1-1-1同步检测
一、选择题
1．如图所示的几何体是( )
A．五棱锥 B．五棱台
C．五棱柱 D．五面体
2．下列命题中，正确的是( )
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
3．棱锥侧面是有公共顶点的三角形，若围成一个棱锥侧面的三角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个．( )
A．3 B．4
C．5 D．6
4．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为( )
A．三棱锥有四个面是三角形
B．棱锥都是有两个面是互相平行的多边形
C．棱锥的侧面都是三角形
D．棱锥的侧棱交于一点
5．三棱锥又称四面体，则在四面体A－BCD中，可以当作棱锥底面的三角形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．用一个平面去截四棱锥，不可能得到( )
A．棱锥 B．棱柱 C．棱台 D．四面体
7．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
9．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是( )
10．(2011－2012·嘉兴高一检测)如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(1)(4)
二、填空题
11．(1)图(1)中的几何体叫做________，AA1、BB1等叫它的________，A、B、C1等叫它的________．
(2)图(2)中的几何体叫做________，PA、PB叫它的________，平面PBC、PCD叫做它的________，平面ABCD叫它的________．
(3)图(3)中的几何体叫做________，它是由棱锥________被平行于底面ABCD的平面________截得的．AA′，BB′叫它的__________，平面BCC′B′、平面DAA′D′叫它的________．
12．一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，下图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．
13．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③水的EFGH始终为矩形．其中正确的命题序号是________．
14．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．
三、解答题
15．判断下列语句的对错．
(1)一个棱锥至少有四个面；
(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；
(3)五棱锥只有五条棱；
(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．
16．如下图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？
17．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，图(1)中截去的是什么几何体？图(2)中截去一部分，其中HG∥AD∥EF，剩下的几何体是什么？
若再用一个完全相同的正方体放在第一个正方体的左边，它们变成了一个什么几何体？
18．一个几何体的表面展开平面图如图．
(1)该几何体是哪种几何体；
(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？
详解答案
1[答案] C
2[答案] D
3[答案] C
[解析] 由于顶角之和小于360°，故选C.
[点评] 请依据此题的分析思考，下题中的选项是什么？
4[答案] B
5 [答案] D
6[答案] B
7[答案] C
[解析] 如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，分别连接A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥A－A1BC，B1－A1BC1，C－A1BC1.
8[答案] C
9[答案] B
10[答案] B
[解析] 在图(2)、(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)、(3)完全一样，而(1)、(4)则不同
[解题提示] 让其中一个正方体不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断．
11[答案] (1)棱柱 侧棱 顶点
(2)棱锥 侧棱 侧面 底面
(3)棱台 O－ABCD A′B′C′D′ 侧棱 侧面
12[答案] B
[解析] 由图观察可知，该立方体有六个面，与C相邻的四个面已给出∴C的对面为F，考察第一个图只有两种情况：①A的对面为E，D的对面为B或②A的对面为B，D的对面为E，如果是第二种情形，将第一个图逆时针转一下，应该是第二图，显然不符，∴D的对面为B.
13[答案] ①③
[解析] 根据棱柱的定义及结构特征来判断．在棱柱中因为有水的部分和无水的部分始终有两个面平行，而其余各面易证是平行四边形，故①正确；而随着倾斜程度的不同，水面EFGH的面积是会改变的，但仍为矩形故②错误；③正确．
14[答案] 10
[解析] 在上底面选一个顶点，同时在下底选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．
15[解析] (1)正确．
(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．
(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．
(4)正确．
16[解析] 这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的正八面体．有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．
17[解析] 三棱锥 五棱柱A1B1BEH－D1C1CFG 长方体
18[解析] (1)该几何体是四棱台；
(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．
1-1-2同步检测
一、选择题
1．给出下列几种说法：①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；②连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；③圆柱的任意两条母线互相平行．其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．圆台 D．两个圆锥
3．下列说法正确的是( )
A．圆锥的母线长等于底面圆直径
B．圆柱的母线与轴垂直
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
4．如下图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖出一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
5．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是( )
A．圆锥 B．圆柱
C．球 D．棱柱
6．在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合是( )
A．球 B．正方体
C．圆 D．球面
7．(2011－2012·南京模拟)经过旋转可以得到图1中几何体的是图2中的( )
8．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )
A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(1)(4) D．(1)(5)
二、填空题
9．(1)图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．
(2)图②中的几何体叫________，AB、CD都是它的________，⊙O和⊙O′及其内部是它的________．
(3)图③中的几何体叫做________，SB为叫它的________．
(4)图④中的几何体叫做________，AA′叫它的________，⊙O′及其内部叫它的________，⊙O及其内部叫它的________，它还可以看作直角梯形OAA′O′绕它的________________旋转一周后，其他各边所形成的面所围成的旋转体．
10．等腰三角形绕底边上的高旋转180°，所得几何体是________．
11．圆锥的高与底面半径相等，母线等于5，则底面半径等于________．
12．如图所示的四个几何体中，是圆柱的为________；是圆锥的为________．
三、解答题
13．说出下列7种几何体的名称．
14．说出如图所示几何体的主要结构特征．
15．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．
16．如图(1)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单几何体组成的．
[分析] 由平面图形可以看出，该平面图形旋转后形成的几何体是组合体，可对所给平面图形进行适当的分割，再进行空间想象．
17．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4πcm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
[分析] 过圆台的轴作截面，通过解截面等腰梯形来解决．
18．圆锥底面半径为1，高为2，轴截面为PAB，如图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，求最短绳长．
详解答案
1[答案] C
[解析] ①③正确，②不正确．
2[答案] D
3[答案] D
[解析] 圆锥的母线长与底面直径的大小不确定，则A项不正确；圆柱的母线与轴平行，则B项不正确；圆台的母线与轴相交，则C项不正确；很明显D项正确．
4[答案] B
[解析] 选B.圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.
5[答案] D
6[答案] D
7[答案] A
[解析] 观察图中几何体的形状，掌握其结构特征，其上部为一个圆锥，下部是一个与圆锥同底的圆台，圆锥可由一直角三角形以过一直角边的直线为轴旋转一周得到，圆台可由一直角梯形绕过垂直于两底的腰的直线为轴旋转而成，通过上述判断再对选项中的平面图形适当分割，只有A适合．故正确答案为A.
8[答案] D
[解析] 圆锥的除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形．
9[答案] (1)球 球心 半径 直径
(2)圆柱 母线 底面
(3)圆锥 母线
(4)圆台 母线 上底面 下底面 垂直于两底的腰OO′
10[答案] 圆锥
[解析] 等腰三角形底边上的高是该旋转体的轴，绕此轴旋转180°，形成圆锥，等腰三角形的底边是此圆锥的底面直径，等腰三角形底边上的高是圆锥的高．
11[答案] 5
[解析] 如图所示，圆锥SO的高为h，底面半径为r，母线为l，则h＝r，l＝5，又l2＝h2＋r2，则l2＝2r2，即(5)2＝2r2，解得r＝5.
12[答案] ③ ②
[解析] ①中AA′与圆面不垂直，则①不是圆柱，也不是圆锥；②中SO垂直于圆面，可看成由直角三角形SOA绕直线SO旋转一周形成的，是圆锥；③中，OO′垂直于两个平行圆面，可看成矩形OBB′O′绕直线OO′旋转一周形成的，是圆柱；④中，SO与圆面不垂直，不是圆锥，也不是圆柱．
13[解] a是圆柱，b是圆锥，c是球，d、e是棱柱，f是圆台，g是棱锥．
14[解] (1)是一个六棱柱中挖去一个圆柱；(2)是一个圆台与一个圆柱的组合体；(3)是两个四棱锥构成的组合体．
15[解析] 先出画几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：
16[解析] 如图(2)所示，①是矩形，旋转后形成圆柱，②、③是梯形，旋转后形成圆台．所以旋转后形成的几何体如图(3)所示，通过观察可知，该组合体是由一个圆柱，两个圆台拼接而成的．
17[解析] (1)如图，过圆台的轴作截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.
∴AM＝
＝3(cm)，
即圆台的高为3 cm.
(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，可得＝，
∴l＝20(cm)，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
18[解析] ∵OA＝1，PO＝2，
∴PA＝3，
∴∠APA′＝×360°＝120°，
作PD⊥AA′，则∠APD＝60°
∴AA′＝2AD＝2×3×sin60°＝3，
∴最短绳长为3.
[点评] 一般地，多面体或旋转体绕侧面或表面最短距离的问题，除球外，基本都是通过展开图来解决，关键是找准剪开的线，准确用展开图中的某条线段来表示这个最短距离，另外这里的所谓最短距离，实质是沿多面体或旋转体侧(表)面的最短路径，请思考下题：
1-2-1、2同步检测
一、选择题
1．对几何体的三视图，下列说法正确的是( )
A．正视图反映物体的长和宽
B．俯视图反映物体的长和高
C．侧视图反映物体的高和宽
D．正视图反映物体的高和宽
2．一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为( )
A．棱锥 B．棱柱 C．圆锥 D．圆柱
3．(2011－2012·安徽淮南高三模拟)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
4.一个几何体的三视图如图，则组成该几何体的简单几何体为( )
A．圆柱和圆锥 B．正方体和圆锥
C．四棱柱和圆锥 D．正方体和球
5．一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为( )
A．圆柱与圆台 B．四棱柱与四棱台
C．圆柱与四棱台 D．四棱柱与圆台
6．(2010·北京理，3)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为( )
7．如图所示几何体的正视图和侧视图都正确的是( )
8．(2011·新课标全国高考)在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )
9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是( )
10．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱台 D．三棱台
二、填空题
11．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是________．
12．(2011·烟台高一检测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有________．
13．(2011－2012·湖南高三“十二校联考”)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．
三、解答题
14．如图所示是一个四棱柱铁块，画出它的三视图．
15．依所给实物图的形状，画出所给组合体的三视图．
16．说出下列三视图表示的几何体：
17．根据下列图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．
详解答案
1[答案] C
2[答案] C
3[答案] D
[解析] ①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．
[点评] 熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基本的要求．
下图是最基本的常见几何体的三视图.
几何体
直观图形
正视图
侧视图
俯视图
正方体
长方体
圆柱
圆锥
圆台
球
4[答案] C
[解析] 由正视图和侧视图可知，该几何体的上部可能为棱锥或圆锥，下部可能为棱柱和圆柱，结合俯视图为圆和圆心及正方形知，上部是圆锥，下部是四棱柱．
5[答案] B
[解析] 该几何体形状如图．上部是一个四棱柱，下部是一个四棱台．
6[答案] C
[解析] 由正视图和侧视图知，该长方体上面去掉的小长方体，
从正前方看在观察者左侧，从左向右看时在观察者右侧，故俯视图为C.
7[答案] B
8[答案] D
[解析] 此几何体为一个半圆锥和一个半三棱锥的组合体，只有D项符合题意．
9[答案] A
[解析] N点投影为AD中点，M点投影为AA1中点，故选A.
10[答案] B
[解析] 由正视图与侧视图知，该几何体为棱锥，由俯视图知，该几何体是四棱锥．
11[答案] ②④⑤
[解析] 三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．
12[答案] ①②③④
13[答案] 3
[解析] 该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等于4，如图(1)所示的四棱锥A－A1B1C1D1，
如图(2)所示，三个相同的四棱锥A－A1B1C1D1，A－BB1C1C，A－DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体．
14[答案] 正视图、俯视图、侧视图分别如图所示．
15[解析] 图中所给几何体是一个圆柱和一个正六棱柱的组合体，在中心以中心轴为轴线挖去一个小圆柱，故其三视图如下：
16[解析]
17[答案] 所对应的空间几何体的图形为：
1-2-3同步检测
一、选择题
1．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( )
①角的水平放置的直观图一定是角．
②相等的角在直观图中仍相等．
③相等的线段在直观图中仍然相等．
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．
以上说法正确的是( )
A．① B．①②
C．③④ D．①②③④
3．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是( )
4．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的( )
5．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是( )
A．16 B．64
C．16或64 D．无法确定
6．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A．AB B．AD
C．BC D．AC
7．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝4，O′C′＝2，则原图形是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．梯形
8．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m，四棱锥的高为8m，若按1?500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A．4cm,1cm, 2cm,1.6cm
B．4cm,0.5cm,2cm,0.8cm
C．4cm,0.5cm,2cm,1.6cm
D．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm
9．已知△ABC是边长为2a的正三角形，那么它的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
10．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2cm B．3cm
C．2.5cm D．5cm
11．用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)．
12．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
二、填空题
13．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________，点M′的找法是________．
14．如下图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．
15．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是________．
三、解答题
16．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．
17．已知几何体的三视图如下，用斜二测画法，画出它的直观图(直接画出图形，尺寸不作要求)．
18．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图．
[分析] 该几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接成的简单组合体．
详解答案
1[答案] C
[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．
2[答案] B
[解析] 根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．
3[答案] A
[解析] 由几何体直观图画法及立体图形中虚线的使用可知A正确．
4[答案] C
[解析] 由直观图一边在x′轴上，一边与y′轴平行，知原图为直角梯形．
5[答案] D
6[答案] D
[解析] △ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，则AC＞AB，AC＞AD，AC＞BC.
7[答案] C
8[答案] C
[解析] 由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.
9[答案] C
[解析] S△A′B′C′＝·2a·a·＝a2.
10[答案] D
[解析] 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5cm，在直观图中与z轴平行线段长度不变，仍为5cm.
11[解析]
12[答案] C
[解析] C中前者画成斜二测直观图时，底AB不变，原来高h变为，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB变为原来的.
13[答案] M′(4,2) 在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′.
[解析] 在x′轴的正方向上取点M1，使O1M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.
14[答案] 10
[解析] 由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝
90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝＝10.
15[答案] 16
[解析] 由图易知△AOB中，底边OB＝4，
又∵底边OB的高为8，
∴面积S＝×4×8＝16.
16[解析] 在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.
17[解] 如图．
18[解析] 直观图如图a所示，三视图如图b所示．
1-3-1-1同步检测
一、选择题
1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )
A．4倍 B．3倍
C.倍 D．2倍
2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是，则长方体的侧面积等于( )
A．2 B．4
C．6 D．3
3．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为( )
A. B．2π
C．π D．4π
4．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )
A. B.
C. D.
5．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A．6a2 B．12a2
C．18a2 D．24a2
6．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则圆台的侧面积为( )
A．81π B．100π
C．14π D．169π
7．一个圆柱的底面面积是S，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为( )
A．4πS B．2πS
C．πS D.πS
8．(2011－2012·安徽合肥一模)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )
A．6π B．12π C．18π D．24π
9．一个圆台的上、下底面面积分别是πcm2和49πcm2，一个平行于底面的截面面积为25πcm2，则这个截面与上、下底面的距离之比是( )
A．2:1 B．3:1
C. :1 D. :1
10．(2011·海南、宁夏高考)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为( )
A．48＋12 B．48＋24
C．36＋12 D．36＋24
二、填空题
11．已知圆柱OO′的母线l＝4cm，全面积为42πcm2，则圆柱OO′的底面半径r＝ ________cm.
12．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．
13．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为________．
14．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．
三、解答题
15．已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S－ABCD，如图所示，求它的表面积．
[分析] →→→
16．如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)
[分析] 因为正方体的棱长为4cm，而洞深只有1cm，所以正方体没有被打透．这样一来打洞后所得几何体的表面积等于原来正方体的表面积，再加上圆柱的侧面积，这个圆柱的高为1cm，底面圆的半径为1cm.
17．(2011－2012·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
18．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)
详解答案
1[答案] D
[解析] 由已知得l＝2r，＝＝＝2，
故选D.
2[答案] C
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则c＝1，ab＝2，·c＝，
∴a＝2，b＝1，故S侧＝2(ac＋bc)＝6.
3[答案] A
[解析] 由三视图可知，该几何体是底半径为，高为1的圆柱，故其全面积S＝2π×2＋2π××1＝.
4[答案] A
[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S全＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)
又S侧＝h2＝4π2r2，∴＝.
[点评] 圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．
5[答案] B
[解析] 原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.
6[答案] B
[解析] 圆台的轴截面如图，设上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.
因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，有102＝(4r)2＋(4r－r)2.解得r＝2.所以S圆台侧＝π(r＋4r)·10＝100π，故选B.
7[答案] A
[解析] 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，
则S＝πr2，
所以r＝.
又侧面展开图是正方形，则l＝2πr，
故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝2πrl＝(2πr)2＝4π2＝4πS.
8[答案] B
[解析] 该几何体是两底面半径分别为1、2，母线长为4的圆台，则其侧面积是π(1＋2)×4＝12π.
9[答案] A
[解析] 将圆台补成圆锥形成三个小锥体，它们的底面积之比为1:25:49，因此高之比为1:5:7，所以截面与上、下底面的距离之比为4:2即2:1，故选A.
10[答案] A
[解析] 由三视图可得：底面为等腰直角三角形，腰长为6，面积为18；垂直于底面的面为等腰三角形，面积为×6×4＝12；其余两个面为全等的三角形，每个三角形的面积都为×6×5＝15.所以全面积为48＋12.
11[答案] 3
[解析] 圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，
∴2πr2＋8πr＝42π，
解得r＝3或r＝－7(舍去)，
∴圆柱的底面半径为3cm.
12[答案] 24＋2
[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(×2×)＋3×(4×2)＝24＋2.
13[答案] π
[解析] 该几何体是圆柱，且母线长为1，底面半径为，则这个几何体的表面积为2π[()2＋×1]＝.
14[答案] (4＋28)π
[解析] 挖去的圆锥的母线长为＝2，
则圆锥的侧面积等于4π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为4π＋24π＋4π＝(4＋28)π.
15[解] ∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
各侧面都是全等的正三角形，
设E为AB的中点，
则SE⊥AB，
∴S侧＝4S△SAB＝4××5×＝25，
S底＝52＝25，
∴S表面积＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1)．
16[解析] 正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)，
圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)，
则挖洞后几何体的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm2)．
[小结] 求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．
17[解] 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示易知△AEB∽△AOC，
∴＝，即＝，∴r＝1
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.
∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.
18[解析] 几何体的直观图如图．
这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜高h′＝2，其表面积S＝42＋4×4×2＋×4
＝48＋16cm2.
1-3-1-2同步检测
一、选择题
1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( )
A．6 B．3
C．11 D．12
2．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为( )
A．32 B．28
C．24 D．20
3．(11～12学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧
视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )
A．1 B.
C. D.
4．体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )
A．54cm3 B．54πcm3
C．58cm3 D．58πcm3
5．圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( )
A．1:1 B．1:6
C．1:7 D．1:8
6．(2012·江西(文科))若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )
A. B．5
C．4 D.
7．(2009·陕西高考)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )
A. B.
C. D.
8．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
9．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )
A．6π B．5π
C．4π D．3π
10．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为( )
A．29cm B．30cm
C．32cm D．48cm
二、填空题
11．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.
12.(2010·天津理)一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为____．
13．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E、F分别为AC、AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么V1:V2＝________.
14．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．
三、解答题
15．把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．
16．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
17．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出多面体的俯视图．
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．
18．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．
详解答案
1[答案] A
[解析] 设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6.
2[答案] B
[解析] 上底面积S1＝6××22＝6，
下底面积S2＝6××42＝24，
体积V＝(S1＋S2＋)·h
＝(6＋24＋)×2＝28.
3[答案] D
[解析] 由三视图知，该几何体是三棱锥．
体积V＝××1×1×1＝.
4[答案] A
[解析] 由底面积之比为1:9知，体积之比为1:27，截得小圆锥与圆台体积比为1:26，∴ 小圆锥体积为2cm3，故原来圆锥的体积为54cm3，故选A.
5[答案] C
[解析] 如图，设圆锥底半径OB＝R，高PO＝h，
∵O′为PO中点，∴PO′＝，
∵＝＝，∴O′A＝，
∴V圆锥PO′＝π·2·
＝πR2h.
V圆台O′O＝··＝πR2h.
∴＝，故选C.
[点评] 由圆锥的平行于底面的截面性质，截得小圆锥与原来圆锥的高的比为1:2，故体积比为1:8，因而上、下两部分体积比为1:7.
6[答案] C
[解析] 本题的几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面为边长为1的正六边形，高为1，则直接代公式可求．
7[答案] B
[解析] 由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有的棱长均为，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积V＝2V正四棱锥＝2××12×＝.故选B.
8[答案] C
[解析] 若该几何体的俯视图是选项A，则该几何体是正方体，其体积V＝13＝1≠，所以A选项不是；若该几何体的俯视图是选项B，则该几何体是圆柱，其体积V＝π×()2×1＝≠，所以B选项不是；若该几何体的俯视是选项D，则该几何体是圆柱的四分之一，其体积V＝(π×12×1)＝≠，所以D选项不是；若该几何体的俯视图是选项C，则该几何体是三棱柱，其体积V＝×1×1×1＝，所以C选项符合题意，故选C.
9[答案] D
[解析] 如图所示，所形成的几何体是一个大圆锥挖去一个小圆锥剩下的部分，这两个圆锥的底面半径r＝AD＝ABsin60°＝2×＝，小圆锥的高是BD＝ABcos60°＝2×＝1，大圆锥的高是CD＝BD＋BC＝1＋3＝4，则所形成的几何体的体积是×π×()2×4－×π×()2×1＝3π.
10[答案] A
[解析] 图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h，则有π×12(h－20)＝π×32(h－28)，解得h＝29(cm)．
11[答案]
[解析] 设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.
12[答案]
[解析] 由三视图知，该几何体由一个高为1，底面边长为2的正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为2×2×1×＋1×1×2＝.
13[答案] 7:5
[解析] 设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.
因为E、F分别为AC、AB的中点，
所以S△AEF＝S，所以V1＝h(S＋S＋)＝Sh，V2＝V－V1＝Sh.
所以V1:V2＝7:5.
14[答案]
[解析] 两个同样的该几何体能拼接成一个高为a＋b的圆柱，则拼接成的圆柱的体积V＝πr2(a＋b)，
所以所求几何体的体积为.
15[答案] 或
[解析] 如图所示，当BC为底面周长时，半径r1＝，
则体积V＝πr·AB＝π()2×6＝；
当AB的底面周长时，半径r2＝＝，
则体积V＝πr·BC＝π()2×3＝.
16[解] 由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6和8的矩形，高为4的四棱锥．设底面矩形为ABCD.如图所示．
AB＝8，BC＝6，高VO＝4.
(1)V＝×(8×6)×4＝64.
(2)四棱锥中侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形．
在△VBC中，BC边上的高
h＝＝＝4.
在△VAB中，AB边上的高
h2＝＝＝5.
所以此几何体的侧面积
S＝2×(×6×4＋×8×5)＝40＋24.
17[解] (1)俯视图如图所示．
(2)所求多面体体积
V＝V长方体－V正三棱锥
＝4×4×6－×(×2×2)×2
＝(cm3)．
18[答案] 144
[解析] 该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.
1-3-2同步检测
一、选择题
1．两球表面积之比为1:4，则它们的半径之比为( )
A．1:2 B．1:4
C．1: D．1:2
2．把半径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为( )
A．3cm B．6cm
C．8cm D．12cm
3．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 ( )
A. B．1
C．2 D．3
4．半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是( )
A．2R3 B.πR3
C.R3 D.R3
5．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为( )
A．R B．2R
C．3R D．4R
6．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A．9π B．10π
C．11π D．12π
7．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
A. B.
C. D.
8．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )
A．6:5 B．5:4
C．4:3 D．3:2
9．已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )
A．20 B．25
C．50π D．200π
10．64个直径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则( )
A．V甲>V乙且S甲>S乙 B．V甲C．V甲＝V乙且S甲>S乙 D．V甲＝V乙且S甲＝S乙
二、填空题
11．长方体的8个顶点在同一个球面上，且长方体的对角线长为4，则该球的体积是________．
12．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为________．
13．圆柱OO′的底面半径为4，高为，球M的体积等于圆柱OO′的体积，则球M的半径等于________．
14．(2010·湖北高考)圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
三、解答题
15．(2011·福建厦门高一检测)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的表面积和体积．
16．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为hcm，半径为rcm.试管的容量为108πcm3，半球部分容量为全试管容量的.
(1)求r和h；
(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4cm处，求水的体 积．
17．体积相等的正方体、球、(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小．
18．(2011－2012·杭州高二检测)如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋会从杯子溢出吗？请计算说明理由．
[答案] A
[解析] 由＝，得＝.
[答案] D
[解析] 方法1：大球半径应大于10cm，故选D
[答案] D
[答案] C
[答案] D
[答案] D
[解析] 本题是三视图还原为几何体的正投影问题，考查识图能力，空间想像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为
2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.
[答案] A
[解析] 由6a2＝4πR2得＝，∴＝＝3＝.
[答案] D
[解析] 设球的半径为R，则圆柱的高h＝2R，底面的半径也为R，
∴＝＝.
[答案] C
[解析] 长方体的体对角线即为球的直径，∴2R＝，∴R＝，S球＝4πR2＝50π.
[答案] C
[解析] 计算得V甲＝πa3，S甲＝4πa2，V乙＝πa3，S乙＝πa2，∴V甲＝V乙，且S甲>S乙．
[答案]
[解析] 该球的半径为＝2，
则该球的体积是×23＝.
[答案]
[解析] 设球O的半径为r，则πr3＝23，
解得r＝
[答案] 4
[解析] 设球M的半径为r，则πr3＝π×42×，解得r＝4，即球M的半径为4.
[答案] 4
[解析] 设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4.
[解]由三视图可知此几何体是半径为2的半球．
S＝×4πR2＋πR2＝12π，
V＝πR3×＝π.
[解析] (1)∵半球部分容量为全试管容量的，
∴半球部分与圆柱体部分容量比为，
即＝
∴h＝r，πr3×＝108π×
∴r＝3(cm)，h＝10(cm)．
(2)V＝πr3×＋πr2×(h－4)
＝π×33×＋π×32×6＝72π(cm3)．
[解析] 设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.
由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r，
∴R＝a，r＝a，
∴S2＝4π2＝4π·a2＝a2，
S3＝6π2＝6π·a2＝a2，
∴S2又6a2>3a2＝a2，即S1>S3.
∴S1、S2、S3的大小关系是S2 18[解析] V球＝×πR3＝π，
V锥＝πR2γ＝π×42×10×＝π，
π<π
∴不会溢出．
第一章综合检测题
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
2．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )
A.倍 B．2倍
C.倍 D.倍
3．(2012·湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
4．已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )
A．长方体 B．圆柱
C．四棱锥 D．四棱台
5．正方体的体积是64，则其表面积是( )
A．64 B．16
C．96 D．无法确定
6．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积( )
A．缩小到原来的一半 B．扩大到原来的2倍
C．不变 D．缩小到原来的
7．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )
A．1倍 B．2倍
C.倍 D.倍
8．(2011～2012·浙江龙岩一模)有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )
A．12πcm2 B．15πcm2
C．24πcm2 D．36πcm2
9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6
C．5 D．3
10．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )
A.，1 B.，1
C.， D.，
11．(2011－2012·广东惠州一模)某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为( )
A．24 B．80
C．64 D．240
12．如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么图中由7个立方体摆成的几何体，从正前方观察，可画出平面图形是( )
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________．
14．(2011－2012·北京东城区高三第一学期期末检测)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________________ __________________________________________________．
15．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为________．
16．(2011－2012·安徽皖南八校联考)一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中主视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)画出如图所示几何体的三视图．
18．(本题满分12分)圆柱的高是8cm，表面积是130πcm2，求它的底面圆半径和体积．
19．(本题满分12分)如下图所示是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图(尺寸不限)．
20．(本题满分12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为m，制造这个塔顶需要多少铁板？
21．(本题满分12分)如下图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
22．(本题满分12分)如图所示(单位：cm)，四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．
详解答案
1[答案] C
[解析] 图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥．
2[答案] C
[解析] 设△ABC的边AB上的高为CD，以D为原点，DA为x轴建系，由斜二测画法规则作出直观图△A′B′C′，则A′B′＝AB，C′D′＝CD.
S△A′B′C′＝A′B′·C′D′sin45°
＝(AB·CD)＝S△ABC.
3[答案] D
[解析] 本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A，B，C都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．
[点评] 本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．是近年高考中的热点题型．
4[答案] A
[解析] 该几何体是长方体，如图所示．
5[答案] C
[解析] 由于正方体的体积是64，则其棱长为4，所以其表面积为6×42＝96.
6[答案] A
[解析] V＝π2×2h＝πr2h，故选A.
[答案] C
7[解析] 设最小球的半径为r，则另两个球的半径分别为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2，所以＝.
8[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是圆锥，S表＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝π×3×5＋π×32＝24π(cm2)，故选C.
9[答案] A
[解析] 设圆台较小底面圆的半径为r，由题意，另一底面圆的半径R＝3r.
∴S侧＝π(r＋R)l＝π(r＋3r)×3＝84π，解得r＝7.
10[答案] C
[解析] 设球的半径为R，
则圆柱的底面半径为R，高为2R，
∴V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝πR3.
∴＝＝，
S圆柱＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S球＝4πR2.
∴＝＝.
11[答案] B
[解析] 该几何体的四棱锥，高等于5，底面是长、宽分别为8、6的矩形，则底面积S＝6×8＝48，则该几何体的体积V＝Sh＝×48×5＝80.
12[答案] B
[解析] 画出该几何体的正视图为，其上层有两个立方体，下层中间有三个立方体，两侧各一个立方体，故B项满足条件．
13[答案] π
[解析] 圆台高h＝＝2，
∴体积V＝(r2＋R2＋Rr)h＝π.
14[答案] 36
[解析] 该几何体是底面是直角梯形的直四棱柱，如图所示，底面是梯形ABCD，高h＝6，
则其体积V＝Sh＝×6＝36.
[答案] 24π2＋8π或24π2＋18π
15[解析] 圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.
(1)以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝4π，即r＝2.
所以S底＝4π，所以S表＝24π2＋8π.
(2)以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝6，即r＝3.所以S底＝9π，所以S表＝24π2＋18π.
16[答案] 2(1＋)π＋4
[解析] 此几何体是半个圆锥，直观图如下图所示，先求出圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝π×2×2＝4π，S底＝π×22＝4π，
S△SAB＝×4×2＝4，
所以S表＝＋＋4
＝2(1＋)π＋4.
17[解析] 该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其
三视图如图所示．
18[解析] 设圆柱的底面圆半径为rcm，
∴S圆柱表＝2π·r·8＋2πr2＝130π.
∴r＝5(cm)，即圆柱的底面圆半径为5cm.
则圆柱的体积V＝πr2h＝π×52×8＝200π(cm3)．
19[解析] 由三视图可知该几何体是一个正三棱台．
画法：(1)如图①所示，作出两个同心的正三角形，并在一个水
平放置的平面内画出它们的直观图；
(2)建立z′轴，把里面的正三角形向上平移高的大小；
(3)连接两正三角形相应顶点，并擦去辅助线，被遮的线段用虚线表示，如图②所示，即得到要画的正三棱台．
20[解析]如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO.作SP⊥AB，连接OP.
在Rt△SOP中，SO＝(m)，OP＝BC＝1(m)，
所以SP＝2(m)，
则△SAB的面积是×2×2＝2(m2)．
所以四棱锥的侧面积是4×2＝8(m2)，
即制造这个塔顶需要8m2铁板．
21[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h′.
圆锥的高h＝＝2，
又∵h′＝，
∴h′＝h.∴＝，∴r＝1.
∴S表面积＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πrh′
＝2π＋2π×＝2(1＋)π.
22[解析] 由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积＋圆台的侧面积＋半球面面积．
又S半球面＝×4π×22＝8π(cm2)，
S圆台侧＝π(2＋5)＝35π(cm2)，
S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，
即该几何全的表面积为
8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．
又V圆台＝×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，
V半球＝××23＝(cm3)．
所以该几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－＝(cm3)．
