A为圆心过B的圆方程为x2＋(y－4)2＝20，
以B为圆心过A的圆方程为(x－2)2＋y2＝20.
15[解析] AB的中垂线方程是x－y＝0，解方程组得即圆心C(1,1)，则半径r＝|AC|＝2，所以圆的标准方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4.
16[解析] (1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，半径r＝|AB|＝.则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10.
(2)解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x.即x－3y＋3＝0
由 得
即圆心坐标是C(3,2)．
r＝|AC|＝＝2.
∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法2：待定系数法
设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则?
∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.
[点评] ∵圆心在直线2x－y－4＝0上，故可设圆心坐标为C(x0,2x0－4)，∵A，B在圆上，∴|CA|＝|CB|可求x0，即可求得圆的方程，自己再用此思路解答一下．
17[解析] (1)因为点M在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又由a>0，可得a＝；
(2)由两点间距离公式可得
|PN|＝＝，
|QN|＝＝3，
因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P、Q两点一个在圆内、另一个在圆外，由于3<，所以3
4-1-2同步检测
一、选择题
1．方程x2＋y2＝a2(a∈R)表示的图形是( )
A．表示点(0,0)
B．表示圆
C．当a＝0时，表示点(0,0)；当a≠0时表示圆
D．不表示任何图形
2．若方程x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B.
C．(1，＋∞)∪ D．R
3．过三点A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)的圆的方程是( )
A．x2＋y2＋4x－2y－20＝0
B．x2＋y2－4x＋2y－20＝0
C．x2＋y2－4x－2y－20＝0
D．x2＋y2＋4x＋4y－20＝0
4．(08·广东文)经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
5．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D、E、F的值分别为( )
A．4，－6,3 B．－4,6,3
C．－4,6，－3 D．4，－6，－3
6．与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过(1，－1)的圆的方程是( )
A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0
B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0
D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0
7．过原点且在x轴、y轴上的截距分别为p、q(p，q≠0)的圆的方程是( )
A．x2＋y2－px－qy＝0
B．x2＋y2＋px－qy＝0
C．x2＋y2－px＋qy＝0
D．x2＋y2＋px＋qy＝0
8．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有( )
A．D＝E B．D＝F
C．F＝E D．D＝E＝F
9．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
10．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
A. B．5
C．2 D．10
所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.
二、填空题
11．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为________．
12．圆x2＋2x＋y2＝0关于y轴对称的圆的一般方程是________．
13．已知点A(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则m的取值范围是________．
14．(08·重庆文)已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
三、解答题
15．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．
[分析] 本题可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．
16．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．
[分析] 根据圆心、半径满足的条件列出关系式，从而求出参数D与E的值．
17．自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①点A(4,0)是定圆外一点；
②过A的直线交圆于B，C两点．
解答本题可先设出动点P的坐标(x，y)，然后由圆的几何性质知OP⊥BC，再利用kOP·kAP＝－1，求出P(x，y)满足的方程．也可由圆的几何性质直接得出动点P与定点M(2,0)的距离恒等于定长2，然后由圆的定义直接写出P点的轨迹方程．
18．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．
详解答案
1[答案] C
2[答案] C
[解析] D2＋E2－4F＝(λ－1)2＋4λ2－4λ>0
解不等式得λ<或λ>1，故选C.
3[答案] C
[解析] 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
分别代入(－1,5)，(5,5)(6，－2)得
，解得故选C.
4[答案] C
[解析] ∵所求直线过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C(－1，0)，且斜率为1，
∴所求直线方程为x－y＋1＝0.
5[答案] D
[解析] 圆心为(－，－)，∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6，
又R＝代入算得F＝－3.
6[答案] B
[解析] 圆心为(2，－3)，半径R＝＝.
7[答案] A
[解析] 将(0,0)、(p,0)、(0，q)代入验证即可．
8[答案] A
[解析] 圆心(－，－)在直线y＝x上，所以D＝E，故选A.
9[答案] C
[解析] 令a＝0，a＝1，得方程组
解得所以定点C的坐标为(－1,2)．
则圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
10[答案] B
[解析] 由题意，得直线l过圆心M(－2，－1)，
则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，
所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＋5a2＋5≥5，
11[答案] x2＋y2＋6x－8y－48＝0
[解析] 只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．
12[答案] x2＋y2－2x＝0
[解析] 已知圆的圆心为C(－1,0)，半径r＝1，点C关于y轴的对称点为C′(1,0)，则已知圆关于y轴对称的圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
13[答案] (－∞，－13)
[解析] 由题知
解得m<－13.
14[答案] －2
[解析] 由题意可知直线l：x－y＋2＝0过圆心，
∴－1＋＋2＝0，∴a＝－2.
15[解析] 解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，
可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，D2＋E2－4F＝0，它表示一个点，当m≠2时，D2＋E2－4F>0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|.
解法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点，
当m≠2时，原方程表示圆的方程．
此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|.
[点评] (1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．
(2)在书写本题结果时，易出现r＝(m－2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．
16[解析] 圆心C(－，－)，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－－1＝0，即D＋E＝－2， ①
又r＝＝，
∴D2＋E2＝20， ②
由①②可得或
又圆心在第二象限，∴－<0即D>0，
∴
∴圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
[点评] 在求解过程中，要注意圆心在第二象限这一限定条件，避免增解．
17[解析] 方法一：(直接法)
设P(x，y)，连接OP，则OP⊥BC，
当x≠0时，kOP·kAP＝－1，即·＝－1，
即x2＋y2－4x＝0. ①
当x＝0时，P点坐标(0,0)是方程①的解，
∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内的部分)．
方法二：(定义法)
由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2，
由圆的定义知，P的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内的部分)．
[点评] 针对这个类型的题目，常用的方法有(1)直接法，(2)定义法，(3)代入法，其中直接法是求曲线方程最重要的方法，它可分五个步骤：①建系，②找出动点M满足的条件，③用坐标表示此条件，④化简，⑤验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可．
18[解析] 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，
代入圆的一般方程，得
设圆在x轴上的截距为x1、x2，它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，得x1＋x2＝－D.设圆在y轴上的截距为y1、y2，它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，得y1＋y2＝－E.由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0. ③
由①②③联立解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
[点评] 在涉及圆的方程中，若已知圆心和半径之一，设标准方程较方便；若已知圆过定点，则设一般方程较方便．
4-2-1同步检测
一、选择题
1．直线x－y－4＝0与圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相交且过圆心 D．相离
2．(2012·安徽卷)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
3．圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是( )
A．10 B．10或－68
C．5或－34 D．－68
4．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A．(－，) B．[－，]
C. D.
5．已知直线ax－by＋c＝0(ax≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形( )
A．是锐角三角形 B．是直角三角形
C．是钝角三角形 D．不存在
6．过点P(2,3)引圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的切线，其方程是( )
A．x＝2
B．12x－5y＋9＝0
C．5x－12y＋26＝0
D．x＝2和12x－5y－9＝0
7．点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为( )
A．9 B．8
C．5 D．2
8．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是( )
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．3x－y－1＝0 D．3x＋y－5＝0
9．已知直线x＋7y＝10把圆x2＋y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于( )
A. B.
C．π D．2π
10．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是( )
A．3C．r>4 D．r>5
二、填空题
11．已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝________.
12．(2011～2012·北京朝阳一模)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为________．
13．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是________．
14．(2012·江西卷)过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
三、解答题
15．已知直线l：y＝2x－2，圆C：x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0，请判断直线l与圆C的位置关系，若相交，则求直线l被圆C所截的线段长．
16．已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程．
17．在直线x－y＋2＝0上求一点P，使P到圆x2＋y2＝1的切线长最短，并求出此时切线的长．
18．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
详解答案
1[答案] D
[解析] 圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，
则圆心到直线的距离d＝＝2>2，
∴直线与圆相离．
2[答案] C
[解析] 圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d
则d≤r＝?≤?|a＋1|≤2?－3≤a≤1.
3[答案] B
[解析] 由题意得圆心C(1，－2)，半径r＝5，圆心C到直线5x－12y＋c＝0的距离d＝，又r2＝d2＋42，
所以25＝＋16，解得c＝10或－68.
4[答案] D
[解析] 解法1：如图，BC＝1，AC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴－≤k≤.
解法2：设直线l方程为y＝k(x－4)，则由题意知，
≤1，∴－≤k≤.
解法3：过A(4,0)的直线l可设为x＝my＋4，代入(x－2)2＋y2＝1中得：
(m2＋1)y2＋4my＋3＝0，
由Δ＝16m2－12(m2＋1)＝4m2－12≥0得
m≤－或m≥.
∴l的斜率k＝∈∪，特别地，当k＝0时，显然有公共点，
∴k∈.
5[答案] B
[解析] 圆心O(0,0)到直线的距离d＝＝1，
则a2＋b2＝c2，即该三角形是直角三角形．
6[答案] D
[解析] 点P在圆外，故过P必有两条切线，
∴选D.
7[答案] D
[解析] 由圆心到直线的距离d＝＝5>3知直线与圆相离，故最短距离为d－r＝5－3＝2，故选D.
8[答案] A
[解析] x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为(1，－2)，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，－2)
∴直线方程为3x－y－5＝0，故选A.
9[答案] D
[解析] 圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2，设直线x＋7y＝10与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，则圆心O到直线x＋7y＝10的距离d＝＝，过点O作OP⊥MN于P，则|MN|＝2＝2.在△MNO中，|MN|2＋|ON|2＝2r2＝8＝|MN|2，则∠MON＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于
＝2π.
10[答案] B
[解析] 圆心C(3，－5)，半径为r，圆心C到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝5，由于圆C上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则d－111[答案] 8或－18
[解析] 由题意，得圆心C(1,0)，半径r＝1，则＝1，解得m＝8或－18.
12[答案] 2
[解析] 直线方程是y＝x，即x－y＝0，圆心C(2,0)，半径r＝2，则圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝，所以所截得的弦长为2＝2＝2.
13[答案] x－y－3＝0
[解析] 圆心C(1,0)，半径r＝5，由于PC⊥AB，
又kPC＝＝－1，所以直线AB的斜率k＝1，
所以直线AB的方程是y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.
14[答案] (，)
[解析] 本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°，由|PO|＝2，由可得
15[解析] 圆心C为(－1，－2)，半径r＝2.
圆心C到直线l的距离d＝<2，
所以直线l与圆C相交．
设交点为A，B，所以＝＝.
所以|AB|＝.
所以直线l被圆C所截的线段长为.
16[解析] 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
∵圆心在直线2x＋y＝0上，
∴b＝－2a，即圆心为C(a，－2a)．
又∵圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，
∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，
即(3a－1)2＝2[(2－a)2＋(－1＋2a)2]，解得a＝1或
a＝9，∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝13.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.
17[解析] 设P(x0，y0)，则切线长
S＝＝
＝，当x0＝－时，Smin＝
此时P(－，)．切线长最短为.
18[解析] 设点P、Q的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．
由OP⊥OQ，得kOPkOQ＝－1，即·＝－1，x1x2＋y1y2＝0.①
又(x1，y1)、(x2，y2)是方程组
的实数解，即x1，x2是方程5x2＋10x＋4m－27＝0②的两个根，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝.③
∵P、Q是在直线x＋2y－3＝0上，
∴y1y2＝(3－x1)·(3－x2)
＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．
将③代入，得y1y2＝.④
将③④代入①，解得m＝3.代入方程②，检验Δ>0成立，
∴m＝3.
4-2-2同步检测
一、选择题
1．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16的位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．内切 D．外切
2．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为( )
A．相交 B．外切
C．内切 D．外离
3．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( )
A．(x－3)2＋(y－5)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25
C．(x－1)2＋(y－4)2＝25
D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25
5．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
6．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是( )
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
7．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则R＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
8．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
9．(2011～2012·湖南长沙模拟)若圆(x－a)2＋(y－a)2＝4上，总存在不同的两点到原点的距离等于1，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D.
10．已知A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－5)2＋(y－5)2＝4}，则A∩B等于( )
A．? B．{(0,0)}
C．{(5,5)} D．{(0,0)，(5,5)}
二、填空题
11．圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦所在的直线方程是________．
12．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．
13．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
14．已知点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
三、解答题
15．已知圆O：x2＋y2＝25和圆C：x2＋y2－4x－2y－20＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．
16．求和圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程．
[分析] 分内切和外切两种情况讨论．
17．一动圆与圆C1：x2＋y2＋6x＋8＝0外切，与圆C2：x2＋y2－6x＋8＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程．
18．(09·江苏文)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4
(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
详解答案
1[答案] D
[解析] 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r＝1，圆C2的圆心为C2(3,4)，半径R＝4，则|C1C2|＝5＝R＋r，
所以两圆外切．
2[答案] C
[解析] 由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，∴d＝|r1－r2|.∴两圆内切．
3[答案] A
[解析] 直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此线段AB的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，故选A.
[点评] 两圆相交时，公共弦的垂直平分线过两圆的圆心，故连心线所在直线就是弦AB的垂直平分线．
4[答案] B
[解析] 设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.
5[答案] C
[解析] r1＝2，r2＝3，d＝5，由于d＝r1＋r2所以两圆外切，故公切线有3条，选C.
6[答案] B
[解析] 利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.
7[答案] C
[解析] 设一个交点P(x0，y0)，则x＋y＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，
∵两切线互相垂直，
∴·＝－1，∴3y0－4x0＝－16.
∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.
8[答案] C
[解析] 两圆的圆心分别为C1(2，－3)，C2(3,0)，由圆的性质知，两圆公共弦AB的垂直平分线方程要过两圆的圆心，由两点式可得所要求的直线方程为＝，即3x－y－9＝0.
9[答案] C
[解析] 圆(x－a)2＋(y－a)2＝4的圆心C(a，a)，半径r＝2，到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆，这个圆的圆心是原点O，半径R＝1，则这两个圆相交，圆心距d＝＝|a|，则|r－R|所以－10[答案] A
[解析] 集合A是圆O：x2＋y2＝1上所有点组成的，集合B是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝4上所有点组成的．
又O(0,0)，r1＝1，C(5,5)，r2＝2，|OC|＝5，
∴|OC|>r1＋r2＝3，
∴圆O和圆C外离，无公共点，∴A∩B＝?.
11[答案] 4x＋3y－2＝0
[解析] 两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x＋3y－2＝0.
12[答案] 外切
[解析] ∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，
∴a2＋b2＝4.
又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，
圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，
则d＝|C1C2|＝＝＝2，
∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．
13[答案] (x－2)2＋(y－2)2＝2
[解析] 已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y－2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
14[答案] 3－5
[解析] 两圆的圆心和半径分别为C1(4,2)，r1＝3，C2(－2，－1)，r2＝2，
∴d＝|C1C2|＝>r1＋r2＝5.∴两圆外离．
∴|PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝3－3－2＝3－5.
15[解析] 两圆方程相减得弦AB所在的直线方程为4x＋2y－5＝0.
圆x2＋y2＝25的圆心到直线AB的距离d＝＝，
∴公共弦AB的长为|AB|＝2＝2＝.
16[解析] 设所求圆的圆心为P(a，b)，
∴＝1. ①
(1)若两圆外切，则有＝1＋2＝3. ②
由①②，解得a＝5，b＝－1.
所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.
(2)若两圆内切，则有＝2－1＝1. ③
由①③，解得a＝3，b＝－1.
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上，可知所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
17[解析] 圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，所以圆心(－3,0)，半径r1＝1；圆C2：(x－3)2＋y2＝1，所以圆心(3,0)，半径r2＝1.
设动圆圆心为(x，y)，半径为1，由题意得：
＝r＋1，＝r－1，
所以－＝2，
化简整理，得8x2－y2＝8(x>0)．
所以，动圆圆心的轨迹方程是8x2－y2＝8(x>0)．
18[解析] (1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心C1(－3,1)到直线l的距离为d＝，
因为直线l被圆C1截得的弦长为2，
∴4＝()2＋d2，∴k(24k＋7)＝0，
即k＝0或k＝－，
所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0
(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)，因为C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，
即＝
整理得：|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，
∴1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk
或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，
即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5.
因为k的取值有无穷多个，所以
，或，
解得或
这样点P只可能是点P1或点P2.
经检验点P1和P2满足题目条件．
4-2-3同步检测
一、选择题
1．一辆卡车宽1.6m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )
A．1.4m B．3.5m
C．3.6m D．2.0m
2．将直线x＋y＝1绕点(1,0)逆时针旋转90°后与圆x2＋(y－1)2＝r2(r>0)相切，则r的值是( )
A. B.
C. D．1
3．与圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．直线2x－y＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9交于A、B两点，则△ABC(C为圆心)的面积等于( )
A．2 B．2
C．4 D．4
5．圆(x－4)2＋(y－4)2＝4与直线y＝kx的交点为P、Q，原点为O，则|OP|·|OQ|的值为( )
A．2 B．28
C．32 D．由k确定
6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于( )
A．24 B．16
C．8 D．4
7．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都不对
8．(2008年山东高考题)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
9．方程＝kx＋2有唯一解，则实数k的范围是( )
A．k＝±
B．k∈(－2,2)
C．k<－2或k>2
D．k<－2或k>2或k＝±3
10．(拔高题)台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险地区，城市B在A的正东40 km外，B城市处于危险区内的时间为( )
A．0.5 h B．1 h
C．1.5 h D．2 h
二、填空题
11．已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0.则x－y的最大值和最小值分别是________和________．
的最大值和最小值分别是________和________．
x2＋y2的最大值和最小值分别是______和______．
12．如图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m.
13．已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于E，F两点，圆心为点C，则△CEF的面积等于________．
14．若点P在直线l1：x＋y＋3＝0上，过点P的直线l2与曲线C：(x－5)2＋y2＝16相切于点M，则|PM|的最小值________．
三、解答题
15．街头有一片绿地，绿地如图所示(单位：m)，其中ABC为圆弧，求此绿地面积．
16．某圆拱桥的示意图如下图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长．(精确到0.01 m)
[分析] 建系→求点的坐标→求圆的方程→求A2P2的长
17．如图所示，已知直线l的解析式是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点．一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，求该圆运动的时间．
18．如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．
详解答案
1[答案] B
[解析] 圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，∴AB＝0.8，
∴弦心距OB＝≈3.5.
2[答案] B
[解析] 将x＋y＝1绕点(1,0)逆时针旋转90°后，所得直线的方程为x－y＝1.又圆的圆心坐标为(0,1)，
∴相切时有r＝＝，∴r的值为.
3[答案] C
[解析] x2＋y2－4x＋3＝0化为标准形式为(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，
∵(2,0)关于直线x－y－1＝0对称的点为(1,1)，
∴x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为(1,1)．
∵x2＋y2－ax－2y＋1＝0，即为(x－)2＋(y－1)2＝，圆心为(，1)，∴＝1，即a＝2.
4[答案] A
[解析] ∵圆心到直线的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝4，∴S△ABC＝×4×＝2..
5[答案] B
[解析] 由平面几何知识可知|OP|·|OQ|等于过O点圆的切线长的平方．
6[答案] C
[解析] ∵四边形PAOB的面积S＝2×|PA|×|OA|＝2＝2，∴当直线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，其面积S最小．
7[答案] B
[解析] 由<1，∴a2＋b2>1.
8[答案] B
[解析] 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2＝4，所以四边形ABCD的面积为×AC×BD＝×10×4＝20.
9[答案] D
[解析] 由题意知，直线y＝kx＋2与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得k<－2或k>2或k＝±.
10[答案] B
[解析] 建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为20千米，故处于危险区内的时间为＝1(h)．
11[答案] 2＋，2－；1，－1；7＋4，7－4
[解析] (1)设x－y＝b则y＝x－b与圆x2＋y2－4x＋1＝0有公共点，
即≤，∴2－≤b≤2＋
故x－y最大值为2＋，最小值为2－
(2)设＝k，则y＝kx与x2＋y2－4x＋1＝0
有公共点，即≤
∴≤k≤，故最大值为，最小值为－
(3)圆心(2,0)到原点距离为2，半径r＝
故(2－)2≤x2＋y2≤(2＋)2
由此x2＋y2最大值为7＋4，最小值为7－4.
12[答案] 2
[解析] 如下图所示，以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)．
设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2. ①
将点A的坐标(6，－2)代入方程①，解得r＝10.
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100. ②
当水面下降1 m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，求得x0＝.所以，水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2.
13[答案] 2
[解析] ∵圆心C(2，－3)到直线的距离为d＝＝，又R＝3，∴|EF|＝2＝4.
∴S△CEF＝|EF|·d＝2.
14[答案] 4
[解析] 曲线C：(x－5)2＋y2＝16是圆心为C(5,0)，半径为4的圆，连接CP，CM，则在△MPC中，CM⊥PM，则|PM|＝＝，当|PM|取最小值时，|CP|取最小值，又点P在直线l1上，则|CP|的最小值是点C到直线l1的距离，即|CP|的最小值为d＝＝4，则|PM|的最小值为＝4.
15[解析] 如图所示建立坐标系，各点坐标分别为A(0,7)，B(3,8)，C(7,6)，所以可得过A、B、C三点的圆弧方程为(x－3)2＋(y－3)2＝25(0≤x≤7，y>0)．
|AC|＝＝5，设圆弧的圆心为E，则∠AEC＝90°.
故所求的面积为S梯形AODC＋S弓形ABC＝S梯形AODC＋(S扇形ACE－S△ACE)＝＋π×52－×52＝33＋m2.
16[解析] 如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．
设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为A，B，P在此圆上，故有
解得
故圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.
将点P2的横坐标x＝6代入上式，解得
y＝－24＋12.
答：支柱A2P2的长约为12－24.
[点评] 在实际问题中，遇到有关直线和圆的问题，通常建立坐标系，利用坐标法解决．建立适当的直角坐标系应遵循三点：①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②常选特殊点作为直角坐标系的原点；尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．
17[解析] 设运动的时间为tt，则tt后圆心的坐标为(0,1.5－0.5t)．
∵圆C与直线l：y＝x－4，即4x－3y－12＝0相切，∴＝1.5.
解得t＝6或16.
即该圆运动的时间为6t或16t.
18[证明] 如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)．
设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．
|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2
＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2
＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．
4-3-1、2同步检测
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记为( )
A．(0，b,0) B．(a,0,0)
C．(0,0，c) D．(0，b，c)
2．已知点A(1，－3,4)，则点A关于y轴的对称点的坐标为( )
A．(－1，－3，－4) B．(－4,1，－3)
C．(3，－1，－4) D．(4，－1,3)
3．点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是( )
A．(1,2,3) B．(－1，－2,3)
C．(－1,2，－3) D．(1，－2，－3)
4．已知点A(－3,1,5)与点B(4,3,1)，则AB的中点坐标是( )
A．(，1，－2) B．(，2,3)
C．(－12,3,5) D．(，，2)
5．点P(0,1,4)位于( )
A．y轴上 B．x轴上
C．xOz平面内 D．yOz平面内
6．点M(1，－2,2)到原点的距离为( )
A．9 B．3
C．1 D．5
7．点P(1,2,5)到平面xOy的距离是( )
A．1 B．2
C．5 D．不确定
8．点A在z轴上，它到点(3,2,1)的距离是，则点A的坐标是( )
A．(0,0，－1) B．(0,1,1)
C．(0,0,1) D．(0,0,13)
9．△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－，2,3)，则它在yOz平面上射影图形的面积是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
10．空间直角坐标系中，点A(3,2，－5)到x轴的距离d等于( )
A. B.
C. D.
二、填空题
11．点M(1，－4,3)关于点P(4,0，－3)的对称点M′的坐标是________．
12．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,5,6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为________．
13．在△ABC中，已知A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C(，，3)，则AB边上的中线CD的长是________．
14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．
三、解答题
15．如右图所示，在长方体ABCO－A1B1C1O1中，OA＝1，OC＝2，OO1＝3，A1C1与B1O1交于P，分别写出A，B，C，O，A1，B1，C1，O1，P的坐标．
16．已知A(1,4，－3)，B(－3,0,5)，C(2,5，－2)，试判断△ABC的形状．
[分析] 求出三角形边长，利用三边的关系来判断其形状．
17．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度．
[分析] (1)D是原点，先写出A，B，B1，C1的坐标，再由中点坐标公式得M，N的坐标；(2)代入空间中两点间距离公式即可．
18．如右图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动．若|CM|＝|BN|＝a(0(1)求MN的长度；
(2)当a为何值时，MN的长度最短？
详解答案
1[答案] C
2[答案] A
3[答案] B
4[答案] B
5[答案] D
[解析] 由于点P的横坐标是0，则点P在yOz平面内．
6[答案] B
[解析] |OM|＝＝3.
7[答案] C
8[答案] C
[解析] 设A(0,0，c)，则＝，解得c＝1.所以点A的坐标为(0,0,1)．
9[答案] D
[解析] △ABC的顶点在yOz平面上的射影点的坐标分别为A′(0,1,1)，B′(0,2,1)，C′(0,2,3)，△ABC在yOz平面上的射影是一个直角三角形A′B′C′，容易求出它的面积为1.
10[答案] B
[解析] 过A作AB⊥x轴于B，则B(3,0,0)，则点A到x轴的距离d＝|AB|＝.
11[答案] (7,4，－9)
[解析] 线段MM′的中点是点P，则M′(7,4，－9)．
12[答案] (－4,0，－6)
[解析] 点M关于y轴的对称点是M′(－4,5，－6)，则点M′在坐标平面xOz上的射影是(－4,0，－6)．
13[答案]
[解析] 由题可知AB的中点D的坐标是D(，0,3)，
由距离公式可得
|CD|＝＝.
14[答案]
[解析] |AM|＝
＝，∴对角线|AC1|＝2，
设棱长x，则3x2＝(2)2，∴x＝.
15[解析] 点A在x轴上，且OA＝1，∴A(1,0,0)．
同理，O(0,0,0)，C(0,2,0)，O1(0,0,3)．
B在xOy平面内，且OA＝1，OC＝2，
∴B(1,2,0)．
同理，C1(0,2,3)，A1(1,0,3)，B1(1,2,3)．
∴O1B1的中点P的坐标为(，1,3)．
16[解析] 由题意得：
|AB|＝＝＝4
|AC|＝＝
|BC|＝＝＝3
∴|AB|2＋|AC|2＝96＋3＝99＝|BC|2.
∴△ABC为直角三角形．
17[解析] (1)因为D是原点，则D(0,0,0)．
由AB＝BC＝2，D1D＝3，
得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)．
∵N是AB的中点，∴N(2,1,0)．
同理可得M(1,2,3)．
(2)由两点间距离公式，得
|MD|＝＝，
|MN|＝＝.
18[解析] 因为平面ABCD⊥平面ABEF，且交线为AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直．取B为坐标原点，过BA，BE，BC的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为|BC|＝1，|CM|＝a，点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上，所以点M(a,0,1－a)．
因为点N在坐标平面xBy内且在正方形ABEF的对角线上，|BN|＝a，所以点N(a，a,0)．
(1)由空间两点间的距离公式，得|MN|＝＝，即MN的长度为.
(2)由(1)，得|MN|＝＝
.
当a＝(满足0第四章综合检测题
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下面表示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围为( )
A．m＜ B．m＜0
C．m＞ D．m≤
3．已知空间两点P1(－1,3,5)，P2(2,4，－3)，则|P1P2|等于( )
A. B．3
C. D.
4．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(1，－2)，5 B．(1，－2)，
C．(－1,2)，5 D．(－1,2)，
5．圆心为(1，－1)，半径为2的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
6．直线l：x－y＝1与圆C：x2＋y2－4x＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
7．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)连线段PQ中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1
8．(2011～2012·北京东城区高三期末检测)直线l过点(－4,0)，且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为( )
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
9．一束光线从点A(－1,1)发出，并经过x轴反射，到达圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是( )
A．4 B．5
C．3－1 D．2
10．(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于( )
A．3 B．2
C. D．1
11．方程＝lg x的根的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无法确定
12．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为( )
A．x＝1 B．y＝1
C．x－y＋1＝0 D．x－2y＋3＝0
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．点P(3,4,5)关于原点的对称点是________．
14．已知△ABC的三个顶点为A(1，－2,5)，B(－1,0,1)，C(3，－4,5)，则边BC上的中线长为________．
15．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，点P(0,5)，则过P作圆C的切线有且只有________条．
16．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)求经过点P(3,1)且与圆x2＋y2＝9相切的直线方程．
[分析] 提示一：将点P(3,1)代入圆的方程得32＋12＝10>9，所以点P在圆外，可设过点P的圆的切线斜率为k，写出点斜式方程再化为一般式．根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质，由点到直线的距离公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所设切线方程即可．
提示二：直线与圆相切，就是直线与圆有唯一公共点，于是将两曲线方程联立所得的方程组有唯一解，从而方程判别式Δ＝0，由此解得k值，然后回代所设切线方程即可．
18．(本题满分12分)(2011～2012·宁波高一检测)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．
19．(本小题满分12分)已知实数x、y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值．
20．(本题满分12分)已知直线l1：x－y－1＝0，直线l2：4x＋3y＋14＝0，直线l3：3x＋4y＋10＝0，求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．
[分析] 设出圆心坐标和半径，利用圆的几何性质求解．
21．(本题满分12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．
[分析] (1)对切线的斜率是否存在分类讨论；(2)设出P的坐标，代入平面内两点间的距离公式，化简得轨迹方程．
22．(本题满分12分)已知圆P：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r≠0)，满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1.
求在满足条件①②的所有圆中，使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时，圆的方程．
[分析] 根据条件可以判断出圆P被x轴截得的劣弧的圆心角为90°，建立起r，a，b之间的方程组，然后解出相应的a，b，r间的关系，最后借助于一元二次函数解决．
详解答案
1[答案] C
[解析] 根据空间直角坐标系的规定可知(1)(2)(4)都正确，(3)中，Oy轴的正向应为负向，∴选C.
2[答案] A
[解析] (－1)2＋12－4m＞0，∴m＜，故选A.
3[答案] A
[解析] |P1P2|＝＝.
4[答案] D
[解析] 圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心是(－1,2)，半径为.
5[答案] D
[解析] 由圆的标准方程得圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4.
6[答案] C
[解析] 圆C的圆心为C(2,0)，半径为2，圆心C到直线l的距离d＝＝<2，所以圆与直线相交．
7[答案] C
[解析] 设PQ中点坐标为(x，y)，则P(2x－3,2y)代入x2＋y2＝1得(2x－3)2＋4y2＝1，故选C.
8[答案] D
[解析] 由题意，得圆心C(－1,2)，半径r＝5，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＋4＝0，解方程组
得或即此时与圆C的交点坐标是(－4，－2)和(－4,6)，则|AB|＝8，即x＋4＝0符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，圆心C到直线l的距离d＝＝，又|AB|＝2，
所以2＝8，解得k＝－，
则直线l的方程为－x－y＋4×(－)＝0，
即5x＋12y＋20＝0.
9[答案] A
[解析] 点A关于x轴的对称点是A′(－1，－1)，圆心C(2,3)，半径r＝1，
则|A′C|＝＝5，则最短路程是|A′C|－r＝5－1＝4.
10[答案] B
[解析] 圆x2＋y2＝4的圆心O(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1，弦AB的长|AB|＝2＝2.
11[答案] B
[解析] 设f(x)＝，g(x)＝lg x，则方程根的个数就是f(x)与g(x)两个函数图象交点的个数．如图所示，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象．
由图可得函数f(x)＝与g(x)＝lg x仅有1个交点，所以方程仅有1个根．
12[答案] D
[解析] 当CM⊥l，即弦长最短时，∠ACB最小，
∴kl·kCM＝－1，∴kl＝，
∴l的方程为：x－2y＋3＝0.
[点评] 过⊙C内一点M作直线l与⊙C交于A、B两点，则弦AB的长最短?弦AB对的劣弧最短?弦对的圆心角最小?圆心到直线l的距离最大?CM⊥l?弦AB的中点为M，故以上各种说法反映的是同一个问题．
13[答案] (－3，－4，－5)
[解析] ∵点P(3,4,5)与P′(x，y，z)的中点为坐标原点，
∴P′点的坐标为(－3，－4，－5)．
14[答案] 2
[解析] BC的中点为D(1，－2,3)，则|AD|＝＝2.
15[答案] 2
[解析] 由C(1，－2)，r＝2，
则|PC|＝＝5>r＝2，
∴点P在圆C外，∴过P作圆C的切线有两条．
16[答案] (x－2)2＋(y－2)2＝2
[解析] ∵⊙A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圆心A(6,6)，半径r1＝3，∵A到l的距离5，
∴所求圆B的直径2r2＝2，即r2＝.
设B(m，n)，则由BA⊥l得＝1，
又∵B到l距离为，∴＝，
解出m＝2，n＝2.
故其方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
17[解析] 解法一：当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，
由点斜式可得切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，
∴＝3，解得k＝－.
故所求切线方程为－x－y＋4＋1＝0，即4x＋3y－15＝0.
当过点P的切线斜率不存在时，方程为x＝3，也满足条件．
故所求圆的切线方程为4x＋3y－15＝0或x＝3.
解法二：设切线方程为y－1＝k(x－3)，
将方程组，消去y并整理得
(k2＋1)x2－2k(3k－1)x＋9k2－6k－8＝0.
因为直线与圆相切，∴Δ＝0，
即[－2k(3k－1)]2－4(k2＋1)(9k2－6k－8)＝0.
解得k＝－.
所以切线方程为4x＋3y－15＝0.
又过点P(3,1)与x轴垂直的直线x＝3也与圆相切，
故所求圆的切线方程为4x＋3y－15＝0或x＝3.
[点评] 若点在圆外，所求切线有两条，特别注意当直线斜率不存在时的情况，不要漏解．
18[解析] 以D为原点建立如图所示坐标系，
则B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)．
由于M为BD1的中点，所以M(，，)，取A1C1中点O1，则O1(，，a)，
因为|A1N|＝3|NC1|，所以N为O1C1的中点，
故N(，a，a)．
由两点间的距离公式可得：
|MN|＝
＝a.
[点评] 空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过距离公式求解．
19[解析] 设x＋y＝t，则直线y＝－x＋t与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共点
∴≤，∴6－2≤t≤6＋2
因此x＋y最小值为6－2，最大值为6＋2.
20[解析] 设圆心为C(a，a－1)，半径为r，
则点C到直线l2的距离
d1＝＝.
点C到直线l3的距离是d2＝＝.
由题意，得
解得a＝2，r＝5，即所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝25.
21[解析] 把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.
(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件．
当l的斜率存在时，
设斜率为k，得l的方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝－.
∴l的方程为y－3＝－(x－1)，
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，
|PO|2＝x2＋y2，
∵|PM|＝|PO|.
∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，
整理，得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.
22[解析] 如下图所示，圆心坐标为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.
∵圆P被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，
∴∠APB＝90°.
取AB的中点D，连接PD，
则有|PB|＝|PD|，∴r＝|b|.
取圆P截y轴的弦的中点C，连接PC，PE.
∵圆截y轴所得弦长为2，
∴|EC|＝1，∴1＋a2＝r2，
即2b2－a2＝1.
则a2－b2－2b＋4＝b2－2b＋3＝(b－1)2＋2.
∴当b＝1时，a2－b2－2b＋4取得最小值2，
此时a＝1，或a＝－1，r2＝2.
对应的圆为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，
或(x＋1)2＋(y－1)2＝2.
∴使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时，对应的圆为
(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y－1)2＝2.
[点评] (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．
(2)当直线与圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有()2＋d2＝r2.
